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实际问题与二次函数教案
实验中学 李三红
教学目标：
1．通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
2. 能用配方法或公式法求二次函数的最值，并由自变量的取值范围确定实际问题的最值。
复习回顾：
1、二次函数 的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 .
2、二次函数 的对称轴是 ,顶点坐标是 ，当x= 时，y的最 值是 .
3、二次函数 的对称轴是 ,顶点坐标是 ，当x= 时，y的最 值是 .
4、二次函数 的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 . 当a>0时，开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 .当a<0时，开口向 ，有最 点，函数有最 值。
5、二次函数 的对称轴是 ,顶点坐标是 ，当x= 时，y的最 值是 .
6、关于销售问题的一些等量关系.
（单件商品）利润=售价—进价总利润=单件商品利润×销售量
知识准备：
某商品成本为20元，售价为30元，卖出200件，则利润为 元
①若价格上涨x元，则利润为 元；
②若价格下降x元，则利润为 元；
③若价格每上涨1元，销售量减少10件，现价格上涨x元，则销售量为 件，利润为 元；
④若价格每下降1元，销售量增加20件，现价格下降x元，则销售量为 件，利润为
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
自主探究：
问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？
分析：没调价之前商场一周的利润为 元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示为 元，要想获得6090元利润可列方程 。
问题2。已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？
若设销售单价x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示 为 件，一周的利润可表示 为 元，要想获得6090元利润可列方程 .
合作交流：
问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
解：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 　件，实际卖出 　　　件,销额为 　　　元,买进商品需付 　　 　　　元因此，所得利润为　　　
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) (0≤X≤30)

所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元。
可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.
问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 ，每降价一元，每星期可多卖出18件。如何定价才能使利润最大？
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300+18x)元，因此，得利润

答：定价为 元时，利润最大，最大利润为6050元
问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出18件。如何定价才能使利润最大？
由(2)(3)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.
总结 ：解这类题的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
创新学习
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.若每个橙子市场售价约2元，问增种多少棵橙子树，果园的总产值最高，果园的总产值最高约为多少？
解：设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产
量为y个，则

所以，当x=10时，　　＝60500
所以，60500 ×2＝121000元
答：增种10棵橙子树，果园的总产值最高，果园的总产值最高约为121000元。
反思感牾
通过本节课的学习，我的收获是？
牛刀小试
购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售某商店出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则
y=(x+30-20)(400-20x) (x≥30)
=-20x2+200x+4000
=-20(x-5)2+4500
∴当x=5时，y最大 =4500
答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500
能力拓展
1．已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨1.价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
在上题中,若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？
解：设商品售价为x元，则x的取值范围
为40(1＋40%)≤x≤40(1＋60%)
即56≤x≤64
若涨价促销,则利润销,则利润
y=(x-40)[300+20(60-x)]
=(x-40)(1500-20x)
=-20(x2-115x+3000)
=-20(x-57.5)2+6125
∵56≤x≤60
∴由函数图像或增减性知
当x=57.5时y最大,最大值为6125元
y=(x-40)[300-10(x-60)]
=(x-40)(900-10x)
=-10x 2 ＋ 1300x-36000
=-10[(x-65)2-4225]-36000
=-10(x-65)2+6250
∵60≤x≤64
∴由函数图像或增减性知当x=57.5时y最大,最大值为6125元
综上所述，当销售单价定64元时，商场可获得最大利润，最大利润为6240元
中考链接
2.(09中考)某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y件．
(1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围)
（2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解：（1）y=500－10(x－50) =1000-10x(50≤x≤100)
（2）S=(x－40)(1000-10x) =－10x2＋1400x-40000
=－10(x－70)2+9000
当50≤x≤70时，利润随着单价的增大而增大.
（3）－10x2＋1400x-40000=8000
解得：x1=60,x2=80
当x=60时，成本=40×[500－10（60－50）]
=16000＞10000不符要求,舍去.
当x=80时，成本=40×[500－10（80－50）]
=8000＜10000符合要求．
所以销售单价应定为80元，才能使一周销售利润达到8000元的同时，投入不超过10000 元．