
【创新设计】2014届高考数学一轮总复习-易失分点清零(十二)-解析几何(二)增分特色训练-理-湘教版.doc
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易失分点清零(十二) 解析几何(二) 1. 已知动点P(x,y)满足5=|3x+4y-11|,则P点的轨迹是 ( ). A.直线 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆 解析 由已知,得=,即动点P(x,y)到定点(1,2)和定直线3x+4y-11=0的距离相等,而定点(1,2)在直线3x+4y-11=0上,所以P点的轨迹是过点(1,2)且与直线3x+4y-11=0垂直的直线. 答案 A 2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的 ( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 要使mx2+ny2=1,即+=1是焦点在y轴上的椭圆须有⇔m>n>0,故互为充要条件. 答案 C 3.已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为 ( ). A. B. C. D. 解析 双曲线的一个焦点为(c,0),一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,所以焦点到渐近线的距离为=c,整理得b2=a2,所以有c2-a2=a2,c2=a2,即c=a,离心率e=,选B. 答案 B 4.已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,则点A(0,-1)与点P连线中点的轨迹方程是 ( ). A.y=2x2 B.y=8x2 C.2y=8x2-1 D.2y=8x2+1 解析 设AP中点为(x,y),则P(2x,2y+1)在2x2-y=0上,即2(2x)2-(2y+1)=0,∴2y=8x2-1. 答案 C 5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线-=1的一个焦点重合,直线y=x-4与抛物线交于A,B两点,则|AB|等于 ( ). A.28 B.32 C.20 D.40 解析 双曲线-=1的焦点坐标为(±4,0),故抛物线的焦点F的坐标为(4,0),因此p=8,故抛物线方程为y2=16x,易知直线y=x-4过抛物线的焦点.所以|AB|===32(α为直线AB的倾斜角). 答案 B 6.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为 ( ). A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞) C. D. 解析 由题意,得22=a2+1,即a=,设P(x,y),x≥,=(x+2,y),则·=(x+2)x+y·y=x2+2x+-1=2-,因为x≥,所以·的取值范围为[3+2,+∞). 答案 B 7.“点M在曲线y2=4x上”是点M的坐标满足方程y=-2的 ( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 点M在曲线y2=4x上,其坐标不一定满足方程y=-2,但当点M的坐标满足方程y=-2时,则点M一定在曲线y2=4x上,如点M(4,4)时,故选B. 答案 B 8.设θ是三角形的一个内角,且sin θ+cos θ=,则方程+=1所表示的曲线为 ( ). A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线 解析 由条件知sin θ·cos θ=-,且θ∈(0,π),从而sin θ>0,cos θ<0,故选C. 答案 C 9.(2012·山东)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为9.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为 ( ). A.x2=y B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y 解析 双曲线的渐近线方程为y=±x,由于= = =2,所以=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.抛物线的焦点坐标为,所以=2,所以p=8,所以抛物线方程为x2=16y. 答案 D 10.已知F1、F2为椭圆E的左、右焦点,抛物线C以F1为顶点,F2为焦点,设P为椭圆与抛物线的一个交点,如果椭圆的离心率为e,且|PF1|=e|PF2|,则e的值为 ( ). A. B.2- C. D.2- 解析 设椭圆的中心在原点,焦距为2c,则由题意,知抛物线的准线为x=-3c,由|PF1|=e|PF2|,得=e,由于P为椭圆与抛物线的一个公共点,设点P到抛物线的准线的距离为d,则由抛物线的定义,知=e.又点P是椭圆上的点,故抛物线的准线也是椭圆的左准线,所以=3c,解得e=. 答案 C 11.已知椭圆+=1(m>0)的离心率等于,则m=________. 解析 (1)当椭圆的焦点在x轴上时,则由方程,得a2=4,即a=2.又e==, 所以c=,m=b2=a2-c2=22-()2=1. (2)当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的方程为+=1. 则由方程,得b2=4,即b=2. 又e==,故=,解得=,即a=2b, 所以a=4.故m=a2=16. 综上,m=1或16. 答案 1或16 12.已知双曲线-=1(b>a>0),直线l过点A(a,0)和B(0,b),且原点到直线l的距离为c(c为半焦距),则双曲线的离心率为________. 解析 因为直线l过点A(a,0)和B(0,b),所以其方程为+=1,即bx+ay-ab=0.又原点到直线l的距离为c,所以=c.又a2+b2=c2,所以4ab=c2,即16a2(c2-a2)=3c4.所以3e4-16e2+16=0,解得e2=4或e2=.又b>a>0,e2==>=2.所以e2=4,故e=2. 答案 2 13.已知F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,⊥.当点P在y轴上运动时,N点的轨迹C的方程为________. 解析 ∵=2 ,故P为MN中点.又∵⊥,P在y轴上,F为(1,0),故M在x轴的负半轴上,设N(x,y),则M(-x,0),P,(x>0),∴=,=,又∵⊥,∴·=0,即-x+=0, ∴y2=4x(x>0)是轨迹C的方程. 答案 y2=4x(x>0) 14.设F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是________. 解析 设点P的坐标为,则F1P的中点Q的坐标为.当y≠0时,则kF1P=,kQF2=,由kF1P·kQF2=-1,得y2=,y2>0,即2c2-b2>0,即3c2-a2>0,即e2>,故<e<1;当y=0时,此时F2为PF1的中点,由-c=2c,得e=.综上,得≤e<1. 答案 15.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的3倍且经过点M(3,1).平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),且交椭圆于A,B两不同点. (1)求椭圆的方程; (2)求m的取值范围; (3)设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2=0. (1)解 设椭圆的方程为+=1(a>b>0), ⇒ 所求椭圆的方程为+=1. (2)解 ∵直线l∥OM且在y轴上的截距为m, ∴直线l的方程为y=x+m. 由⇒2x2+6mx+9m2-18=0. ∵直线l交椭圆于A,B两点, ∴Δ=(6m)2-4×2×(9m2-18)>0⇒-2<m<2, 所以m的取值范围是(-2,0)∪(0,2). (3)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则k1=,k2=. 由2x2+6mx+9m2-18=0,得 x1+x2=-3m,x1x2=m2-9. 又y1=x1+m,y2=x2+m, 代入k1+k2=, 整理得k1+k2= ==0, ∴k1+k2=0. 6- 配套讲稿:
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