上海市复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：推理与证明.doc

复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：推理与证明
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知为不相等的正数，，则A、B的大小关系( )
A． B． C． D．
【答案】A
2．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
【答案】C
3．已知a，b，c都是正数，则三数( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
【答案】D
4．用反证法证明“方程至多有两个解”的假设中，正确的是( )
A． 至多有一个解 B． 有且只有两个解
C． 至少有三个解 D． 至少有两个解
【答案】C
5．用反证法证明命题“若，则全为0”其反设正确的是( )
A．至少有一个不为0 B． 至少有一个为0
C． 全不为0 D． 中只有一个为0
【答案】A
6．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数中恰有一个偶数”,正确的假设为( )
A．都是奇数
B．都是偶数
C．中至少有两个偶数
D．中至少有两个偶数或都是奇数
【答案】D
7．下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )
A．2 B．4 C．6 D． 8

【答案】C
8．若，则的大小关系是( )
A． B． C． D．由的取值确定
【答案】C
9．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度
【答案】B
10．平面内有条直线，最多可将平面分成个区域，则的表达式为( )
A． B． C． D．
【答案】C
11．用反证法证明：“方程且都是奇数,则方程没有整数根” 正确的假设是方程存在实数根为( )
A．整数 B．奇数或偶数 C．自然数或负整数 D．正整数或负整数
【答案】C
12．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆
B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆的面积S=πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解法：
解：由，令，则，
所以不等式的解集为．
参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为
【答案】
14．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积　　　　　．
【答案】
15．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是
【答案】三角形的内角中至少有两个钝角
16．若正数满足,则的最大值为 ．
【答案】
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．求证：（是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与轴有两个交点．
【答案】假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点，则有
　三式相加，得a2+b2+c2－ab－ac－bc≤0
(a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0．
∴a=b=c与已知a，b，c是互不相等的实数矛盾，
∴这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．
18．已知函数,用反证法证明:方程没有负实数根.
【答案】假设存在x0<0(x0≠-1),满足f(x0)=0,
则=-,且0<<1,
所以0<-<1,即<x0<2.
与假设x0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.
19．已知a，b，c均为实数，且，，，求证：a，b，c中至少有一个大于0.
【答案】假设a，b，c都不大于，即a≤0，b≤0，c≤0，得a+b+c≤0，
而a+b+c=(x－1)2+(y－1)2+(z－1)2+π－3>0，
即a+b+c>0，与a+b+c≤0矛盾，故假设a，b，c都不大于是错误的，
所以a，b，c中至少有一个大于0.
20．有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:

给出如下变换公式:

将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变成q；如5→=3，即e变成c.
①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？
②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？
【答案】①g→7→=4→d; o→15→=8→h; d→o;
则明文good的密文为dhho
②逆变换公式为

则有s→19→2×19-26=12→l； h→8→2×8-1=15→o；
x→24→2×24-26=22→v； c→3→2×3-1=5→e
故密文shxc的明文为love
21．已知，求证：。
【答案】要证，只需证：,
只需证：
只需证：
只需证：，而这是显然成立的，
所以成立。
22．用分析法证明：若a＞0，则
【答案】要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋．
∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（＋2）2≥（a＋＋）2，
只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2（a＋），
只需证≥（a＋），只需证a2＋≥（a2＋＋2），
即证a2＋≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.

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