常微分方程在数学建模教学中的应用研究.pdf
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1、专 题 研 究 数学学习与研究 常微分方程在数学建模教学中的应用研究常常常常常微微微微微分分分分分方方方方方程程程程程在在在在在数数数数数学学学学学建建建建建模模模模模教教教教教学学学学学中中中中中的的的的的应应应应应用用用用用研研研研研究究究究究范 斌(商丘医学高等专科学校,河南 商丘)【摘要】常微分方程是数学的分支之一,也是高等数学体系的重要组成部分,与人们日常生产、生活有着紧密的内在联系,不仅在生物学、物理学等学术领域上有广泛运用,还与电子科技、信息技术等领域息息相关数学建模的目的在于分析规律、抓住问题矛盾的同时找出解决问题的办法,而在此过程中,常微分方程就是数学模型求解的重要工具文章对
2、数学模型进行了阐述,提出了常微分方程在数学建模教学中的应用方法和策略,以供参考【关键词】常微分方程;数学建模;教学应用数学建模是指用数学语言描述实际问题和实际现象,从问题矛盾点入手,梳理解决问题的流程和方法微分方程则是为了解决实际性问题,在特定条件下生成的未知数方程式,因此,对微分方程的研究有助于解决实际问题,也能推动其他学科、应用领域的发展想要完成高质量的数学建模,就要将复杂的问题进行简化处理,将抽象化的概念、内容转化为合理的数学结构,找出分析对象特有的数学规律与内在特征,建立相应的数量关系,以此完成解决实际问题的任务流程一、数学模型概述想要了解数学建模就要先明确数学模型的概念数学模型意在借
3、助数学工具描述生活中的实际情况或是学术领域的事件,并对事物后续发展做出方向性预测,找出规划事物发展路径,发挥指导现实生活的作用数学建模则是利用数学模型和数学知识解决实际问题的方法与渠道,以生活中常见的问题和学术领域的问题为中心,以微分方程、运筹学等为工具实现问题的解决比如,为反映市区中心道路交通而模拟出的交通图就是数学模型,规划、绘制道路交通的过程就是数学建模的过程生活中有很多常见的数学模型,比如在小学数学教学中,计算不规则图形的面积就要用到图形分割等数学模型;在高数教学中,计算复杂的不规则图形面积需要建立相应的定积分数学模型;在统计学中,分析彩票中奖概率问题需要整合多种数据,建立图表类的数学
4、模型等由此可知,学习建立数学模型的方式方法可以为解决生活中的现实问题提供极大助力在科学技术快速发展的时代背景下,先进信息技术的出现与发展彰显出数学与自然科学、工农业生产建设等方面的渗透与融合从现实角度出发,人们的生产、生活、学习、工作会遇到各种问题,若想解决这些问题,就要针对某一对象进行全面分析,获得定量结果,进而找出解决问题的路径与方法由此可见,探索微分方程在数学建模教学中的应用,能够为人们生活以及学术研究领域的发展提供助益二、构建常微分方程模型的步骤与方式观察微分方程的发展历史,可以清楚地看到它与物理学、天文学、日新月异的科学技术之间的紧密关联牛顿在探索宇宙的奥秘时,便是借助微分方程来推导
5、出宇宙中恒星的轨道,而勒维烈和亚当斯则是在当时还没有发现海王星的情况下,使用微分方程推导出它的运行轨道这些事实说明微分方程具有极强的力量,它能帮助我们更好地理解自然当一个微分方程中只包含一个自变量时,就被称为常微分方程,也可以简单地称为微分方程它能够更好地反映客观现实世界中物质与能量之间的相互作用,明确展示物质的运动规律许多数学模型都满足微分方程的关系,因此,求解常微分方程可以加深人们对未知函数特性的理解(一)利用已知定律建立模型已知定律包含各个学科现有的定理或定律公式,如数学学科的傅里叶级数,物理学科的万有引力定律等,这些都是数学建模重要的基础性工具(二)利用导数的定义建立模型导数在微积分中
6、扮演着至关重要的角色,它的定义如下:()()()如果函数能够通过微积分来推导,那么它们就可以被看作是在特定时间点上的瞬时变化率导数是数学建模中常用的一种数学模型,在建模期间,我们可将导数视为瞬时变化率,用以解决实际问题站在物 专 题 研 究 数学学习与研究 理学的角度,“衰变”和“边际”都可用来探讨速率、增长、放射性等问题,而“边际”还可以用来解决实际问题在教学环节,若遇到相关问题或具有这些关键词的问题时,教师就要引导学生关注哪些研究对象处于变化状态、哪些规律适用于建立数学模型以“文物内部放射性物质分析”为例,通过对放射性物质的分析,可确定文物的年代这种方法是通过研究放射性物质裂变特征来确定实
7、际物品的年代与空间,在此现实问题中,时间与空间呈正相关关系对此,可使用常微分方程展示两者关系,即,其中,时,时间和空间之间的差值被称为衰减系数,与放射性物质的本身有着紧密联系,当解出 时,这个时间和空间之间的差值被称为待定系数,即将 作为待定系数,根据最初的假设可以确定这些古迹或文物的历史时间,继而完成对其时间与空间的探索(三)利用微元法建立模型通过微元法构建的微分方程需要优先明确微元关系,再利用其他函数与定理等数学工具进行解决当所计算的变量满足与其所处的范围有关的条件,即该范围是可加的,便可以使用微元法来建立数学模型根据特定的情况,我们可以从一个特定的范围内挑选一个自变量,然后根据一系列的数
8、学公式计算出这个范围的一些参考点的大致数值,即将其视为连续函数在 数值处()与 的乘积,再对等式两边同时进行积分运算,就可以得出变量 的具体数值这种数学建模方式在解决实际问题的过程中运用频率较高,比如,在数学空间几何中,用微元法计算曲线弧长、旋转曲面面积,在物理学科中计算变力做功等(四)模拟近似在解决复杂问题的过程中,对于固定规律、现象不清楚时,则可以尝试用近似模拟的方式建立常微分方程在建设该数学模型的过程中需要对相关的问题进行分析,提出合理性的假设,明确所要研究的问题内容简单来说,建立近似模拟期间,需要对相关性质进行全面分析,并在此基础上对相同情况进行对比与分析,检查建立的模型是否与实际情况
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