利用极限与无穷小之间的关系快速求渐近线.pdf
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1、Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2023,12(8),3753-3762 Published Online August 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2023.128369 文章引用文章引用:郭建立,张曦丹,晏建学.利用极限与无穷小之间的关系快速求渐近线J.应用数学进展,2023,12(8):3753-3762.DOI:10.12677/aam.2023.128369 利用极限与无穷小之间的关系快速求渐近线利用极限
2、与无穷小之间的关系快速求渐近线 郭郭建立建立1,张张曦丹曦丹2,晏建学晏建学3*1宁波城市职业技术学院,浙江 宁波 2云南财经大学,物流与管理工程学院,云南 昆明 3云南财经大学,商学院,云南 昆明 收稿日期:2023年7月26日;录用日期:2023年8月18日;发布日期:2023年8月24日 摘摘 要要 函数函数图形图形描述描述的是的是“增减“增减极值渐近线,凹凸拐点曲率圆极值渐近线,凹凸拐点曲率圆”,”,其中渐近线其中渐近线描述描述函数图形变化趋势函数图形变化趋势。求。求水平水平渐近线渐近线、斜渐近线斜渐近线需要针对需要针对函数函数关系关系()yfx=分别考虑分别考虑两个单侧极限两个单侧极
3、限(x 或或x +),斜,斜渐近线渐近线在第一次在第一次求出斜率之后还需要第二次求极限求出斜率之后还需要第二次求极限才能求出才能求出截距截距,垂直渐近线对应于函数的无穷垂直渐近线对应于函数的无穷间断点。间断点。隐函隐函数数()F x y,0=由于由于难以得出函数难以得出函数关系关系()yfx=,从而从而更加更加难以难以求出求出渐近线。渐近线。本文梳理了显函数本文梳理了显函数求求垂直、垂直、水平、斜渐近线的四种题型及其快速解法,使得水平、斜渐近线的四种题型及其快速解法,使得求渐近线快速求渐近线快速简洁,同时简洁,同时给出了给出了丰富丰富的实例。的实例。创新之处创新之处在于在于利用极限与无穷小之间
4、的关系快速简便求出渐近线,同时讨论利用极限与无穷小之间的关系快速简便求出渐近线,同时讨论了隐函数了隐函数间接求垂直、水平、斜渐近间接求垂直、水平、斜渐近线的线的方法方法。关键词关键词 显函数显函数,隐函数,极限,隐函数,极限,无穷大,无穷小,无穷间断点,垂直渐近线,水平渐近线,无穷大,无穷小,无穷间断点,垂直渐近线,水平渐近线,斜渐近线,四种题型斜渐近线,四种题型 Using the Relationship between Limit and Infinitesimal to Find Asymptote Quickly Jianli Guo1,Xidan Zhang2,Jianxue Ya
5、n3*1Ningbo City College of Vocational Technology,Ningbo Zhejiang 2School of Logistics and Management Engineering,Yunnan University of Finance and Economics,Kunming Yunnan 3School of Business,Yunnan University of Finance and Economics,Kunming Yunnan Received:Jul.26th,2023;accepted:Aug.18th,2023;publi
6、shed:Aug.24th,2023 *通讯作者。郭建立 等 DOI:10.12677/aam.2023.128369 3754 应用数学进展 Abstract The Graph of a function describes“increasing or decreasing,extreme value,asymptote,concave,convex,inflection point,curvature circle”,in which the asymptote describes the change trend of the function graph.To calculate t
7、he horizontal Asymptote and the oblique Asymptote,two unila-teral limits(x or x +)need to be considered respectively for the functional relation-ship()yfx=.The oblique Asymptote needs to calculate the limit for the second time after cal-culating the slope for the first time to calculate the intercep
8、t.The vertical Asymptote corresponds to the infinite breakpoint of the function.The Implicit function()F x y,0=is more difficult to find the Asymptote because it is difficult to find the functional relationship()yfx=.This paper combs four types of problems and their fast solving process of explicit
9、function to solve vertical,horizontal and oblique Asymptote,which makes solving Asymptote fast and concise,and gives a wealth of examples.The innovation lies in using the relationship between the limit and the infini-tesimal to quickly and simply find the Asymptote.At the same time,the method of ind
10、irectly find-ing vertical,horizontal and oblique Asymptote with Implicit function is discussed.Keywords Explicit Function,Implicit Function,Limit,Infinity,Infinitesimal,Infinite Breakpoint,Vertical Asymptote,Horizontal Asymptote,Oblique Asymptote,Four Types of Problems Copyright 2023 by author(s)and
11、 Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.渐近线的定义渐近线的定义 当曲线上一点沿曲线无限远离原点或者无限接近间断点时,如果该点到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线就称为曲 s 线的渐近线1。函数图形描述的是“增减极值渐近线,凹凸拐点曲率圆2”,其中渐近线描述函数图形变化趋势。渐近线分为:垂直渐近线、水平渐近线、斜渐
12、近线3。1.1.垂直渐近线垂直渐近线 如果()0limxxf x=,则0 xx=是函数()yf x=图形的垂直渐近线,也就是无穷间断点。垂直渐近线可以有无数条,也就是有无数个无穷间断点,如tanyx=。1.2.水平渐近线水平渐近线 如果()limxf xA=,则yA=是函数()yf xA=+图形的水平渐近线。求水平渐近线、斜渐近线需要针对函数关系()yf x=分别考虑两个单侧极限(x 或x +)。水平渐近线至多有两条(x 或x +)。1.3.斜渐近线斜渐近线 如果()lim0 xf xkxb=,则ykxb=+是函数()yf xkxb=+图形的斜渐近线。斜渐近线也至多有两条(x 或x +)。Op
13、en AccessOpen Access郭建立 等 DOI:10.12677/aam.2023.128369 3755 应用数学进展 水平渐近线与斜渐近线总共最多有两条,不可能既是水平渐近线,同时又是斜渐近线。根据()lim0 xf xbxkxx=,求出()limxf xkx=,()limxbf xkx=。常规方法求渐近线都要求极限,因而做题难度偏大,尤其是求斜渐近线需求两次极限,难度最大。隐函数(),0F x y=由于难以得出函数关系()yf x=,从而更加难以求出渐近线。笔者通过多年教学实践总结出显函数()yf x=及隐函数(),0F x y=渐近线的快速简便方法通过拆项及泰勒公式展开,然
14、后利用极限与无穷小之间的关系即可求出,整个求渐近线过程避免求极限!2.求显函数求显函数()yfx=渐近线的快速简便方法渐近线的快速简便方法 1)求垂直渐近线就是找到函数()yf x=图形的无穷间断点0 x,也就求出了垂直渐近线0 xx=。2)求水平渐近线就是找到函数()1yf xAOx=+,也就求出了水平渐近线yA=。3)求斜渐近线就是找到函数()1yf xkxbOx=+,也就求出了斜渐近线ykxb=+。3.显函数求渐近线实例显函数求渐近线实例 3.1.简单题型简单题型【例 1】12yx=+的垂直渐近线为0 x=(无穷间断点),水平渐近线为2y=。【例 2】5 1yxx=+的垂直渐近线为0 x
15、=(无穷间断点),斜渐近线为yx=。【例 3】221e1exxy+=的垂直渐近线0 x=(无穷间断点),水平渐近线1y=。函数图形如下图 1。例 1 例 2 例 3 Figure 1.Graph of a function 4 图图 1.函数图形4 【例 4】6()2d20ettxyf x=,()22dd220212ee222ttttf+=,()22dd220212ee222ttttf+=,水平渐近线为22y=。【例 5】7 22223223sin52sin52xxyxxxx=+,垂直渐近线为0 x=(无穷间断点),水平渐近线为25y=。-10-5510-4-2246-6-4-224-20-1
16、01020-7.5-5-2.52.557.5-1.8-1.6-1.4-1.2-0.8-0.6-0.4郭建立 等 DOI:10.12677/aam.2023.128369 3756 应用数学进展 【例 6】8()()()()22211232111arctanarctanarctan11111xxxxxyxxxxxxx+=+,垂直渐近线为1x=(无穷间断点),水平渐近线为0y=。函数图形如下图 2。例 4 例 5 例 6 Figure 2.Graph of a function 4 图图 2.函数图形4 3.2.拆项题型拆项题型【例7】9()()22211111111xxxxyxxxx+=+,垂直
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