立体几何中动态问题的破解策略.pdf
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1、立体几何中动态问题的破解策略谢新华(福建省莆田第二中学 3 5 1 1 3 1 0)【摘要】立体几何中的动态问题是考试热点,问题中的“变”与“不变”元素是学生思考与分析的思维障碍,动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、空间几何体的旋转等,常见的题型有动态问题中的体积问题、轨迹问题、角度问题、距离问题等,本文进行分类例析.【关键词】立体几何;动态问题;取值范围1 立体几何中动态问题中的体积问题例1 如图1所示,正方体A B C D-A B C D 的棱长为4,动点E,F在棱A B上,且E F=2,动点Q在棱D C 上,则三棱锥A-E F Q的体积()图1(A)与点E,F位置有关.(B)与
2、点Q位置有关.(C)与点E,F,Q位置有关.(D)与点E,F,Q位置均无关,是定值.解析 根据三 棱锥等体积 法,可 知VA-E F Q=VQ-A E F,而E F=2,A A=4,所以SA E F=12E FA A=4不变,由正方体可知D A 平面A A B B,则D A 平面A E F,又点Q在棱D C 上,所以点Q到E F A 所在平面的距离为D A=4也不变,而VQ-A E F=13SA E FD A=13 4 4=1 63,即VA-E F Q=VQ-A E F不变,故三棱锥A-E F Q的体积与点E,F,Q位置均无关,是定值.故选(D).2 立体几何中动态问题中的轨迹问题例2 四棱锥
3、S-A B C D中,底面是边长为22的菱形A B C D,B AD=6 0,S A平面A B C D,且S A=22,E是边B C的中点,动点P在四棱锥S-A B C D表面上运动,并且总保持P E平面S A C,则动点P的轨迹周长为.解析 取A B中点F,S B中点G,连接E F,F G,G E,因为E,F是B C,B A中点,所以E FA C,因为E F平面S A C,A C平面S A C,所以E F平面S A C,因为G,F是S B,A B中点,所以G FS A,因为G F平面S A C,S A平面S A C,所以G F平面S A C,因为E FG F=F,所以平面E F G平面S A
4、 C,所以平面E F G中任意直线平行于平面S A C,则P E平面E F G,又P在四棱锥S-A B C D表面上运动,所以动点P的轨迹周长即为E F G的周长,因为四边形A B C D是边长为22的菱形且B AD=6 0,所以A C=2 6,则E F=6,又S A=22,所以G F=2,S C=S A2+A C2=42,则G E=22,所以E F G的周长为E F+G F+G E=6+3 2.故答案为6+3 2.图23 立体几何中动态问题中的角度问题例3 已知四边形A B C D中,C B=C D,在将A B D沿着B D翻折成三棱锥A-B C D的过程中,二面角A-B C-D,A-D C
5、-B的大小分别为,且2.(B)11.(D)32.解析 在三棱锥A-B C D中,作AH平面B C D于H,连BH,DH,CH,如图3所示,图3则A B H,A DH,A C H分别为A B,A D,A C与平面B C D所成的角,所以A BH=1,ADH=2,A CH=3,过H作HMB C,HND C,垂足分别为M,N,连 AM,AN,则有AMB C,AND C,所以AMH,ANH分别为二面角A-B C-D,A-D C-B的平面角,所以AMH=,ANH=,因为t a n=t a n AMH=AHHM,t a n=t a n ANH=AHHN,HN在B C D中,C B=C D,设B D的中点为
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