四心圆法形成椭圆的误差分析.pdf
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1、第 31 卷 第 3 期厦门理工学院学报Journal of Xiamen University of TechnologyVol.31 No.32023 年 6 月Jun.2023四心圆法形成椭圆的误差分析王甲春*,林煜凯,曾瑞江(厦门理工学院土木工程与建筑学院,福建 厦门361024)摘要摘要 通过四心圆法绘制长轴为2a和短轴为2b的椭圆,分析四心圆法形成椭圆的绝对误差和相对误差。结果表明:四心圆法形成的椭圆,其绝对误差曲线呈“钩状”并存在两个极值点,正偏差极值点的x轴坐标为(a2+b2+(a-b)a2+b2)2/(4b2)-a4/b2/(1-a2/b2)0.5,负偏差的极值点x轴坐标是x
2、四次方程的根;绝对误差值随着a/b值增大而增加,在长轴端点处达到最大值。关键词椭圆画法;四心圆法;误差;极值点中图分类号TH126.2 文献标志码A 文章编号1673-4432(2023)03-0074-05Error Analysis of Forming Ellipse by Four-Center MethodWANG Jiachun*,LIN Yukai,ZENG Ruijiang(College of Civil Engineering and Architecture,Xiamen University of Technology,Xiamen 361024,China)Abstr
3、act:The ellipses with long axis 2a and short axis 2b are drawn by four-center method,and the absolute error and relative error of such formed ellipses analyzed.The results show that the ellipse absolute error curve formed by the four-center method is“hook-shaped”and has two extreme points,the x-axis
4、 coordinate of the positive deviation extreme point is(a2+b2+(a-b)a2+b2)2/(4b2)-a4/b2/(1-a2/b2)0.5,and the x-axis coordinate of the negative deviation extreme point is the root of the x-quartic equation.The absolute error value increases with the increase of the a/b value,reaching the maximum value
5、at the end of the long axis.Key words:ellipse drawing;four-center method;error;extreme point画法几何学椭圆的经典画法是四心圆法,它需要用直尺和圆规画一个给定长半轴和短半轴的近似椭圆,用4个相切的圆弧绘制椭圆。用圆弧代替椭圆弧的方法形成椭圆,至少可以追溯到16世纪文艺复兴时期,甚至可追溯到公元1世纪的罗马竞技场中椭圆建筑的建造1。四心圆法被认为是最早手绘椭圆的方法,至今它仍在椭圆的制作中发挥着重要的作用。计算机时代工程图学要利用计算思维与图doi:10.19697/ki.1673-4432.2023030
6、11收稿日期:20220901 修回日期:20230228基金项目:福建省自然科学基金项目(2019J01864);厦门理工学院课程思政项目(KCSZ202150);厦门理工学院大学生创新训练项目(2023-98)通信作者:王甲春,男,教授,博士,研究方向为建筑制图技术,E-mail:。引文格式:王甲春,林煜凯,曾瑞江.四心圆法形成椭圆的误差分析 J.厦门理工学院学报,2023,31(3):74-78.Citation:WANG J C,LIN Y K,ZENG R J.Error analysis of forming ellipse by four-center methodJ.Journ
7、al of Xiamen University of Technology,2023,31(3):74-78.(in Chinese)第 3 期王甲春,等:四心圆法形成椭圆的误差分析形思维相结合来解决工程问题2,虽然四心圆法绘制椭圆的历史悠久,但是针对此方法的计算分析才是近些年来开展的工作。闫培泽3研究了用数值四心圆法绘制椭圆的误差,得出短长轴比为0.24附近时绝对误差值最大,但是没有揭示误差的分布规律。文献 4-5讨论了四心圆法绘制椭圆的法向误差的变化规律,唐立波6给出了四心圆法绘制椭圆法向误差的三角函数表达式,周亚辉等7研究利用八心圆法来降低四心圆法的误差,但是这两种方法过于复杂。在建筑建
8、造的过程中,椭圆形的混凝土建筑物、构筑物模板的支撑和安装需要明确绝对误差和相对误差,用以确定是否需要调整。因此,本文全面分析四心圆法形成椭圆的绝对误差和相对误差的变化规律,并利用CAD三维表示四心圆法绘制椭圆和椭圆的相对位置关系,明确四心圆法形成椭圆误差的整体变化规律,计算出误差的极值点,便于四心圆法在建筑工程中的应用。1椭圆的形成画法几何中四心圆法绘制椭圆(见图1),方法简单,用尺规能够完成,手工绘制方便,用四段圆弧来代替椭圆也有利于建造的实施。设椭圆的长轴为2a,短轴为2b,则其标准方程为x2a2+y2b2=1,a b。(1)图1中,深色虚线是椭圆,细实线表示用四心圆法的绘制过程。根据对称
9、性,只需分析第一象限的椭圆弧和两段圆弧之间的差距。根据文献 8-9 得到切点P1的坐标为(12(a2+b2+a-b),12(a2+b2-a+b),圆心O1点的坐标为(12a(a2-b2+(a-b)a2+b2),0),圆1的半径为12a(a2+b2-(a-b)a2+b2),圆心O2点的坐标为(0,-12b(a2-b2+(a-b)a2+b2)),圆2的半径为12b(a2+b2+(a-b)a2+b2)。因此,圆1的方程为图1四心圆法绘制椭圆Fig.1Drawing ellipse by four-center method75厦门理工学院学报2023 年 (x-12a(a2-b2+(a-b)a2+b
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