等角圆锥螺旋线的形成原理及投影图的绘制方法.pdf

第卷第“期合 肥工业大学学报自然科学版竺二止二二二二乙二二二二二二二二等角圆锥螺旋线的形成原理及投影图的绘制方法夏鼎立提要本文 用微分儿何 理论 研究等角圆锥螺旋线的形成原理及表达式,用正投影原理研究它 的图示、图解方 法,并得出结论等 角圆锥螺旋线的水平投影是对数螺 线,其方 程为“产。本法只需计算曲线止的一个点,即 可用儿何 作图方法把它的 三面投影绘制出来此方法 简单、方便、住确。书它用 于工程设计上,亦能满足设计的精度要求。关键词等角圆锥螺旋线定倾曲线,对数螺线水平投影,几何作 图前言在画法几何学及工程制图中所研究的圆锥螺旋线是变角和等距的,即螺距为常数。由于这种螺旋线 与锥面素线 的夹角是 变 化的,因此它不是定倾曲线步一种新 的等角圆锥螺旋线已开始应 用于机械与电信工程上。随着科学的发展,但是人们对它的认识技术的进尚属 开始,有关它的形成原理和图示、图解理论在画法几何学及工程制 图中也 未提及。笔者用微分几何学与画法几何的投影理论对等角圆螺旋线的形成条件与图示等角圆锥螺旋线的形成原理及数学表达式、图解方法作初步研究。由微分几何学知道,凡曲率 与挠率之比为常数的曲线称为一般螺旋线。圆柱螺旋线就具有这样的性质,它与柱面素线的夹角为定值圆锥面 上形成的螺旋线也同样成立。,因此,这类曲线又称为定倾曲线。这种特性在设正圆锥面上有动点对,、它 由。运动到盯,时,在锥面 上转过一个动到时在锥面 上变化一个角,则,点到原点锥顶的矢径角,当动点 由,转也相应增大,如图所示。线方向,当下一,洲产,、四尹曰、则二,“,此时,胚直线方向也就是的切它 与圆雍面素线 的夹角。就代表曲线该点的倾角。设圆锥面上曲线 对。在任何一点处,它与锥面素线的夹角为定值,即可 推导出此曲线的表达式。收稿日期一一合肥 工业大学学报自然科学版里年第卷由图可 知,。二户妇、,二,从直角三角形中得到沙一一浏一拼以 二经整理得 到以二丁将式 两边同时积 分,下 之窄二丁将式 由对数函数换成指数函数得二。忍其中。,为积 分常数。当点由。运动到时,在圆锥面上转过角,图,在扇形上有。勺在护户,、形,则有下,所以有二二一一。从 八。,可知,丫了生圆锥的锥顶半角。下将代入式得丫对应于圆锥轴线转过一个角见锥面上,如将它展成平面也是一个扇一。石刃一,二下,或其中角是公式为常数。中除为参变量之外,其余丫、均并令扭丫,则式简化成化它把万价户,公式为等角圆锥螺旋线 的矢径方程,为参数方程则有叮二二口了万“二,。主之二。万二丫将式中的常量简化,丫,则有并令”丫,、产了、忆,了二口夕刀,主之二己第期夏鼎立等角圆锥螺旋 线的形成原理及投影图的绘制方法公式是 等角圆锥螺旋线的参数方程。由公式可知,当时,。,即等回锥螺旋线的起点不在座标 原点即不在锥顶,曲线的起始点距锥顶为凡,一当动点在锥面上转 动一周 时,二,它在锥面上前进之距 导程二尸”当 万点转动两周 时,等角圆锥 螺旋的螺 距为二产气很显然 它的螺距是变数,而且螺距的增加不是简单地 成正比例 增加,而是成几何级数增加。由于等角圆锥螺旋线 的螺 距不是 常数,因此它又称为变螺距 定倾圆锥螺旋线。由图看出曲线 上每点的螺距均是变 化的。等角圆锥螺旋线 的螺距 随转角增大而增加,因此动点每转一圈的螺线长也不相同。点转一 圈 的孤长为叨碑切户粉执臀奋功卜磕一洲十二“”式中一夕。”士介介介图、之二,分别是并简化得一产一式中、二对的微 分。二,二。将它们 分别 代入式中,以等角圆锥螺旋线的投影特性了在水平面上 的投影我们 知道空 间曲线在面上 的投影,其二座标为。,则公式中的二。,因此等角圆锥螺旋线的水平投影的参数方程为劣夕把式尤、平方相加简化成极座标方程得”公式表示一 条对数螺旋线方程。由此得出结论等角回锥螺旋线的水平投影是对数螺线。如图所示合肥工业大学学报自然科学版年 第卷出得解式、在正面上的投影正面投影的夕座标为二之将式二取对数,一乃则式一简化成将式代入劣之式 中言,之一乙,之一】一一了公式表示一 条阻尼曲线 见 图但它的起点不在座标原点。,其起点座标分别为二儿之二在侧平面上 的投影在面 上的投影,川亡了之乙,用式的方法解出,儿公式代表一 条阻尼曲线,图所示。因此公式简化成为并代入式夕中得之但它 的起点不在座标 原点。,而是在轴上且距。点为。如等 角圆锥螺旋线投影图的绘制方法由图可知,等角圆锥螺旋线在、万面上的投影均为三种不 同的超越曲线。这给它的图示、图解带来极大的不便和困难。唯一可行 的方法就是描点法,即根据等角圆锥螺旋线的参数 方程或者方程、代入不 同的值,求出若干、值,再绘制出它的投影图。很显然这种方法非常费时费事,极为烦琐。尤其指数函数的运算很繁杂,容易出错。所以在工程 上用描点法绘制等角圆锥螺旋线的投影图是不可行的。本文介绍两种方法。方法根据以上分析,等角圆锥螺旋线的水平投影是对数螺线,如能把它的 图形绘制出来,再用锥面 上取 点的方法,和投影对应原理,求出它的正面及侧面投影。由此可知,作等角圆锥螺旋线的三面投影,关键在于绘 制它的水平投影。我们道知,它的水平投影方程为,。“。假设图中的刀,。,。”,。曲线,满足 此方程。为作图方便取射线之间夹角到二。,并连接。、,。、。二、。得 到五个三角形。,第期沉,夏鼎立等角圆锥螺旋线的形成原理友投影图的绘制方法二,。二,。一在。与 中,其顶角它们的对应边 分别为应边之比为之王己亡、。,。,、”,则两三 角形对。从,子卜耐耐九一巡刀己由此看 出两个三角形顶角相等,对应边又成比例,则 见它们必相似,即。,一,。诚。同理类推,。一。一。一么、。当我们在图中作出三角形二。后,然后 依次作。、次、么脚、,。与。相 似,即能得到、。、。等点就能满足方程“。因此本方法的关键在于作出。二。由图可 知,。的。边是 曲线起始点的矢径长。从公式可 知,当,而”“丫,其中“。,为积 分常数,丫是圆锥顶半角。所以九是常数,由作 图或需要而定。切。,的另一边。可 用方 程汀“计算,其 中二丫价。是圆锥 螺旋线 与圆锥素线的夹角是常数,由需要而定,是等分角。所以只 要定出,。和计算出,即 可作出。二,余下的问题就是作相 似三 角形,其作 图步骤如下在圆锥水平投影上,过。点作射线。、。,并取它们之 间 的 夹角气“”“。角度,是作图时的等分角,根据圆锥底面半径的大小而定,通 常 取”,当锥底面积较大时取。,较小时取二。图中的“,。用公式二”计算。之长、为常数、为作图等分角,由已知的。和计算所得。,之长在。与射线 上作。以。为心,任意半径画弧豁一廿些月翩交。于点,与。,相交于点,再以功,为心,用同半径画弧交。卜合肥工业大学学报自然科学版年第卷于点及点,。以点为心之长为半径画 弧交乳于点,连接直线与相交于点,即为所求曲线上的 一点。用同样方法作 出、从、优。等点,最后光滑地 连接。,胡二。曲线即为所求等角圆锥螺 旋线的水平投影。再用投影对应原理及锥面 上取点的方法,求 出而投影,如图所示。方法亚作图原理与方法工相 同,作图步骤如下四步骤 同方法以点 为心之长 为半径画弧与几交于点,连手易币直线 与。交于点,则。,与。,相似,即。,一。,见 图。过点作。,在上得到点,再过点 作残残扩扩扩广广、洲一、,吩吩吩残残、日、一一了、一一介介。在。上得到点,过点作。刀在得 到。点,其余类推,以。为圆心,分别把、。旋转到相应的、。等射线上,得到欢、二、。等点。最后光滑地连接。,。曲线,即为所求等角圆锥螺旋线的水平投影,再用锥面 上取点的方法求 出面投影,如 图所示。第期夏鼎立等角圆锥螺旋线的形成原理及投影图 的绘制方法参考文献北京测绘学院数学教研组编,微分几何学人民教育出版社,曲苏步青等著实用微分几何引论科学出版社,夏鼎立作图法绘制辗轮式混砂机刮板曲线铸造机械,合肥工业大学制图教研室编。画法几何学。安徽科技出版社。从。几“小,士五功罗即,苦了。,切亡。廿主,拜,主就九