应用构造法解指数方程.pdf
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1、2023年第2期河北理科教学研究问题讨论特殊的指数方程有各种特殊的解法.本文介绍三种构造法,供初三和高中师生教与学时参考.1构造一元二次方程解指数方程例1 解方程2+3x+2-3x=4.解:2+3x2-3x=()4-3x=1,根据韦达逆定理,由、知:2+3x和2-3x是方程t2-4t+1=0的两个根,t1=2+3,t2=2-3.2+3x=2+3或2+3x=2-3,()2+3x2=()2+31或()2+3x2=()2+3-1,x=2或x=-2.经检验x=2,x=-2都是原方程的解.例2 解方程6x+4x=9x.解:6x0,方程两边同除以6x得1+23x=32x,即32x-23x=1,又32x-2
2、3x=-1,根据韦达逆定理,由、知32x,-23x是方程t2-t-1=0的两个根,解得t1,2=152,从而32x=1+52或-32x=1-52,解之得x=log321+52,经检验x是原方程的解.例3解 方 程(a-x)23-6(a2-x2)13+4(a+x)23=0,这里a0.分析:考虑到23是13的2倍,故可将根式方程变形转化为一元二次方程,然后应用求根公式求解.解:显然x=-a不是原方程的根,故x+a0,用(a+x)23除方程的各项得a-xa+x23-6a-xa+x13+4=0,由求根公式得a-xa+x13=3+5,当a-xa+x13=3+5时,应用构造法解指数方程江苏省泰州市海陵区森
3、南新村15栋103室 于志洪 225300摘要:指数方程是中学数学的重点和难点,本文给出了三种应用构造法解指数方程的途径,新颖实用.关键词:构造法;指数方程 152023年第2期河北理科教学研究问题讨论x1=1-()3+531+()3+53a,当a-xa+x13=3-5时,x2=1-()3-531+()3-53a,方程两边同时立方,不破坏同解性.所以经检验知x1=1-()3+531+()3+53a,x2=1-()3-531+()3-53a都是原方程的解.2构造指数函数解指数方程例4 解方程:3x+4x+5x=6x.解:方程两边同时除以6x,整理得36x+46x+56x-1=0.构造指数函数f(
4、x)=36x+46x+56x-1,显然f(3)=363+463+563-1=0,则x=3是方程的一个解.因为36x,46x,56x均为R上的减函数,所以f(x)是定义域R上的减函数,因此原方程有且只有唯一解x=3.例5 求方程5x+12x=13x的所有解.解:观察易知x=2是原方程的一个解.原方程两边同除从13x得,513x+1213x=1.构造指数函数f(x)=513x+1213x.由指数函数的单调性可知,f(x)在其定义域R上也为严格单调递减函数.因此原方程仅一解x=2.例6 解方程9x+6x=24x.解:方程两边同除以4x得94x+64x-2=0.由观察发现f()0=940+640-2=
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