证明三角形不等式初探.pdf
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1、2222222-有7-272023年第7 期数学教学证明三角形不等式初探周秋斓李建潮?(1.浙江省湖州市滨湖高级中学,浙江湖州313000;2.浙江省湖州市南浔高级中学,浙江湖州313009)文1 利用经典代数不等式:已知,y,z是正数,证明:Z3.(*)十y+xx+y2给出了证明三角形不等式的一种方法,也不失是一种好方法,共涉12 个例题,今着重以其前10例为例议证明三角形不等式,旨在抛砖引玉,敬请批评.1“余切化”证明三角形不等式在ABC中,成立着以下三角形恒等式:cot Bcot C+cot Ccot A+cot Acot B=1,必要时请注意以下变式:(cotC+cotA)(cotA+
2、cotB)=1+cotA,(cotA+cotB)(cotB+cot C)=1+cotB,(cotB+cot C)(cot C+cotA)=1+cotC.0上,所以1+k=0,解得k=-1,所以直线l的方程为2 x+2y-3=0.例3已知曲线C的方程为y=2px(p0),斜率为2 的直线I与曲线C交于A、B两点,且AB的中点纵坐标为一,则曲线C的方3程为解:由结论2 易知AB的中点所在的直线方程为y=,即=卫,,所以P2所以曲线k323如若所证三角形不等式有条件化归为“余切型”,那么,通过基本(或重要)代数不等式并有机结合三角形恒等式,往往能使所证三角形不等式瓜熟蒂落.例1(文1 例6)在锐角A
3、BC中,求证:sin BsinCsin Csin AsinAsin B9十十cos(B-C)cos(C-A)cos(A-B)4证明:化“余切型”,并注意到三角形恒等式及三维柯西(Cauchy)不等式:(ai+a2+a)(bi+b2+bs)(ajb+azb2+a,b,),式的左边sinBsinCsinCsinAcosBcosC+sinBsinCcos CcosA+sin CsinAsinAsinB+cosAcosB+sinAsinB111十cot Bcot C+1cot CcotA+1cot Acot B+14C 的方程为y=一一x.33结语我们在用教材的习题进行教学时,不应该仅满足对问题本身的
4、解答,而应对它们进行一些深入的探究,发现多种解法或对原题作一些拓展探究,由特殊到一般,得到结论的一般形式,从而,让学生触类旁通,会做一题到会做一类题,以提高课堂效率.87-282023年第7 期数学教学(cot Bcot C+1)+(cotCcotA+1)41+(cotAcotB+1)1:cot Bcot C+111+cot CcotA+1cotAcotB+19(1+1+1)244式获证.例2(文1 例9)在ABC中,求证:3cosA+cosB+cosC 4证明:问题的核心自然是将cos“余切coscot化.事实上,cos=sin+cos1+cot2于是,结合应用三维柯西不等式,并注意到三角形
5、恒等式,有式左边cotAcotBcotC+1+cotA1+cotB3*1+cotC(cotA+cotB+cot C)2(1+cotA)+(1+cotB)+(1+cotC)cotA+cotB+cotC+2(cot Bcot C+cot CcotA+cot Acot B)3+cot?A+cot?B+cot?CcotA+cotB+cotC+23+cotA+cotB+cotC1=13+cotA+cotB+cotC11-3+cotBcot C+cot CcotA+cot AcotB13三13+1-4式得证.2“连锁”证明三角形不等式首先,对于例1,注意到三角形恒等式:cos(-)=coscos+sins
6、in和式,“连锁”可得的是其反向不等式:例33(文1例5)在锐角ABC中,求证:cos Bcos Ccos Ccos Acos Acos B3cos(B-C)cos(C-A)cos(A-B)4其次,由和可得:sinBsinC-cosBcosCsin CsinA-cos Ccos Acos(B-C)cos(C-A)sinAsin B-cos Acos B933+cos(A-B)442显然,上面不等式就是:例4(文1例4)在锐角ABC中,求证:cos Acos Bcos C3cos(B-C)cos(C-A)cos(A-B)2再则,对于例2,与之“连锁 的三角形不等式是:例5(文1 例7 在锐角AB
7、C中,求证:cos Bcos Ccos Ccos Acos Acos B3cos Acos Bcos C2证明:应用代数不等式:(+y+z)3(y z+z+xy),并注意到例2(即式),有式的左边cos Bcos Ccos CcosAcosAcos B)2十cos Acos BcosCcosCcosAcosAcosBcosAcos Bcos BcosC cos BcosCcosCcosAcos BcosCcosCcosAcOsAcos B3=/3(cosA+cos*B+cosC)3X432有意思的还有,当角A、B、C为(任意)ABA BC的三个内角时,关于它们的半角22CTATBTC居然满足为
8、某锐12222222角三角形的三个内角.于是,在以上五例中作ATB三角形代换:(A,B,C)TT2222TT,则是与之分别对应的以下五个关于22三角形的半角不等式:证法2:在(锐角)ABC中,有,有看有何反响?利用优化后的(*)式,不妨再来证明例7-292023年第7 期数学教学例6(文1例2)在ABC中,求证:BCCAABsinsinsinsinsinsin2222229B-CC-AA-B4coscoscoS222例7(文1例10)在ABC中,求证:ABC322+2sinsin2sin2242例8(文1例3)在ABC中,求证:BCCAABsinsinsinsinsin2222223BCC一A
9、A-B4coSCOScoS222例9(文1例1)在ABC中,求证:ABCsinsinsin2223BCC-AAB2一一coscoscos222例10(文1例8)在ABC中,求证:BCCAABsinsinsinsinsinsin2222223ABC2sinsinsin2223优化经典证明三角形不等式笔者注意到(198 3年瑞士数学竞赛试题)(见文2):已知a,b,c 0,求证:(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)abc.该赛题可以优化文首经典奥赛题(*).事实上,以上赛题可等价变形为:a6C6+C+a+ba6C6+cc+aa+ba6C6台1b+cc+aa+bc+aCCa十a+ba+bb+c
10、a6a6C十b+cc+a6+cc+aa+ba6Ca6C+b+cc+aa+bb+cc+aa+bbc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)1+(b+c)(c+a)(a+b)2abc(b+c)(c+a)(a+b)a6C+b+c+c+aa+bbc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)+2abc1+(b+c)(c+a)(a+b)4abc(b+c)(c+a)(a+b)注意到代数恒等式:(b+c)(c+)(+b)=bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)+2abc,知以上最后一个不等式即为:已知a,b,c 0,则有a6C+b+cc+aa+b4abc2(b+c)(c+a)(a+b)(*)*)式就
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