初三数学第一学期 圆中的计算问题 华东师大版.doc

初三数学第一学期 圆中的计算问题
一. 本周教学内容：
1. 圆中的计算问题
2. 全章复习

二. 重点、难点：
重点：
1. 弧长公式、扇形面积公式的应用。
2. 圆柱、圆锥侧面积、全面积的应用。
3. 圆的认识、与圆有关的位置关系复习。
难点：
1. 添加辅助线的规律。
2. 数学思想、方法渗透。
3. 最新中考题题型及解题方法剖析。

【典型例题】
一. 圆中的计算问题
例1. 一个小孩荡秋千，如图1所示，秋千链子的长OA为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好为60°，并且两边摆动角度相同。求：
（1）秋千摆至最高位置时与其摆到最低位置时的高度之差；
（2）秋千从B点摆到至D点所走过的路程（结果都精确到0.01m）。
（2004年新疆乌鲁木齐中考题）

解析：由实例可抽象出如图2的扇形，从而（1）可用垂径定理解答。而第（2）问即是求的弧长，可用弧长公式求解。

答案：（1）如图2，连接BD交OA于点C
于是∠BOA=∠DOA=30°，AO⊥BD
在Rt△OCD中，

答：（1）最高点与最低点的高度差约0.33米，（2）从B摆到D所走过的路程约为2.62米。

例2. 若一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且它们的面积相等，则这个扇形的圆心角为____________度。
解析：设圆的半径为r
则扇形的半径为3r，圆的面积为，扇形的面积为。
于是，所以n=40，即圆心角为40o。
答案：40

例3. 如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，若OA=4cm，以AB为直径作半圆，求图中阴影部分的面积。

解析：欲求图形中阴影部分的面积，必须分析阴影部分的面积的组成是否有直接的公式计算，如果是不规则的图形，则应分割为可求图形面积的和或差或倍数来解决。
图中阴影部分面积等于以AB为直径的半圆面积减去弓形AmB的面积，其弓形面积。
答案：因为OA=4cm，∠O=90°，OB=4cm
所以
又AB=（cm）
所以
而
故

例4. 一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。
解析：画出如图的示意图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长L，底面圆半径。由圆锥定义可知，圆锥的高、母线和底面圆半径构成直角三角形即Rt△SOA，且SO=10，SA=L，OA=r，可找到L与r的关系。再由侧面展开图是半圆，可得关系，即L=2r。

答案：设圆锥底面圆半径为r，扇形弧长为C，母线长为L。由题意，得，又，所以，即L=2r。①
在Rt△SOA中，。 ②
由①、②解得，
故所求圆锥侧面积为

例5. 如图所示，一个圆柱体的高为20厘米，底面半径为6.7cm，在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，想吃到与A点相对的上底面B点的一颗砂糖，这只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱形的曲面爬到B点，最短路线多长（精确到0.1cm）？

解析：蚂蚁的爬行路线我们难以想像，但当我们将圆柱的侧面展开后，得到一个矩形，由两点间距离最短，易得结论。
答案：圆柱的侧面展开图为矩形AMNP。如图，从A到B的最短路线，即是从A到NP的中点间的距离的长。
在中，AP=20cm

由勾股定理得
答：最短路线长为29.0cm。

二. 全章复习
例1. （2003年黑龙江中考题）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

解析：过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理，有，连结OB，在Rt△BOD中，，所以OP只能为3、4、5三个数，再由P点的位置知，这样的点有5个。
答案：D

例2. （2002年呼和浩特中考题）如图，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，则等于（ ）
A. sinBPC B. cosBPC C. tanBPC D. cotBPC

解析：连结BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，由∠A=∠D，∠ABP=∠DCP，得△ABP∽△DCP，故。
答案：B

例3. （2003年浙江金华市、衢州市中考题）如图，⊙、⊙交于A、B两点，点在⊙上，两圆的连心线交⊙于E、D，交⊙于F，交AB于点C。请根据图中所给出的已知条件（不再标注其他字母，不再添加任何辅助线），写出两个线段间的关系式：（1）____________；（2）_________________。（半径相等除外）

解析：由圆的轴对称性知：AC=BC；由是直径，∠=90°，而AC⊥，易得△∽△FAC∽△，故可得，，等。
答案：如AC=BC，，，
等。

例4. （2004年湖北武汉市中考题）如图所示，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D，PF交AC于F，交AB于E，要使AE=AF，则PF应满足的条件是_____________（只需填一个条件）。

解析：若AE=AF，则△AEF为等腰三角形。又因AD平分∠EAF，所以PF⊥AD。因填条件PF⊥AD即可。若继续探究，可得另一个条件PF平分∠APC。
答案：PF⊥AD，或PF平分∠APC。

例5. （2003年河南省中考题）如图，某燃料公司的院内堆放着10个外径为1米的空油桶，为了防雨，而搭建简单防雨棚，这个防雨棚的高度最低应为__________米（取1.73，结果精确到0.1米）。

解析：先求圆心组成的等边三角形的角，其高为，再求雨棚的高度，其高至少为米。
答案：3.6

例6. [2004年四省区国家基础教育课程改革实验区（灵武）中考题]如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平行移动的距离为_________cm。

解析：传送带上的物体平行移动的距离等于半径为30cm，圆心角为120°的扇形的弧长，其长为。
答案：

例7. [2004年辽宁大连市（实验区）中考题]如图1，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD。求证：。

说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来（要求至少写3步）。（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
①∠CDB=∠CEB；
②AD//EC；
③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°。
答案：证明：如图2，连结AF，则∠ABD=∠F

∵∠ADG=∠ABD，∴∠ADG=∠F
∵DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90°
∴∠ADF+∠F=90°
∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°
∴∠DAF=∠CDE=90°
∵CB⊥AB ∴∠CBE=90°
取EC中点M，连结DM、BM，则DM=BM=CM=EM
即D、E、B、C在以EC为直径的圆上
∵∠ABD=∠DCE ∴∠DCE=∠F
∴△DAF∽△EDC

（一）没有直接解答问题写出探究过程。
思路一：如图1，连结AF
∵DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90°
∴∠ADF+∠F=90°
∵∠ADG=∠ABD，∠ABD=∠F
∴∠ADG=∠F
∴∠ADF+∠ADG=90°，∴DF⊥CG
思路二：如图2，连结AF
∵DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90°
∴∠ADF+∠F=90°
∵CB⊥AB，∴∠CBD+∠ABD=90°
∵∠ABD=∠F，∴∠ADF=∠CBD
思路三：如图3，连结BF

∵DF为⊙O的直径，∴∠DBF=90°
∴∠ABD+∠ABF=90°
∵∠ADG=∠ABD，∠ADF=∠ABF
∴∠ADG+∠ADF=90°，即∠GDF=90°
∴CG切⊙O于D
思路四：如图4，连结AF

要证
需证△DAF∽△EDC
需证∠F=∠DCE，∠ADE=∠DEC
要证∠ADE=∠DEC，需证AD//CE
要证∠F=∠DCE，需证∠DCE=∠DBA
（二）选取①。
如图3，连结AF，则∠ABD=∠F
∵∠ADG=∠ABD，∴∠ADG=∠F
∵DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90°
∴∠ADF+∠F=90°
∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°
∴∠DAF=∠CDE=90°
∴CD是⊙O的切线
∴∠BAD=∠BDC
∵∠BDC=∠CEB，∴∠BAD=∠CEB
∴AD//EC，∴∠ADF=∠DEC
∴△DAF∽△EDC

（3）选取②。
如图5，连结AF，BF

∵∠ADG=∠DBA，∠ADF=∠ABF
∴∠ADG+∠ADF=∠DBA+∠ABF
即∠GDF=∠DBF
∵DF是⊙O的直径
∴∠DBF=∠DAF=90°
∴∠GDF=90°，∴∠DAF=∠EDC=90°
∵AD//CE，∴∠ADE=∠DEC
∴△ADF∽△DEC，∴

（四）选取③。
证明：如图5
∵DF是⊙O的直径，∴∠DAF=90°
∵∠CDE=90°，∴∠DAF=∠COE
又∵∠ADF=∠DEC，∴△ADF∽△DEC

【模拟试题】（答题时间：80分钟）
一. 填空题（3分×12=36分）
1. 一个点到一个圆的最短距离为4cm，最长距离为8cm，则这个圆的半径为_________。
2. 已知⊙O的半径为5cm，点P在圆内，且OP=3cm，则过P点的最大弦为_________，最短弦为_________。
3. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠AOC=130°，则∠D的度数为_________。

4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心，以5为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是_________。
5. 如图，已知⊙O的弦AC、BD相交于点E，点A在运动，当点A的位置在_________时，△ABE∽△ACB。

6. 扇形的圆心角为150°，半径为4cm，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为_________。
7. 在△ABC中，I是内切圆圆心，如果∠A=80°，那么∠BIC=_________。
8. 如图，P是⊙O直径BC反向延长线上一点，PA是⊙O的切线，∠P=20°，则∠ACP=_________。

9. 若⊙与⊙的半径分别为2和1，圆心坐标分别是（1，2），（2，1），则两圆的位置关系是_________。
10. 如图，A、B、C、D是圆周上四点，，且弦AB=8，弦CD=4，则图中两个弓形（阴影）的面积和是______________。

11. 如图，半圆O的圆心在梯形ABCD的下底AB上，且另外三边AD、DC、CB均与半圆O相切。已知，则AB的长为______________。

12. 内切两圆的半径长分别是方程的两根，已知两圆圆心距为1，其中一圆半径等于3，则p+q=______________。

二. 选择题（3分×10=30分）
13. 在半径为12的圆中，垂直且平分半径的弦的长为（ ）
A. B. C. 24 D.
14. 如图，已知PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交AB于C，则图中能用字母表示的直角共有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

15. 在半径为6cm的圆中，75°的圆周角所对的弧长是（ ）
A. B. C. D.
16. 已知⊙O的直径AB=12cm，P为OB的中点，过P作CD，与AB成30°角，则弦CD的长为（ ）
A. B. C. D.
17. 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆形（ ）

18. 如果圆锥的高为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
19. 直角三角形的两条直角边的和为8，斜边为6，则内切圆的半径为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
20. 两圆的半径分别为R，r（R>r），圆心距为d，且满足等式，则这两圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 内切或外切
21. 如图，AB是⊙O直径，P是BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，AD切⊙O于A，交PC于D，若AD=2，CD：DP=1：2，则⊙O直径AB长为（ ）
A. B. C. 2 D. 4

22. 如图，有一张180×160cm（长为180cm，宽为160cm）的矩形木板，木工师傅要用它锯出直径为40cm的小圆面，用于制作花盆架，请你设计一下这张木材最多可以锯成这样的小圆面（ ）
A. 16个 B. 18个 C. 19个 D. 20个

三. 解答题（23~26题每题8分，27题10分，共42分）
23. 如图所示，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，CD⊥AD于D，且AC平分∠DAB，连结OC，那么DC是⊙O的切线吗？为什么？

24. 如图，⊙O的割线PAB与PCD的夹角为40°，的度数为142°，求∠AEB的度数。

25. 如图，AB是⊙O的直径，OE⊥AC于E，OF⊥AD于F，OE=OF，且AB是AC与AD的比例中项，试说明：BC是⊙O的切线。

26. 如图，EB是⊙O的直径，A是BE延长线上一点，过A、B分别作⊙O的切线相交于C，B、D为切点，且BE=BC=6，求AD的长。

27. 如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC=∠PCE，（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径。

四. 探究题（12分）（选做）
28. 如图1，⊙和⊙内切于点P，C是⊙上任一点（与点P不重合）。
实验操作：将直角三角形的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点，另一条直角边所在直线交⊙于点A、B，直线PA、PB分别交⊙于点E、F，连结CE（图2是实验操作备用图）。

探究：（1）你发现有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现；
（2）你发现线段CE、PE、BF有怎样的比例关系？证明你的发现。
附加题：如图3，若将上述问题的⊙和⊙由内切变为外切，其他条件不变，请你探究线段CE、PE、BF有怎样的比例关系，并证明。

[参考答案]

1. 6cm或2cm
提示：若点在圆内，则直径为4+8=12cm，故半径为6cm；若点在圆外，则直径为，半径为2cm。
2. 10cm，8cm
提示：圆内最大弦为直径，最短弦为垂直于这条直径且过P点的弦。
3. 25°
提示：：因∠AOC=130°，所以∠BOC=50°，于是∠D
4. 相交
提示：由勾股定理知BC=8，过C作CD⊥AB于D，则
，所以CD=4.8<5，即d<r。
5. 中点
提示：若△ABE∽△ACB，则∠C=∠ABE，于是需要。
6.
提示：圆锥的表面积等于侧面积与底面积的和，设底面半径为r，则，。底面圆面积为，侧面积为，故表面积为。
7. 130°
提示：∠BIC=180°∠ABC∠ACB=180°（∠ABC+∠ACB）=180°（180°－∠A）=90°+∠A=130°。
8. 35°
提示：连结OA，则OA⊥PA，所以∠AOP=70°，又OA=OC，∠C=∠OCA=∠AOP=35°。
9. 相交
提示：易求
10.
提示：将弧顺时针旋转，使C点与A点重合，则旋转后的两个弓形组成的弧为半圆。
11. a+b
提示：连结OD，OC，则∠ADO=∠CDO，∠BCO=∠DCO，又因为AB//CD，所以∠CDO=∠AOD，∠DCO=∠BOC，从而∠AOD=∠ADO，∠BOC=∠BCO。
12. 1或5
提示：圆心距为1，一圆半径为3，两圆相切，则另一圆半径为2或4。当两圆半径为2和3时，，，，当两圆半径为3和4时，，，。
13. B
提示：半径，圆心距和半弦构成直角三角形，由勾股定理可求解。
14. D
提示：直角有∠OAP，∠OBP，∠ACO，∠BCO，∠ACP，∠BCP，共6个。
15. B
提示：75°圆周角对应的圆心角为75°×2=150°，其对应弧长为。
16. A
提示：过O作OE⊥CD于E，OP=3，∠OPE=30°，所以，连结OC，则，。
17. B
提示：90°的圆周角对应的是半圆（直径）。
18. B
提示：母线、高、半径构成直角三角形，故底面圆半径，侧面积。
19. A
提示：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半。
20. D
提示：由得，即=0，从而或。
21. A
提示：连结OC，CD=AD=2，又CD：DP=1：2，所以PD=4，从而PA=，PC=6，易证△PAD∽△PCO，从而，即，。
22. B
提示：沿一边宽并排锯四个，接着和锯下的圆面相切锯三个，共可锯出4+3+4+3+4=18个。
23. 因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，又因为∠OAC=∠DAC，于是∠DAC=∠OCA，所以OC//AD，而AD⊥CD，所以OC⊥CD，故CD是⊙O切线。
24. 因为的度数为142°，所以∠BAD=71°，又因为∠P=40°，所以∠B=∠D=71o－40°=31°，从而∠AEB=180°－∠BAD－∠B=78°。
25. 连结BD，因为OE=OF，所以∠BAC=∠DAB，又因为，即，故△ABD∽△ACB，所以∠ADB=∠ABC，由于AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，从而∠ABC=90°，BC⊥AB，即得BC是⊙O的切线。
26. 连结OD，则OD⊥AD，BC是⊙O的切线，所以AB⊥BC，因为BC=BE=6，所以DC=6，BO=EO=DO=3，设AD为x，则在Rt△ADO和Rt△ABC中，，所以，（舍去），，故AD=4。
27. （1）在△OCP与△CEP中，因为∠PCO=∠PCE，∠OPC=∠CPE，所以∠OCP=∠CEP，又因为CD⊥AB，所以∠CEP=90°，∠OCP=90°，PC⊥OC，故PC是⊙O的切线。
（2）设OE=x，则EA=2x，OC=OA=3x。因为∠COE=∠AOC，∠OEC=∠OCP=90o，所以△OCE∽△OPC，，从而，即，解之得x=1，所以OA=3x=3。
28. 实验操作，图形正确。
（1）证法一：如图1，过P点作两圆外公切线MN，连结EF

∵MN为两圆的外公切线
∴∠NPB=∠PEF=∠A，∴EF//AB。
又∵，∴
又∵为⊙的半径，。
证法二：如图2过点P作两圆的外公切线MN，连结CP。

∵⊥AB，的半径，
∴AB切⊙于C，∴∠BCP=∠CEP
∵MN为两圆外公切线，∴∠MPA=∠B=∠PCE
∴∠CPE=∠CPB，
证法三：如图3，连结PC并延长交⊙于G，连结。

∵P为切点，则在上
∵，∴
又∵，∴∠=∠
∴∠，∴
∴⊥AB，∴⊥AB

探究（2）结论：
证法一：如图4，连结CF

∵AB切⊙于C，∴∠BCF=∠CPB
∵∠CPB=∠CPE，∴∠BCF=∠CPE
∵⊙是四边形ECFP的外接圆，∴∠CFB=∠CEP
∴△BCF∽△CPE，∴
又∵

证法二：如图5，连结CF

∵AB切⊙于C
∴∠PCB=∠PEC
又∵∠EPC=∠CPB
△PEC∽△PCB

∵AB切⊙于C，
∴∠BCF=∠CPB
又∵∠B=∠B，∴△CFB∽△PCB

∵

附加题：
图正确，结论：
证法一：如图6，过点P作两圆的内公切线MN，连结CF，EF，PC

∵⊥BC，为⊙的半径
∴BC切⊙于C
∵MN是两圆的内公切线
∴∠MPE=∠EFP，∠NPA=∠B
又∵∠MPE=∠NPA，∴∠EFP=∠B
∴EF//BC，∴⊥EF
∴
∵∠B=∠EFP，∠EFP=∠ECP
∴∠B=∠ECP
又∵∠PEC=∠PFC，∴△EPC∽△FCB

证法二：如图6，过点P作两圆的内公切线MN，连结CF，EF，CP
∵MN是两圆的内公切线
∴∠MPE=∠EFB，∠NPA=∠B
∵∠MPE=∠NPA，∴∠EFB=∠B
∵⊥CB，是⊙的半径
∴BC切⊙于C，∴∠PCB=∠PFC
∵∠FEC=∠FPC=∠PCB+∠B，∠EFC=∠PFC+∠EFB
∴∠FEC=∠EFC，∴CF=CE
余下同证法一