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经历数学化过程 感受数学魅力

教学内容：人教版课程标准实验教科书六年级上册第112—114页内容
教材分析：该内容属于义务教育课程标准实验教材中六年级上册中的内容，“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。本节课借助我国古代趣题“鸡兔同笼”这个题材，让学生经历从多角度思考，运用多种方法解决问题的过程，使学生展开讨论，根据自己已有的经验，不断调整 解题策略，逐步探讨出不同的方法，找到合理解决问题的策略；在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。
教学目标：
知识与技能：了解“鸡兔同笼”问题，尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，并使学生体会到假设法和方程法的一般性，并能运用这两种方法解决“鸡兔同笼”问题。
过程与方法：通过自主探索，合作交流，让学生经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的过程，使学生体会解题策略的多样性。渗透化繁为简的思想。
情感、态度与价值观：使学生感受古代数学问题的趣味性，体会到“鸡兔同笼”问题在生活中的广泛应用，提高学习数学的兴趣。
教学重点：尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，体会用假设法和方程法解决问题的优越性。
教学难点：理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理。
教学过程：
一、创设情境，引出问题
1、师：我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创新和发展作出了巨大贡献，尤其在数学领域有《九章算术》、《孙子算经》等古代名著流传于世，如一千五百年前的数学名著《孙子算经》中的“雉兔同笼”问题，漂洋过海传到日本等国，对中国古文明史的传播起很大的作用。
2、出示主题图：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
师：你能说说这道题是什么意思吗？（说明：雉指鸡）
出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各有几只？
3、揭示课题：古代人对这样的题目有着自己独到的见解，我们把类似于这样的问题，统统称为：“鸡兔同笼”。这就是我们今天要研究的问题“鸡兔同笼”的问题。（板书课题）
[设计意图：从古书中的原题引入，激发学生的兴趣，使学生感受古代数学文化，增强民族自豪感。]
二、体验感悟，经历抽象
师：为了便于同学们用多种方法探究问题，我们先来研究一道数据较小的“鸡兔同笼”的问题。
出示：笼子里有若干只鸡兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？
师：请大家自由读题，你们都知道了什么信息？有两个隐藏条件看谁细心发现了？
[设计意图：渗透化繁为简的思想。引导学生理解题意，找出隐藏条件，帮学生初步理解“鸡兔同笼”问题的结构特点。]
1、猜想
师：要求鸡和兔各有几只，咱们不妨猜一猜，笼子中可能会有几只鸡几只兔呢？（学生猜）在猜测时要抓住哪个条件呢？（鸡和兔一共是8只）
2、验证
师：怎样才能确定同学们猜的对不对？（把鸡的腿和兔的腿加起来看等不等于26。）
3、和学生一起验证，找出正确的答案。
4、师：刚才我们是随意猜的，其实大家如果能够把刚才的猜想按照一定的顺序列成这样的表格，出示表格，就可以找到答案了。学生观察表格说说各项表示的含义。
5、学生在书上独立完成表格。之后交流完成情况，并逐一填写在的出示的大表格中。
6、师：象这样把我们的猜测按一定的顺序列成表格，这种方法叫列表法。
板书：列表法
观察这个表格，你找到答案了吗？答案是怎样的。
[设计意图：列表尝试法虽然烦琐，但这是一种重要的解决问题的策略和方法，是学习假设法和方程法的基础，因此也是本课的重要教学内容之一。让学生以填表的方式初步体验鸡兔同笼情况下随着鸡或兔只数的调整，脚的总数量的变化规律，为下面的学习做好铺垫。]
三、合作探究，建立模型。
（一）、假设法
1、这种列表法有一定的局限性，如果数字较大，做起来就太花时间了，有没有更简便一点的办法了？小组之间讨论讨论，并用算式记录你的讨论结果。
2、学生试做，教师巡视指导，收集有代表性的计算方法。
3、汇报交流
假设法（1）
假设笼子里全是鸡：
8×2=16（只） 26-16=10（只） 4-2=2 10÷2=5（只）兔 8-5=3（只）鸡
展示，说自己的想法。
①8只鸡出现后，你发现了什么？（有16条脚，与26条脚的条件不相符）怎么不相符？（比26条脚少10条）
②你是怎么知道的？（26-16=10）
③为什么会少这10条脚呢？（用把兔子看成了鸡，每只兔子少数了2只脚）
④为什么脚数会2只2只地少？（明确兔子与鸡的脚数相差4-2=2）
⑤少出来的10只脚是每只兔子少2只脚，几只兔子共少的的10÷2＝5只，所以有5只兔。
⑥笼子里就有8-5＝3只鸡
假设法（2）
假设笼子里全是兔：
8×4＝32（只） 32-26＝6（只） 4-2=2 6÷2＝3（只）鸡8-3＝5（只）兔。（同上）
小结：刚才我们假设都是鸡或都是兔，所以把这种方法叫做假设法。这是解答鸡兔同笼问题的一种基本方法。（板书：假设法）
（二）、列方程解
1、师：在解决鸡兔同笼问题时，除了假设法外，还有别的方法吗？
（方程的方法）
2、师：要用列方程的方法就必须找到等量关系式。通过得到到信息能写出哪些等量关系式呢？
（兔的只数+鸡的只数=8；兔的腿+鸡的腿=26条腿）
这里我们需要求兔的只数和鸡的只数，共有两个未知数。那我们可以设一个未知数为X，再把另一个表示出来。这道题我们可以设兔的知数为X只，根据兔和鸡共有8只。那鸡的只数就可以表示成：（8-X）只），因为一只鸡有2条腿，所以X只鸡就共有2X条腿。一只兔有4只脚，（8-X）只兔就有4（8-X）只脚。又因为鸡和兔共有26只脚，所以2X+4（8-X）=26
① 解：设鸡有X只，兔有（8-X）只。
2X+4（8-X）=26
在解的时候可以根据等式的性质将减变成加，分别加上4X，再来解。
② 解：设有兔X只，鸡有（8-X）只。
4X+2（8-X）=26
同样让学生说出自己想法。那种方程好解一点，（设兔的只数为X好解点）所以我们可以设脚数多的兔为X，在解的时候容易一点。
列方程的重点是找出等量关系：设头数，以脚数相等来列出方程；
解：设兔有X只，则鸡有（8－X）只
4X+（8-X）×2＝26
………
[设计意图：此环节是本课的重点，放手让学生合作探究，学生从体验、尝试到讨论、汇报，学生个人或集体的智慧在这里可以得到充分的展现。方程法、假设法对于大部分学生来说至少有一种方法是他自己会理解或掌握的，老师在学生汇报的过程中应认真地倾听，诱导，引导学生较为完整、准确地说明算理，特别是假设法算理，进而让全体学生在交流的过程中学会倾听、学会思考、学会解释、学会质疑，学会辩驳。]
3、小结交流，归纳方法
师：今天我们解决了一个什么问题？刚才我们在解决“鸡兔同笼”的问题时，用到了哪些方法？比较这些方法，你喜欢用哪种？为什么？你认为哪种方法一般都能适用？
小结：解决这类问题的方法很多，用猜测、列表法可以解决问题，但当数据较大时，过程就很繁琐了。假设法和方程解就具有一般性，不管是数据较大时或数据较小时都可用到这两种方法。
四、主动应用，自主建构。
1、师：你能用假设法或者方程解来解答“孙子算经”里的问题吗？再出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各有几只？
学生独立完成
（交流订正，学生介绍自己的算法）
2、师：想知道古人在解答这道题时是怎么做的吗？（让学生看课本第１１４页的“阅读资料”，了解“抬脚法”。）
3、师：生活中像“鸡兔同笼”的情况是很多的，我们重在掌握其中的数学思想、方法来帮助我们解决类似的问题。
（1）有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几条？
（2）全班一共有38人，共租了8条船，每条船都坐满了。大小船各租了几条？
（3）新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男同学每人栽了3棵，女同学每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男女同学各有几人？
4、小红参加数学知识竞赛，共10道题，每做对一道题得10分，做错一道题扣2分。小红每道题都做了，共得64分。她做对了几道题？
[设计意图：拓宽学生的视野，使学生体会到“鸡兔同笼”问题在生活中的广泛应用，感受数学学习的价值。引导学生观察比较，提炼出这类问题的结构特征，把学习引向深入。]
五、总结提升
师：今天我们一起研究了“鸡兔同笼”问题的三种不同的解决方法。其实1500多年来，“鸡兔同笼”问题受到许多数学家和数学爱好者的亲睐，他们又创造了很多非常有趣的解题方法。

“鸡兔同笼”课后反思
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。“鸡兔同笼”的原题数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，因此教材先编排了例１，通过化繁为简的思想，帮助学生先探索出解决该类问题的一般方法后，再解决《孙子算经》中数据比较大的原题。
由于学生原有认知背景的不同，他们对解答本课时的题目存在较大的差异，对大多数学生来说有一定的难度，所以在这节课当中，我决定主要借助小组合作探究这个手段，让学生在尝试，探索，合作中弄懂鸡兔同笼问题的基本解题思路。让学生展开讨论，应用假设的数学思想，从多角度思考，猜测、推理，运用多种方法解题，学生在具体的解决问题过程中，根据自己的经验，逐步探索不同的方法，找到解决问题的策略，在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。
一、在放手探究中体会解题思想
在学生刚接触“鸡兔同笼”问题时，要让学生列式计算往往感到困难，通过列表枚举解决问题是一种实用的解决问题的策略。猜想法和列表法都是解决问题的策略，但都有其局限性。教学中，既让学生理解、掌握和运用了这些策略，又未局限于这些基本的策略；既体现了解决问题策略的多样化，又通过表格规律的发现，为探索新策略奠定了不可缺少的基础；教师既关注了学生解决问题的结果，更关注了学生解决问题的过程与方法，并在不断提升学生解决问题的技能技巧。
二、在策略多样性中体验最优思想
让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点，也是教学难点。为此，以表格中数据变化规律为探究基础，以小组合作、师生互动为探究方式，巧妙地将认知经验和思维过程转化成了数学语言，即数学算式，从而形成了解决问题的全新的一般策略，发展了学生的思维水平和推理能力。
三、 注重数学思想的渗透
“鸡兔同笼”是我国民间广为流传的数学趣题，教学中揭去了它令人生畏的奥数面纱，还其生动有趣的一面。通过学习，不仅使学生感受祖先的聪明才智，而且体会到解题策略的多样性以及其中蕴含的丰富的数学思想方法，培养学生的学习兴趣和能力。如：用容易探究的小数量替代《孙子算经》原题中的大数量的“替换法”解决问题，渗透了转化的思想和方法；用“列表法”解决问题，渗透了函数的思想和方法；用“算术法”解决问题，渗透了假设的思想和方法；用“方程法”解决问题，渗透了代数的思想和方法等等。
教学中，学生先后运用猜测法、列表法、假设法、方程法等分析和解决问题，从而获得了分析问题和解决问题的能力。组织学生多手段、多层面、多角度地探索问题，解决问题的基本方法和一般方法，体验了解决问题策略的多样性，使学生感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中的广泛的应用，同时体会解题过程中化难为易、化繁为简的思想方法，发展了学生创新意识，开拓了学生解题思路，发展了学生的个性，使学生在各种数学思想的渗透中形成良好的数学解题能力。但教学中也存在着很多问题，反思如下： 1、学生汇报时，老师引导多了点，可以多找学生汇报，其他学生可能会听得更明白。 2、培养学生质疑能力，听不明白的及时向别人提问，及时解决不懂的问题。 3、没引导学生用画图的方法解决问题，是否少了从形象到抽象的过程。 4、学生比较喜欢假设法，但发现推理时思路不清，容易出错，如果及时指导学生写推导过程就会较好地避免问题的出现。