“篱笃问题”的研究拓展与猜想.pdf
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1、TT8102023年第10 期数学教学“篱笃问题”的研究拓展与猜想王洪新(广东梅县东山中学,广东梅州514017)人民教育出版社出版的普通高中教科书数学必修第一册第46 页例3(2)“用一段长为36 m的篱芭围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?是一个非常有趣的问题,给它取个名称叫“篱爸问题”现对这个问题进行改编:假设篱笃长为定值2 p(p 0),提出以下三个系列的问题:简单篱芭问题问题1用一段长为2 p(p0)的篱笃围成一个三角形菜园,围成怎样的三角形能使菜园面积最大?最大面积是多少?解:设三角形菜园三边长分别为正数、b、c,则a+b+c=2p.由海伦公
2、式,三角形菜园的面积为Sn=Vp(p-a)(p-b)(p-c)(p-a)+(p-b)+(p-c)32PP33/3当且仅当p-=p-b=p-c即a=b=c时,2P(S.),max3/3问题2 用一段长为2 p(p0)的篱围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?解:设矩形菜园相邻两边长为正数、b,则+b=p,所以矩形菜园的面积Si=ab2a+b2P当且仅当=b即矩形菜园为正242方形时,(S12),nax由以上两个问题的解决,可以大胆猜想:若围成多边形菜园,应围成正多边形;又(Sn)ma x(Si 2)ma x,边数应该越多越好,极端情况就是围成一个圆形菜园,它
3、的面积是2至于猜想的证明,可以联系到数学发展的一段历史一圆周率T是怎么逼近出来的。2有一堵直墙可以利用的篱芭问题问题1用一段长为2 p的篱芭围成一个一边靠墙的三角形菜园,墙的长度大于2 p.当这个三角形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?解:设三角形菜园篱笃的边长分别为正数a、b,则a+b=2p,夹角为C(0C),则三角形菜园的面积11(a+b)22S2absinCX1P212222当且仅当=b=p,s i n C=1,即三角形菜园为等腰直角三角形(两腰均为篱)时,菜园面积最大为(S.1)mx2P2问题2 用一段长为2 p的篱笛围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙的长度大于2 p.当这个
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