一阶、二阶常微分方程简捷解法.pdf
《一阶、二阶常微分方程简捷解法.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一阶、二阶常微分方程简捷解法.pdf(8页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(8),2345-2352 Published Online August 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.138242 文章引用文章引用:晏建学,张曦丹,朱南丽.一阶、二阶常微分方程简捷解法J.理论数学,2023,13(8):2345-2352.DOI:10.12677/pm.2023.138242 一阶、二阶常微分方程简捷解法一阶、二阶常微分方程简捷解法 晏建学晏建学1,张张曦丹曦丹2,朱朱南丽南丽1
2、 1云南财经大学商学院,云南 昆明 2云南财经大学物流与管理工程学院,云南 昆明 收稿日期:2023年7月6日;录用日期:2023年8月7日;发布日期:2023年8月14日 摘摘 要要 本文针对一阶、二阶可降阶、二阶常系数线性常微分方程的常规解法进行梳理,对题型加以细化,并针本文针对一阶、二阶可降阶、二阶常系数线性常微分方程的常规解法进行梳理,对题型加以细化,并针对每一种细化题型总结出一套较为独特简捷的解法。创新对每一种细化题型总结出一套较为独特简捷的解法。创新之处在于之处在于针对针对一阶线性微分方程一阶线性微分方程三种三种题型直接题型直接凑微分凑微分,二阶可降阶二阶可降阶微分方程微分方程不设
3、中间变量直接不设中间变量直接凑微分,二阶常系数线性常微分方程三种凑微分,二阶常系数线性常微分方程三种题型题型(特征方程特征方程单根、单根、二重根二重根、共轭复根、共轭复根)直接直接凑微分求通解,凑微分求通解,二阶常系数非齐次线性微分方程三种二阶常系数非齐次线性微分方程三种基本题型基本题型及及四种扩展四种扩展题型题型直接直接求特解求特解,解题方法快速简洁解题方法快速简洁,深受学生深受学生好评好评。关键词关键词 凑微分,凑微分,y y,凑,凑,yy,凑,齐次,非齐次,多项式,指数函数,三角函数,通解,特解凑,齐次,非齐次,多项式,指数函数,三角函数,通解,特解 Solving Process Si
4、mply for First-Order and Second-Order Ordinary Differential Equation Jianxue Yan1,Xidan Zhang2,Nanli Zhu1 1Business School,Yunnan University of Finance and Economics,Kunming Yunnan 2School of Logistics and Management Engineering,Yunnan University of Finance and Economics,Kunming Yunnan Received:Jul.
5、6th,2023;accepted:Aug.7th,2023;published:Aug.14th,2023 Abstract This paper combs the conventional solving process for first-order,second-order reducible,second-order constant coefficient linear ordinary differential equation,refines the types of problems,and 晏建学 等 DOI:10.12677/pm.2023.138242 2346 理论
6、数学 summarizes a set of unique and simple solving process for each refined type of problems.The in-novation lies in the direct integration of three types of problems of the first order linear differen-tial equation,the second order reducible differential equation without intermediate variables,the se
7、cond order constant coefficient linear ordinary differential equation with three types of prob-lems(single root,double root and conjugate complex root of characteristic equation),the second order constant coefficient linear non-homogeneous differential equation with three basic prob-lems and four ex
8、tended problems,and the direct integration of differential equations to find gen-eral solutions.The solution method is fast and simple,and praised by students highly.Keywords Piecemeal Differential,Piecemeal y y,Piecemeal yy,Homogeneous,Non-Homogeneous,Polynomial,Exponential Function,Trigonometric F
9、unctions,General Solution,Special Solution Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.微分方程基本概念微分方程基本概念 含未知函数及其导数的方程称为微分方程1,微分方程广泛应用于物理、工程、经济等多个领域描述众多实际现象和
10、问题。微分方程分为许多不同类型,每种类型都有自己独特的性质和解法,解题方法灵活多变,难以掌握。笔者在多年教学中针对一阶、二阶可降阶、二阶常系数常微分方程常规解法进行梳理,对题型进行细化,针对一阶线性微分方程三种题型直接凑微分,二阶可降阶微分方程不设中间变量直接凑微分,二阶常系数线性常微分方程三种题型(特征方程单根、二重根、共轭复根)直接凑微分求通解2,二阶常系数非齐次线性微分方程三种基本题型及四种扩展题型直接求特解,解法独特简捷,深受学生好评。常见的微分方程类型如下3:1)可分离变量微分方程()()ddf xxg yy=2)齐次(可化为齐次)微分方程ddyyxx=3)一阶线性微分方程()()y
11、P x yQ x+=Bernulli 方程()()nyP x yQ x y+=4)可降阶高阶微分方程()()nyf x=、(),yf x y=、(),yfy y=5)二阶常系数齐次线性、非齐次线性微分方程0ypyqy+=,()ypyqyf x+=本文例题及常规解法出自同济大学数学系高等数学(第七版)上册1(高等教育出版社 2014 年北京)。2.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程()()g yyf xxdd=两边积分:()()ddg yyf xx=,得到()()G yF xC=+例例 1:d2dyxyx=,d2 dyx xy=,d2 dyx xy=,2lnlnyxC=+,2exyC=Op
12、en AccessOpen Access晏建学 等 DOI:10.12677/pm.2023.138242 2347 理论数学 3.齐次方程齐次方程yyx=令yux=,则yux=,()uxuyu+=,()dduxuux=,()dduxuux=,化为可分离变量微分方程,两边积分:()dduxuux=,得到()lnlnlnyuxCCxx=+=例例 2:dlndyyyxxx=,yux=,lnuxuyuu+=,()ddln1uxuux=,()d ln1dln1uxux=两边积分:ln ln1lnlnlnuxCCx=+=,ln1yCxx=+。4.一阶线性微分方程一阶线性微分方程()()yP x yQ x
13、+=+=三种题型及其解法:将三种题型及其解法:将 y y,凑一块,然后积分凑一块,然后积分 1)题型一:题型一:()()()()y u xyuxyu xf x+=两边积分:两边积分:()()dyu xf xxC=+例例 3:()212cosxyxyx+=,()21cosxyx=,()21cos dsinxyx xCxC=+=+2)题型二题型二:()()()y v xyv xf x=,()()()()()()22y v xyv xf xyv xvxvx=,积分积分()()()2df xyv xxCvx=+例例 4:()52211yyxx=+,()()()9221211xyxyx+=+,()()(
14、)()212412111xyxyxx+=+,()()12211yxx=+,()()3222113yxxC=+3)题型三:题型三:()()yP x yQ x+=,()()()()()()()ddddeeeeP xxP xxP xxP xxyyP xyQ x+=积分:积分:()()()ddeedP xxP xxyQ xxC=+,求出求出()()()()ddeedP xxP xxyQ xxC=+例例 5:22yxyx+=,()2222e2 ee2 exxxxyxyyx+=,22eexxyC=+,21exyC=+。5.可降阶二阶微分方程三种题型及其解法可降阶二阶微分方程三种题型及其解法 1)题型一:题
15、型一:()()nyf x=逐次积分法逐次积分法 例例 6:2ecosxyx=,积分三次,得到211esin22xyxC=+,2121ecos24xyxC xC=+,221231esin8xyxC xC xC=+2)题型二:题型二:(),yf x y=凑微分法,凑凑微分法,凑,yy(无需令无需令yp=),然后分离变量,再积分,然后分离变量,再积分 例例 7:()212xyxy+=,01xy=,03xy=,()22ln1yxyyx=+,()21lnln 1lnyxC=+,()()22113 1yCxx=+=+,332331yxxCxx=+=+3)题型三:题型三:(),yfy y=凑微分法,将凑微分
16、法,将,yy凑一块,凑一块,,y y凑一块凑一块(无需令无需令yp=)再求解再求解 例例 8:22lnyyyyy=,22lnyyyyy=,lnyyy=,()()lnlnyy=,()lnlnyy=晏建学 等 DOI:10.12677/pm.2023.138242 2348 理论数学 令lnzy=,zz=,22z zz z=,()()22zz=,2221zzC=+,221zzC=+,2211zzC=+,()2212lnlnzzCxC+=+,2212lnlnexyyCC+=例例 9:3yy=,01xy=,02xy=,26y yyy=,()3224yy=,3224yy=,342yy=,342y y=,
17、1442y=,14424yx=+,412xy=+。6.二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0+=+=的通解的通解 该常规方法用于求齐次的通解,便于记忆,方便实用(表 1)。Table 1.General solution of second order homogeneous linear differential equation with constant coefficients ypyqy+=0(from the first volume of the seventh edition of Advanced Mathematics,Tongji Univers
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 一阶 二阶常 微分方程 简捷 解法
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【自信****多点】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【自信****多点】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。