西南财经大学大一上高数统卷模拟.docx

西南财经大学

《高等数学A》课程期末试题1
一.填空题（每小题2分，共20分）：
1． 函数的定义域是 。
2．设函数 则 。
3． 。
4．设函数在x = 2处连续，且则 。
5．已知函数的单增区间是 。
6. 设常数k > 0, 函数在(0, ＋∞)内零点的个数为 。
7．曲线的水平渐近线方程是 。
8．若函数为可微函数，则当时， 的无穷小。
9．设，则 。
10．若 。
二.单项选择（每小题2分，共10分）：
1. 当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（ ）。
（A） （B） （C） （D）
2. 设函数，则x = 0是f(x)的（ ）。
（A） 可去间断点 （B）跳跃间断点
（C）无穷间断点 （D）振荡间断点
3. 若为定义在的可导的偶函数，则函数（ ）为奇函数。
（A） （B）
（C） （D）
4．下列函数中，在上满足罗尔中值定理的是（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
5．若的导函数是，则的一个原函数是（ ）。
（A） （B）
（C） （D）

三、计算题（每小题7分，共56分）：
1. 求极限。

2． 求极限。

3．已知。

4．方程 ，求。

5. 已知曲线L的参数方程为，
（I）讨论L的凹凸性；
（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程。

6．设函数求.

7．计算不定积分

8．已知的一个原函数，求不定积分。

四、应用题（8分）：
设某厂产品的市场需求函数为Q=1000 – 10p (Q为产量，p为价格)，且该产品生产的固定成本为1000，每增加一个单位的产量，成本将增加20。（1）求该产品的价格应订为多少时工厂获利最大？（2）要使利润最大，该产品生产多少？

五、证明题：（6分）
证明函数在（0，＋∞）上单调增加。

《高等数学A》课程期末试题1 参考解答
一.填空题（每小题2分，共20分）：
1.函数的定义域是。
2．设函数 则
3．
4．设函数在x = 2处连续，且则 3 。
5．已知函数的单增区间是 （0，1） 。
6. 设常数k > 0, 函数在（0，＋∞）内零点的个数为 2 。
7．曲线的水平渐近线方程是。
8．若函数为可微函数，则当时， 高阶 的无穷小。
9．设，则。
10．若。
二.单项选择（每小题2分，共10分）：
1. 当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（ C ）。
（A） （B） （C） （D）
2. 设函数，则x = 0是f(x)的（ B ）。
(A)可去间断点 （B）跳跃间断点
（C）无穷间断点 （D）振荡间断点
3. 若为定义在的可导的偶函数，则函数（ A ）为奇函数。
（A） （B）
（C） （D）
4．下列函数中，在上满足罗尔中值定理的是（ D ）。
（A） （B）
（C） （D）
5．若的导函数是，则的一个原函数是（ C ）。
（A） （B）
（C） （D）
三、计算题（每小题7分，共56分）：
2. 求极限。
解：

3． 求极限。
解：
3．已知。
解：= = =
故。
4．方程 ，求。
解：
解方程得。
5. 已知曲线L的参数方程为，
（I）讨论L的凹凸性；
（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程。
解： （I）因为

故曲线L当时是凸的.
（II）由（I）知，切线方程为
设，，则

即
整理得 .
将代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为

即.
6．设函数求.
解：
（n = 2,3, ...）
故
7．计算不定积分。
解：
8．已知的一个原函数，求不定积分。

四、应用题（8分）：
设某厂产品的市场需求函数为Q=1000 – 10p (Q为产量，p为价格)，且该产品生产的固定成本为1000，每增加一个单位的产量，成本将增加20。（1）求该产品的价格应订为多少时工厂获利最大？（2）要使利润最大，该产品生产多少？
解：设工厂的利润为L

令 且驻点唯一
所以 L在P = 60时取最大值
答：（1）当产品生产400时，工厂获利最大;
（2）要使利润最大，该产品的价格应订为60。
五、证明题：（6分）
证明函数在（0，＋∞）上单调增加。
证明：

令，在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 得

故当 x > 0 时, ，从而在（0，＋∞）上单调增加。

《高等数学A》课程期末试题2
一.填空题（每小题2分，共20分）：
4． 函数的定义域是 。
2．设函数 则在区间 有界。
3．设。
4．
5．曲线在（0，2）点的切线方程是 。
6. 函数的可去间断点为 ，补充定义
时，则连续。
7．曲线的水平渐近线方程是 。
8．若函数为可微函数，则当时， 的无穷小。
9．若，则 。
10．若 。

二. 单项选择（每小题2分，共10分）：
1. 下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
2. 若为定义在的可导的偶函数，则函数（ ）为奇函数。
（A） （B）
（C） （D）
3. 如果则方程有（ ）个实根。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4．下列函数中，在上满足罗尔中值定理的是（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
5．若，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）

三、计算题（每小题7分，共56分）：
1．已知函数连续，求常数a，b。

2.求极限。

3．已知，求。

4．设是由方程所确定的函数，求。

5. 求函数y = x 2 - 2lnx的单调区间与极值。

6．设，求。

7．计算不定积分。

8．计算不定积分。

四、应用题（8分）：
已知某商品的需求函数为x =125-5p，成本函数为C(x)=100 + x + x2, 若生产的商品都能全部售出。求：(1)使利润最大时的产量；(2) 最大利润时商品需求对价格的弹性及商品的售价。

五、证明题：（6分）
证明：当。

《高等数学A》课程期末试题2参考解答
一.填空题（每小题2分，共20分）：
5． 函数的定义域是。
2．设函数 则在有界。
3．设。
4．
5．曲线在（0，2）点的切线方程是。
6. 函数的可去间断点为 1 ，补充定义 －2
时，则连续。
7．曲线的水平渐近线方程是。
8．若函数为可微函数，则当时， 高阶 的无穷小。
9．若，则。
10．若。

二. 单项选择（每小题2分，共10分）：
1. 下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有（ B ）。
（A） （B）
（C） （D）
2. 若为定义在的可导的偶函数，则函数（ A ）为奇函数。
（A） （B）
（C） （D）
3. 如果则方程有（ C ）个实根。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4．下列函数中，在上满足罗尔中值定理的是（ D ）。
（A） （B）
（C） （D）
5．若，则（ A ）。
（A） （B）
（C） （D）

三、计算题（每小题7分，共56分）：
1．已知函数连续，求常数a，b。

6． 求极限。
解：

3．已知，求。
解：

4．设是由方程所确定的函数，求。
解：∵
∴。

5. 求函数y = x 2 - 2lnx的单调区间与极值。
解：

当时，单调减少, 当时，单调增加；
故在x = 1处极小值。

6．设，求。
解：

7．计算不定积分。
解：

8．计算不定积分。
解：原式=

四、应用题（8分）：
已知某商品的需求函数为x =125-5p，成本函数为C(x)=100 + x + x2, 若生产的商品都能全部售出。求：(1)使利润最大时的产量；(2) 最大利润时商品需求对价格的弹性及商品的售价。

五、证明题：（6分）
证明：当。

西南财经大学2008——2009学年第一学期
《高等数学》期末闭卷考试题
一. 填空题（请将正确答案填在题中的横线上，每小题2分，共20分）：
1．设已知则＝
2．
3．若，则a = ，b = .
4．.函数的可去间断点是x0 = , 补充定义f (x0) = , 则函数f (x)在x0处连续.
5．设函数，则 .
6．设五次方程有五个不同的实根，则方程最多有 个实根.
7．设函数＝ .
8．已知f (x)的一个原函数为ln 2 x，则 .
9． .
10． .
二、单项选择题（每小题2分，共10分）：
1．设函数的定义域是[-4，-π]∪[0，π]，则 =（ ）.
① ② ③ ④
2．“为无穷小量”是“”的( ) .
① 充分但非必要 ② 必要但非充分
③ 充要条件 ④ 既非充分也非必要
3．设, 则 ( ) .
① ②
③ ④
4. ① ②
③ ④
5．在开区间内，和满足，则一定有（ ）
① ； ② ；
③ ； ④ .
三、计算下列各题（每小题7分，共49分）：
1．求极限.

2. 已知在x = 0处可导，求常数.

3..

4. .

5. 求.

6.

7．计算.

四、应用题（每小题8分，共16分）：
1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半园.截面的面积为5m2. 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？

2. 求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积 .

五、证明题（5分）：
证明：当x > 0时，.

西南财经大学2008——2009学年第一学期
《高等数学》期末闭卷考试题参考解答
一. 填空题（请将正确答案填在题中的横线上，每小题2分，共20分）：
1．设已知则＝.
2．.
3．若，则a =，b =.
4．.函数的可去间断点是x0 = 0 , 补充定义f (x0) = – 2 , 则函数f (x)在x0处连续.
5．设函数，则 – 2 .
6．设五次方程有五个不同的实根，则方程最多有 4 个实根.
7．设函数＝ .
8．已知f (x)的一个原函数为ln 2 x，则 2ln x - ln 2 x + C .
9．.
10．.
二、单项选择题（每小题2分，共10分）：
1．设函数的定义域是[-4，-π]∪[0，π]，则 =（ ① ）.
① ② ③ ④
2．“为无穷小量”是“”的( ③ ) .
① 充分但非必要 ② 必要但非充分
③ 充要条件 ④ 既非充分也非必要
3．设, 则 ( ④ ) .
① ②
③ ④
4． ① ②
③ ④
5．在开区间内，和满足，则一定有（ ④ ）
① ； ② ；
③ ； ④ .
三、计算下列各题（每小题7分，共49分）：
1．求极限.
解： 3分
6分
7分
2. 已知在x = 0处可导，求常数.
解：因为f(x)在x = 0处可导必连续，所以
2分
3分
又因为f(x)在x = 0处可导，所以 4分
7分
3..
解： 2分
4分
7分

4. .
解： 5分
7分
5. 求.
解： 2分
4分
6分
7分
6.
3分
7分
7．计算.
解： 3分
5分
7分
四、应用题（每小题8分，共16分）：
1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半园.截面的面积为5m2. 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？
解：设截面的周长为 l , 已知 1分
截面的面积为,即 3分
故 4分
因为， 令得驻点 6分
又因为，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7分
所以截面积的底宽为才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省. 8分
2. 求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积 .
解： 2分
所以抛物线在点和处的切线方程分别为
2分
且这两条切线的交点为，则所求图形的面积为
8分
五、证明题（5分）：
证明：当x > 0时，.
证明 令， 1分
在区间上满足拉格朗日中值定理，于是在中存在至少一点，使得
即 2分
而，又因为，所以，
即 .（ x > 0） 2分

第1学期模拟试卷1

一、填空题（15分，每小题3分）
1. .
2. 用语言叙述的定义 :

3. 数集的上确界是 , 下确界是 .
4．设，则n阶导数 .
5．定积分 .

二、选择题（15分，每小题3分）
1. 设 则当时 ( ) .
（A）与为等价无穷小；（B）与为同阶无穷小但不等价；（C）是的高阶无穷小；（D）.是的低阶无穷小；
2.. 当时 不以为极限的定义是( )
（A）;;
（B）;
（C）;
（D）.
3． 数集的所有聚点的集合是 ( )
（A） （B）；
（C） （D）；
4. 设在处二阶可导，且 , 则( ).
（A）是的极小值点； （B）是的极大值点；
（C） 为曲线的拐点； （D）. 以上都不是。
5. 设是周期为的连续函数，则下列函数为周期函数的是( ).
（A）; （B）;
( C ) ; （D）.

三、求极限（12分，每小题6分）
1.

2.

四、求不定积分（12分，每小题6分）
1．

2. .

五、计算定积分（12分，每小题6分）
1.

2.

六、（8 分）设是 的一个原函数，求

七、（10分）设曲线 和直线 围成平面图形。
( 1 ) 求的面积；
( 2 )求绕轴旋转而成的旋转体的体积;
( 3 ) 求绕直线 旋转而成的旋转体的体积.

八、（8分）设在上二阶可导，
求证： 使 .

九、（8分）. 利用确界存在定理证明闭区间套定理：
设 为闭区间套，则 必存在唯一的公共点。

第1学期模拟试卷1答案

一、填空题（15分，每小题3分）
1.
2. 用语言叙述的定义 :

3. 数集的上确界是 , 下确界是
4．设，则n阶导数.
5．定积分
二、选择题（15分，每小题3分）
1. B 2.. D 3． C 4. A 5. D
三、求极限（12分，每小题6分）
1.
=
2. =
四、求不定积分（12分，每小题6分）
1．

2. .=

五、计算定积分（12分，每小题6分）
1.
2..()
=
六、（8 分）设是 的一个原函数，求
解1

解2

七、（10分）设曲线 和直线 围成平面图形。
( 1 ) 求的面积； ( 2 )求绕轴旋转而成的旋转体的体积;
( 3 ) 求绕直线 旋转而成的旋转体的体积.
解

另解 平移坐标 曲线方程为

八、（8分）设在上二阶可导，
求证： 使 .
证1 令 则
由洛尔定理知
, ,
由洛尔定理知
证2 令 由拉格朗日定理知

由洛尔定理知
九、（8分）. 利用确界存在定理证明闭区间套定理：
设 为闭区间套，则 必存在唯一的公共点。
证 (存在性) 因为闭区间套,故
因有上界，故由确界存在定理知必有上确界，设它为;
则由上确界定义有因都是的上界，而是的最小上界，故; 因此，, 从而有
(惟一性) 若另 , 则, 因
故 从而有

第1学期模拟试卷2

一、填空题（每小题3分 ，共计15分）

二、单项选择题（每小题3分，共计15分）

三、计算或证明题（每小题9分，共计54分）
１.

四、应用题（每小题8分，共计16分）

第1学期模拟试卷2答案

一、填空题（每小题3分 ，共计15分）

二、单项选择题（每小题3分，共计15分）

三、计算或证明题（每小题9分，共计54分）

四、应用题（每小题8分，共计16分）

第1学期模拟试卷3

一 单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设,那么点x=a是f(x)的( ).
①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对
2.设f(x)在点x=a处可导,那么( ).
① ② ③ ④
3.设函数f(x)的定义域为[-1,1],则复合函数f(sinx)的定义域为( ).
①(-1,1) ② ③(0,+∞) ④(-∞,+∞)
4.设,那么f(x)在a处( ).
①导数存在,但 ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在
5.已知及( ),则.
①g(x)为任意函数时 ②当g(x)为有界函数时
③仅当时 ④仅当存在时
二 填空题(每小题5分,共15分)
1.____________.
2.____________.
3.,那么左导数____________,右导数____________.

三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)
1.

2.,求

3.,求dy和.

4.由方程确定隐函数y=f(x) ,求.

5.设,求.

6.,求常数a,b.

四 证明题(每小题10分,共30分)
1.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且,证明:存在,使
.

2.若函数f(x)在[a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有,M是常数,则.

3.证明函数在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.

第1学期模拟试卷3答案

一 单项选择题(每小题3分,共15分)
1.④ 2.① 3.④ 4.③ 5.②
二 填空题(每小题5分,共15分)
1.__1_ .
2. __e_.
3.,那么左导数__-1__,右导数__1__.
三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)

2.,求

3.,求dy和.

4.由方程确定隐函数y=f(x) ,求.

5.设,求.

6.,求常数a,b.

四 证明题(每小题10分,共30分)
1.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且,证明:存在,使
.

2.若函数f(x)在[a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有,M是常数,则.

3.证明函数在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.

大气为人，大智谋事，大爱行天下 经世济民，孜孜以求

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