从一道数学综合题的探究中体验“惊奇、征服、永恒”.pdf
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1、数学之友2023年第1 5期从一道数学综合题的探究中解题探索体验“惊奇、征服、永恒”秦国清(江苏省白蒲高级中学,江苏南通,2 2 6 54 1)摘要:数学思维是数学核心素养生成之根,数学学科特有的理解问题和分析问题的思维方式,是学习者深入思考问题时所需要的能力.教学过程中要让学生自己体会研究数学对象的心路历程,在惊奇、征服、永恒的强大心理震撼中,领悟用数学的观点看待和认识世界的思想真谛。关键词:生产性学习;数学思维;核心素养培养学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的综合素养应立足于学生的数学思维训练,帮助学生学会思考、体验数学思维过程,提升数学思维品质.课堂教学
2、中要善于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的习惯,引导学生在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程发现问题、提出问题、分析问题、解决问题是推进数学发展的一个重要途径.不管问题本身能否解决,它都会产生许多新的思想、新的方法,只要教师适当点拨,学生定会有所收获.当然,教师在课堂问题设计中要由浅入深、由易到难、梯度设问、层层深入,尽可能让学生努力之后获得成功,由此激发学生思考、探究新知的更大欲求,本文从一道数学综合题的师生共同探究谈起,根据课堂教学实践具体展开:1探究过程题目:
3、设函数f(x)=x3-x(a 0,x 0),0 为坐标原点,A(3,-1),C(,0).若对此函数图象上的任意一点B,都满足OA.OBOAOC成立,则的值为探究1:平铺直叙.从解题经验和题面要求上来解不等式0 A.0B0A.OC对任意x0(0)恒成立.生:不等式是向量背景,点0(0,0),A(3,-1),C(a,0)坐标已知,点 B又在函数f(x)=x-x(a0,x0)的图象上,可设点B(xo,x-axo),利用向量的坐标化运算打开缺口,OAB0AOC对任意x0(a0)恒成立.即 3 x-g+axo3a,对任意x0(a0)恒成立.可得xi-xo-3xg+30 对任意x0(a0)恒成立。设g(x
4、)=x3-ax-3x+3a(a0).此问题可转为g(x)0 对任意0(0)恒成立.即求g(x)在 0,+)上的最小值大于等于0.研究三次函数y=g(),利用导数g(x)=3 x-(+3),0,画出导函数和原函数图象.=0y=g(ac)+2+32+333可得g(x)在 0,+)上的最小值为g+3)a?+3转化为+3a0对任33意0恒成立.y=g(.c)Q3Q+333Q+33基金项目:江苏省十四五规划普教立项课题“生产性学习:普通高中高品质课堂建设的实践研究”(课题编号:D/2021/02/638.62_数学之友数学之友化简得9 a2(+3)算困顿,算不出来了!师:无理方程(不等式)如何解决?高次
5、方程如何解决?生:无理方程、无理不等式可以通过平方或换元来转化为有理方程、有理不等式;高次方程可以通过换元的方法降次处理a+3生:设t=(t1),则3 t=a+3得a=V3/3t?-3(a0).原不等式变为9/3 t2-36t3得4 t-27t2+270对任意t1恒成立.设m=t(m 1),再次换元可降次为4 m-27m+270对任意m1 恒成立.研究函数 h(m)=4m3-27m+27.今 h(m)=2m-7-0 m=+号,画出图象,3m=0y=h(m)+032由单调性可知 h(m)h2又h(m)0,所以h(m)=0,m=a?+3633a,即故2简评:学生在此种方法的探究中,进行了深入的思考
6、和大量的运算.虽经历曲折,百转千回却获得成功,收获满满.学生充实而满足,探究数学问题的精神将会一直激励着他们.转化、转化,再转化、从不可能到可能,在意料之外,又在情理之中,学生激动、惊奇之情喜形于色,溢于言表.探究2:在得到不等式x3-x-3x+3a0对任意x0(0)恒成立后,不着急构造函数研究其最值,而是通过因式分解,把它降次处理。生:x-x-3x+3a=x(x-a)-3(x-a)=(x-a)(x+ax-3),也可以发现g(x)=x3-x-3x+3a 的2023年第1 5期a+3图象过点(a,0),即g()=0,推出x3-x-3x+3必下面学生陷入运3含有因式x-,再用多项式除法顺利因式分解
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