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用树状图或表格求概率
相关知识点链接:
1、 频数与频率
频数: 在数据统计中, 每个对象出现次数叫做频数,
频率: 每个对象出现次数与总次数比值为频率。
2、 概率意义和大小: 概率就是表示每件事情发生可能性大小, 即一个时间发生可能性大小数值。肯定事件发生概率为1; 不可能事件发生概率为0; 不确定事件发生概率在0与1之间。
【知识点1】频率与概率含义
在试验中, 每个对象出现频繁程度不一样, 我们称每个对象出现次数为频数, 而每个对象出现次数与总次数比值为频率, 即
把刻画事件A发生可能性大小数值, 称为事件A发生概率。
【例1】不透明袋中有3个大小相同球, 其中2个位白色, 1个位红色, 每次从袋中摸出一个球, 然后放回搅匀再摸, 在摸球试验中, 得到下表中部分数据:
摸球次数
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
出现红球频数
14
23
38
52
67
86
97
111
120
136
出现红球频率
35％

32％

34％

35％
35％

（1） 请将表中数据补充完整。
（2） 观察表中出现红球频率, 伴随试验次数增多, 出现红球概率______________.
【知识点2】经过试验利用稳定频率来估量某一时间概率
在进行试验时候, 当试验次数很大时, 某个事件发生频率稳定在对应概率周围。
我们能够经过数次试验, 用一个事件发生频率来估量这一事件发生频率。
例2 三张除字母外完全相同纸牌, 字母分别是A, A, K, 每次抽一张为试验一次, 经过数次试验后, 结果汇总表以下:
试验总次数
10
20
50
100
200
300
400
500
1000
……
摸出A频数
7
13
28

172
198
276

660
……
摸出A频率

75％

62％

……
（1） 将上述表格补充完整;
（2） 观察表格, 估量摸到A概率;
（3） 求摸到A概率;

【知识点3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）
【例4】有列表法求以下事件发生概率
掷一枚均匀骰子, 每次试验掷两次, 求两次骰子夫人点数和为7概率。

例5 明华外出游玩时带了2件上衣（白色、 米色）和3条裤子（蓝色、 黑色、 棕色）, 她任意拿出一件上衣和一条裤子恰好是白色和黑色概率是多少？

题型一: 求事件概率
例1 某市今年信息技术结业考试, 采取学生抽签方法决定自己考试内容。要求: 每位考生先在三个笔试题（题签分别用表示）中抽取一个, 再在三个上机题（题签分别用代码表示）中抽取一个进行考试, 小亮在看不到题签情况下, 分别从笔试题和上机题中各抽取一个题签
（1） 用画树状图或列表法表示出全部可能结果。
（2） 求小亮抽到笔试题和上机题题签代码下标均为奇数概率。

题型二 频率域概率关系应用
例2 有两组相同纸牌, 每组两张, 牌面数字分别是1和2 。从每组中各抽取一张记为一次试验, 小明和小红做了200次试验后将两张牌牌面数字之和情况做了统计。制作了对应频数分布直方图, 如图所表示, 请估量两牌面数字之和为4概率是 , 和为3概率是 。

题型三 设计方案题
例3 请设计一个摸球游戏, 使摸到红球概率为, 摸到白球概率为。

综合提升:
1、 在一个不透明中装有5个完全相同小球把它们分别标号为1,2,3,4,5, 从中摸出一个小球, 其标号大于2概率是 。
2、 小红上学要经过三个十字路口, 每个路口碰到红、 绿灯机会都相同, 小红期望上课时经过每个路口都是绿灯, 但实际这么机会是 。
3、 一转盘被等分成三个扇形, 上面分别标有-1,1,2中一个数指针位置固定, 转动转盘后任其自由停止, 这时, 某个扇形会恰好停在指针所指位置, 并对应得到这个扇形上数（若指针恰好停在等分线上, 当做指向右边扇形）
（1） 若小静转动转盘一次, 求得到负数概率;
（2） 小宇和小静分别转动转盘一次, 若两人得到数相同, 则称两人“不谋而合”用列表法（或画树状图）求两人不谋而合概率

4、 在一个不透明盒子中放油三张卡片, 每张卡片上写有一个实数, 分别为（卡片除了实数不一样外, 其它均相同）
（1） 从盒子中抽取一张卡片, 请直接写出卡片上数字是3概率;
（2） 先从盒子中抽取一张卡片, 将卡片上实数作为被减数; 卡片不放回, 再抽取一张卡片, 将卡片上实数作为减数, 请你用列表法或画树状图法, 求出两次抽取卡片上实数之差为有理数概率。

用频率估量概率
【知识点1】生日相同概率
50个人中有2个人生日相同是不确定事件, 可能有、 也可能没有, 只能经过试验频率估量概率。但因调查次数而异。
【知识点2】用抽取法估量总体数目（关键）
这类问题有两种处理方法: （1）从袋中随意摸出一个球, 记下颜色然后将其放入袋中, 反复做这一过程, 进行一定次数, 统计某一颜色球出现次数, 利用频率来估算这一颜色球数目。
依据是: 试验频率概率
（2） 利用抽样调查, 从袋中一次摸出10个球, 求出其中某一颜色球个数与10比值, 再把球放回袋中, 不停反复此过程, 摸一定次数, 求出这一颜色球个数与10比值平均数, 即平均概率, 利用平均概率来估算这一颜色球数目。 依据是: 平均概率概率

例1 一个不透明口袋中装有6个红色小正方体和若干个黄色小正方体, 小正方体除颜色外其她都相同, 从口袋中摸出一个小正方体, 记下颜色后再把它放回口袋中, 不停反复此过程, 共摸了300次, 其中有100次摸到红色小正方体, 则口袋中大约有 个黄色小正方体。
【知识点3】利用替换物模拟试验估算概率
在估算事件发生概率时, 有些调查即费力又费时, 但要想使这种估算尽可能正确, 就需要尽可能多增加调查对象, 在这种情况下, 我们能够采取模拟试验方法来估量事件发生概率。经过模拟试验, 在室内就能够完成搜集数据、 进行试验、 统计结果等过程。
【例2】设计一个方案, 估量8个人中只有2个人生肖相同概率。

【知识点4】模拟试验应用
（1） 概率是对现象一个数学描述, 她能够帮助我们愈加好地认识现象, 并对生活中部分不确定情况做出自己决议。
（2） 从表面上看, 现象每一次观察结果都是偶然, 但数次观察某个现象, 立刻能够发觉: 在大量偶然之中存在着肯定规律。也就是当反复试验次数大量增加时, 事件发生频率就稳定在对应概率周围, 所以, 去哦们能够经过大量反复试验, 用一个事件发生频率来估量这一事件发生概率。
（3） 经过模拟试验能估量事件全部可能结果总数n和其中事件A发生可能结果数m
（4） 估量概率时, 要看频率随试验次数增加是否趋于稳定, 不能随便取其中一个频率去估量。
题型一 估量生日相同概率
例1 利用课余时间, 让每位同学调查10人生日, 然后从全班同学调查结果中选择40个被调查人, 看看她们中有没有2个人生日相同, 最终将全班同学调查数据集中起来, 设计出一个方案, 估量40个人中有2人生日相同概率。
题型二 用频率估量袋中球数目
例2 一个不透明口袋中有10个白球和若干个黑球, 它们除颜色外完全相同, 假如不许可将球倒出来数, 怎样估量其中黑球数呢？两位同学是以下操作:
小芳: 从口袋中摸出一球, 记下其颜色, 再把它放回口袋中, 不停反复此过程, 共摸了100次, 其中有81次摸到黑球。
小明: 利用抽样调查方法, 从口袋中一次摸出10个球, 求出其中白球数与10比值, 再把球放回口袋中, 不停反复上述过程, 她共摸了10次白球数与10比值以下:
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
每次摸球白球数与10比值
0.2
0.3
0.2
0.1
0.4
0.1
0.3
0.2
0.1
0.2
问: （1）小芳估量袋中黑球有多少个？
（2） 小明估量袋中黑球有多少个？
（3） 两位同学操作时每次摸球后, 都要放回, 假如不放回行吗？为何？

题型三 设计模拟试验处理问题
例3 把图中四张纸片放在一个盒子里搅均匀, 任取两张, 看能拼成菱形还是房子（假如是两张三角形, 则能拼成菱形; 假如是一张三角形和一张正方形, 则能拼成房子）想想看哪些方法能够用来模拟试验？经过模拟试验分别估量拼成菱形和拼成房子概率。

题型四 模拟试验拓展创新题
例4 某抽签活动设置了下表所表示翻奖牌, 每次抽奖翻开一个数字, 考虑”中奖“可能性有多大？

正面 反面
1
2
3
4
5
6
7
8
9
轿车一辆
万事如意
奖金100元
心想事成
奖金100元
洗衣粉一袋
奖金10元
生活愉快
奖金2万元

（1） 假如用试验进行估量但又认为制作翻奖牌太麻烦, 能否用简单模拟试验来替换？
（2） 估量”未中奖“可能性有多大, ”中奖“可能性有多大, 你能探索出她们关系吗？

综合提升
1、 再用摸球试验来模拟6人中有2人生肖相同概率过程中没有以下不一样见解, 其中正确是（ ）
A、 摸出球不能放回 B、 摸出求一定放回
C、 可放回, 可不放回 D、 不能用摸球试验来模拟此试验
2、 一个布袋中有15个黑球和若干个白球, 从布袋中一次摸出10个球, 求出其中黑球数与10比值, 再把球放回布袋中摇匀, 不停反复此过程, 得到黑球数与10比值平均数为, 所以可估量布袋中大约有 个白球。
3、 两同学都写出0-9中一个数字, 用试验方法估量两人所写数字相同概率为 。
例1 下面是对某校10名女生进行身高测量数据表（单位: cm）, 但其中一个数据不慎丢失（用x表示）
身高
156
162
x
165
157
168
165
163
170
159
从这10名女生中任意抽取一名, 身高不低于162cm事件可能性, 能够用图中点 表示（从A,B,C,D,E五个字母中选择一个符合题意）

例2 如图所表示两个圆盘中, 指针落在每一个数上机会均等, 那么两个指针同时落在偶数上概率是 。

1、 方程思想
在概率中方程思想关键应用于求总体或各部分数目
例3 一只口袋中放着若干个黄球和绿球, 这两种球除了颜色外没有其它任何区分, 袋中球已经搅匀, 从口袋中取出一个球是黄球概率是
（1） 取出一个球是绿球概率是多少？
（2） 假如袋中黄球有18个, 那么袋中绿球有多少个？

例4 一个布袋中有8个红球和16个白球, 它们除颜色外都相同
（1） 求从布袋中摸出一个球是红球概率。
（2） 现从布袋中取走若干个白球, 并放入相同数量红球, 搅拌均匀后, 要使从布袋中摸出一个球是红球概率是, 问取走了多少个白球？（要求经过列式或方程解答）

3、 列举法
列举法在丘事件发生概率中应用关键表现在将全部可能情况利用画树状图或列表一一列举出来
例5 图中是从一副扑克牌中取出两组牌, 分别是黑桃和方块, 将它们分别重新洗牌后后面朝上, 从两组排钟各摸出一张, 那么摸出两张牌牌面数字之和等于5概率是多少？

考点1 概率计算
考点突破: 求简单事件发生概率关键是用列举法把全部可能情况列举出来, 利用概率公式求解。
例1 在一个口袋中有4个完全相同小球把它们分别标号为1,2,3,4, 地摸出一个小球然后放回, 再摸出一个小球, 则两次摸出小球标号之和等于4概率是 。
例2 现有完全相同四张卡片, 上面分别标有数字-1, -2,3,4把卡片后面朝上洗匀, 然后从中抽取两张, 则这两张卡片上数字之积为负数概率是
例3 本市初中毕业男生体育测试项目有四项, 其中”立定跳远“”100米跑“”肺活量测试“为必测项目, 另一项为”引体向上“和“推铅球”中选择一项测试。小亮、 小明和大刚从中选择同一个测试项目概率是 。
考点2 概率应用
考点突破: 概率应用关键是利用概率计算公式求相关未知量值, 处理这类问题关键是依据其计算公式列方程求解。
例4 在一个不透明口袋中装有仅颜色不一样红、 白两种小球, 其中红球3只, 白球n只, 若从口袋中任取一个球, 摸出白球概率是, 则n= 。
考点3 概率与其它数学知识综合
考点突破: 概率常与其它数学知识综合考察, 其中与函数结合是最为常见题目, 综合性较强, 属于中考题目中中等题。
例5 四张小卡片上分别写有数字1,2,3,4它们除数字外没有任何区分, 现将它们放在盒子里搅匀。
（1） 从盒子里抽取一张, 求抽到数字为3概率;
（2） 从盒子里抽取一张, 将数字记为x, 不放回, 再抽取第二张将数字标为y, 请你用画树状图或列表方法表示全部有可能结果, 并求出点（x,y）在函数图像上概率

综合训练
1、 下列说法正确是（ ）
A、 在同一年出生367名学生中, 最少有两人身日是同一天
B、 彩票中奖机会是1％, 买100张一定会中奖
C、 天气预报说明天下雨概率是50％, 所以明天将有二分之一时间在下雨
D、 抛一枚图钉钉尖着地和钉帽着地概率一样大。
2、 柜子里有2双鞋, 取出两只刚好配成一双鞋概率是 。
3、 某城市有10000辆自行车, 其编号为00001到10000, 则某人偶然碰到一辆自行车, 其牌照号大于9000概率是 。
4、 一个不透明袋子里装着质地、 大小都相同3个红球和两个绿球, 从中摸出一球, 不在放回袋中, , 充足搅匀后再摸出一球, 两次都摸出红球概率是 。
5、 投掷两枚一般正方体骰子, 求: （1）点数之和为”11“概率
（2） 点数之和为”3倍数”概率

6、 一个密闭不透明盒子里有若干个白球, 在不许可将球倒出来情况下, 为估量白球个数, 小明向其中放入8个白球, 摇匀后从中摸出一个球记下颜色, 再把它放回盒中, 不停反复, 共摸球400次, 其中80次摸到黑球, 试估量盒中白球个数。