浙江省建德市新安江高级中学高三数学《函数与方程》同步练习.doc

浙江省建德市新安江高级中学高三数学《函数与方程》同步练习
2 若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是
① 若，不存在实数使得；
② 若，存在且只存在一个实数使得；
③ 若，有可能存在实数使得；
④ 若，有可能不存在实数使得；
3 函数f(x)=3ax+1-2a,在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
4 若x0是方程的解，则x0属于区间 （ 　 ）
　　 A．　　 B． C．　 　D．
5 设函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6 偶函数满足，且在时，，则关于的方程
在上根的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7、 下图是函数的图像，它与轴有个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数在区间（ ） 上的零点
A． B．
C． D．
8 设若关于的方程有三个不同的实数解，
则等于（ ） A.5 B. C.13 D.

9 已知是以2为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（其中走为不等于l的实数）有四个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.（2009福建卷理） 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.
11. 若函数的图像是连续的，根据下面的表格，可断定的零点所在的区间为
①，②[1,2]，③[2，3]，④[3，4]，⑤[4，5]，⑥[5，6]，⑦。

1
2
3
4
5
6

136.123
15.542
-3.930
10.678
-50.667
-305.678
12 (2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
13 .(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令
，则的值为 .
14 关于的方程，给出下列四个命题：其中真命题的序号为
① 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③ 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
15 已知函数至少有一个值为正的零点，求实数的取值范围

16 已知函数在处取得极值
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围

1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值
(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
【解析】（1）设，则；
又的图像与直线平行
又在取极小值， ，
， ；
， 设
则
；
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数有一零点
.（2009福建卷理）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是
A. B C D
【答案】：D
[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得.
【答案】C
【解析】由知是周期为2的偶函数，故当时，，
由周期为2可以画出图象，结合的图象可知，方程在上有三个根，要注意在内无解．
答案：A
取k＝－12，可得(|x2－1|－4)(|x2－1|＋3)＝0
只有|x2－1|＝4有解，得x2＝5或x2＝－3(舍去),∴x＝±，
此时原方程有两个不同的实数根.①正确
取k＝，得(|x2－1|－)2＝0 Þ |x2－1|＝ Þ x2＝或x2＝
∴x＝±或x＝±，有四个不同的实数根. ②正确
取k＝0，得|x2－1|＝0或|x2－1|＝1，所以x2＝1或x2＝0或x2＝2
得x＝0或x＝±1或x＝±，有五个不同的实数根. ③正确
取k＝，得(|x2－1|－)(|x2－1|－)＝0，所以x2－1＝±或x2－1＝±
∴x2＝或x2＝或x2＝或x2＝，有八个不同的实数根. ④正确
答案：A
答案：A
100、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)设定义在R上的函数f(x)＝,若关于的方程有3个不同实数解、、，且，则下列说法中错误的是：
A B C D
答案：C
101、(湖北省荆门市2008届上期末)定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解等于（ ）
A． B． C． D．
已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若∈（1，），∈（，+），则
（A）f()＜0，f()＜0 （B）f()＜0，f()＞0
（C）f()＞0，f()＜0 （D）f()＞0，f()＞0
解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题
6、设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
（I） 当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;
（II） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;
（III） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。

解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x
即 ┉┉┉┉┉┉┉┉1分
记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.
求得 ┉┉┉┉┉┉┉┉2分
当时;;当时， ┉┉┉┉┉┉┉┉3分
故在x=e处取得极小值，也是最小值，
即，故. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。┉┉┉┉┉┉┉┉5分
令g(x)=x-2lnx,则 ┉┉┉┉┉┉┉┉6分
当时，,当时，
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。
故 ┉┉┉┉┉┉┉┉8分
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9分
（3）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性
,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。┉┉┉┉┉┉10分
若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;┉┉┉11分
若,由可得2x2-m>0，解得x>或x<-（舍去）
故时，函数的单调递增区间为(,+∞)
单调递减区间为(0, ) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)
故只需=，解之得m= ┉┉┉┉┉┉┉┉13分
即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。┉14分

11、已知函数
（I）求曲线处的切线方程；
（Ⅱ）求证函数在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，≈1.6，e0.3≈1.3）
（III）当试求实数的取值范围。
（Ⅰ），………………………………1分
又，
处的切线方程为
………………………3分
（Ⅱ），
…………………………………………4分
令，
则上单调递增，
上存在唯一零点，上存在唯一的极值点………6分
取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下
区间中点坐标
中点对应导数值
取区间

1

0.6

0.3

由上表可知区间的长度为0.3，所以该区间的中点，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应x的值。
取得极值时，相应………………………9分
（Ⅲ）由，
即，
，………………………………………11分
令
令
上单调递增，
，
因此上单调递增，
则，
的取值范围是………………………………………14分
3.（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数，，
其中．
（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一
的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存
在，请说明理由．
解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得
，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；
（II）当时有；
当时有，因为当时不合题意，因此，
下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；
当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；
同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．11.（2009广东卷理）（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
解：（1）依题可设 ()，则；
又的图像与直线平行
， ，
设，则

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时， 解得
当时， 解得
（2）由()，得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，
若，，
函数有两个零点，即；
若，，
函数有两个零点，即；
当时，方程有一解, ,
函数有一零点
综上，当时, 函数有一零点；
当()，或（）时，
函数有两个零点；
当时，函数有一零点.
16.（2009天津卷文）（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）当曲线处的切线斜率
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。
【答案】（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
【解析】解：当
所以曲线处的切线斜率为1.
（2）解：，令，得到
因为
当x变化时，的变化情况如下表：

+
0
-
0
+

极小值

极大值

在和内减函数，在内增函数。
函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
（3）解：由题设，
所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得
因为
若，而，不合题意
若则对任意的有
则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得综上，m的取值范围是
（２００７　江苏）21．（本题满分16分）
已知是不全为零的实数，函数，
．方程有实数根，且的实数根都是的根；反之，的实数根都是的根．
（1）求的值；（3分）
（2）若，求的取值范围；（6分）
（3）若，，求的取值范围．（7分）
21．本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力．满分16分．
解：（1）设为方程的一个根，即，则由题设得．于是，
，即．
所以，．
（2）由题意及（1）知，．
由得是不全为零的实数，且，
则．
方程就是．①
方程就是．②
（ⅰ）当时，，方程①、②的根都为，符合题意．
（ⅱ）当，时，方程①、②的根都为，符合题意．
（ⅲ）当，时，方程①的根为，，它们也都是方程②的根，但它们不是方程的实数根．
由题意，方程无实数根，此方程根的判别式，得．
综上所述，所求的取值范围为．
（3）由，得，，
．③
由可以推得，知方程的根一定是方程的根．
当时，符合题意．
当时，，方程的根不是方程　④
的根，因此，根据题意，方程④应无实数根．
那么当，即时，，符合题意．
当，即或时，由方程④得，
即，⑤
则方程⑤应无实数根，所以有且．
当时，只需，解得，矛盾，舍去．
当时，只需，解得．
因此，．
综上所述，所求的取值范围为．
9．已知二次函数．
（1）若a>b>c，　且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）若对，求证：关于的方程有2个不等实根且必有一个根属于．
解：（1）
的图象与x轴有两个交点.
（2），即，
，或=4{[(b+a(x1+x2)]2+a2(x1-x2)2}
又且，则，故至少有一个不是0，，
故方程有两个不等的实数根．
令，
，
又，，，故方程的根必有一个属于
函数与方程高考第一轮复习学案
一、基础知识：
1. 函数零点与方程根的关系：方程有实数根函数的图象与（轴）有交点函数有（零点）。
2.函数零点的判断：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有（，其中）。那么，函数在区间.（）内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
3.二分法：对于在区间上连续不断，且（）的函数，通过不断地把函数的（零点）所在区间(一分为二），使区间的两端点逐步逼近零点，得到零点近似值的方法叫二分法。
二、基础练习：
2 设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间为
3 已知函数，则函数的零点是__________

5 函数的零点个数为
则
A. B. C. D.
二、典例分析
例1.用二分法求函数的一个零点（精确到0.1）．

①有且仅有一个零点；②有两个零点且比-1大；

变式一:①有两个零点；②有三个零点；③有四个零点；④无零点。

变式二:已知函数至少有一个值为正的零点，试求实数的
取值范围。

三、教学反馈：

2.根据表格中的数据,可以判定方程的一个根所在的区间为 ( )

-1
0
1
2
3

0.37
1
2.72
7.39
20.09

1
2
3
4
5
A. B. C. D.
3.下列函数图象与轴均有公共点，但不宜用二分法求函数零点的序号是

①． ②． ③． ④．
4.已知函数满足，若有5个零点，则5个零点之和为
5. 用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是
6.方程lgx+x=3的解所在区间的为
A.0，1) B.(1,2) C.(2，3) D. (3,+∞)

例4.已知函数．
求证：当时，关于x的方程有三个实数解．
分析一：从“形”的角度求解．
证法一：由，得
即
在同一坐标系内作出和
的大致图象，其中的图象是以坐标轴为渐近线，
且位于第一、三象限的双曲线，与的图象是以为顶点，开口向下的抛物线．
因此，与的图象在第三象限有一个交点，即有一个负数解.
又∵，
当a>3时，，
∴当a>3时，在第一象限的图象上存在一点在图象的上方.
∴与的图象在第一象限有两个交点，即有两个正数解.
因此，当a>3时，方程有三个实数解．
分析二：从“数”的角度求解．
证法二：由，得，

即，得方程的一个解.
方程化为，
由a>3，，得 ，
∵，， ∴且．
若，即，即，解得或，
这与a>3矛盾，
因此，当a>3时，方程有三个实数解．
点评：证法一是数形结合的思想方法，借助两个函数图像的交点个数来说明方程根的个数，这是常用的一种思路，但要结合图像说清理由；证法二是代数方法．

例3．设函数，其中常数为整数。
（1）当为何值时，；
（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得 试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。
解析：（1）函数f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)连续，且

当x∈(－m,1－m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1－m)
当x∈(1－m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1－m)
根据函数极值判别方法，f(1－m)=1－m为极小值，而且
对x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m
故当整数m≤1时，f(x) ≥1－m≥0
(2)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1－m)=1-m<0,
函数f(x)=x－ln(x+m),在 上为连续减函数.

由所给定理知，存在唯一的
而当整数m>1时，

类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的
故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根
点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。
综上可

例2 是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令，
则下列关于函数的结论：

①若a<0，则函数的图象关于原点对称；
②若a=－1，－2<b<0，则方程=0有大于2的实根；
③若a≠0，，则方程=0有两个实根；
④若，，则方程=0有三个实根．
其中，正确的结论有___________．
分析：利用图像将函数与方程进行互化．
解：当且时，是非奇非偶函数，①不正确；当，时，是奇函数，关于原点对称，③不正确；当，时，，由图知，当时，才有三个实数根，故④不正确；故选②．
点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．
练习1．．注①k=-2 ②k= ③k= 0 ④k=
3：设定义在R上的函数f(x)＝,若关于的方程有3个不同实数解、、，且，则下列说法中错误的是：
A B C D
答案：C
4： 定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
5．设定义域为R的函数，则方程有7个不同实数根的充要条件是．

备用练习：
已知函数在处取得极值
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围
（3）证明：对任意的正整数，不等式都成立
函数的零点所在的区间是（ ）
（A）（B）（C）（D）

18
用心 爱心 专心