微分算子展开与耦合势三维有限体积法快速计算随钻超深前视电阻率测井响应非线性Born逼近.pdf
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1、第6 6 卷第7 期2023年7 月王亚洲,汪宏年,康庄庄等2 0 2 3.微分算子展开与耦合势三维有限体积法快速计算随钻超深前视电阻率测井响应非线性Born逼近.地球物理学报,6 6(7):310 2-3114,doi:10.6038/cjg2022Q0650.Wang Y Z,Wang H N,Kang Z Z,et al.2023.Efficient computation of nonlinear Born approximation of the LWD ultra-deeplook ahead resistivity measurement using coupled potent
2、ials 3D finite-volume method and differential operator expansion.Chinese J.Geophys.(in Chinese),66(7):3102-3114,doi:10.6038/cjg2022Q0650.地球物理学报CHINESE JOURNAL OF GEOPHYSICSVol.66,No.7Jul.,2023微分算子展开与耦合势三维有限体积法快速计算随钻超深前视电阻率测井响应非线性Born逼近王亚洲1,汪宏年1*,康庄庄,殷长春1吉林大学物理学院计算方法与软件国际中心,长春130 0 122吉林大学地球探测科学与技术学院
3、,长春130 0 2 6摘要本文将非均质各向异性地层中电磁场耦合势Helmhotz方程分解为各向异性背景场方程与散射场方程,并应用算子展开技术推导出耦合势Born级数解,建立一套三维非均质各向异性地层中随钻超深前视电阻率测井响应各阶散射电磁场与非线性Born逼近的有效计算方法.首先,利用传输线法与二维插值技术确定背景电磁场空间分布,得到零阶Born逼近解,然后根据电磁场耦合势的Born级数解推导出各阶散射电磁场方程与递推关系,通过三维有限体积法实现各阶散射场耦合势方程的离散,在此基础上结合MKLPARDISO并行技术,通过递推方式逐步计算各阶散射电磁场,并根据Born级数部分和确定不同阶次的非
4、线性Born逼近.最后利用数值模拟结果对正演算法加以检验,并深入研究分析各阶散射场的变化特征与Born级数的收敛性质.关键词三维有限体积法;非线性Born逼近;超深前视电阻率测井doi:10.6038/cjg2022Q0650Efficient computation of nonlinear Born approximation of the LWD ultra-deeplook ahead resistivity measurement using coupled potentials 3D finite-volumeWANG YaZhou,WANG HongNian*,KANG Zhua
5、ngZhuang,YIN ChangChun?1 International Center for Computational Method and Software,College of Physics,Jilin University,Changchun,130012,China2 College of Geo-exploration Science and Technology,Jilin University,Changchun,130026,ChinaAbstract In this paper,the Helmholtz equation of electromagnetic(EM
6、)coupled potentials ininhomogeneous anisotropic formation is decomposed into two parts:anisotropic background EMequation and scattered EM equation caused by local scatterers.The generalized Born seriessolution of coupled potentials is derived by operator expansion technique.The solution is used tost
7、udy the different order of scattered EM fields and the approximation of generalized Bornsolution of ultra-deep look ahead resistivity measurement while drilling in 3D complex formation.基金项目中国科学院先导专项A(XD A 140 2 0 10 2),国家自然科学基金项目(42 17 4150)和吉林省科技发展计划项目(YDZJ202102CXJD016)联合资助.第一作者简介王亚洲,男,1995年生,2 0
8、19年毕业于吉林大学物理学院,目前在吉林大学物理学院攻读博士学位,主要研究方向为电磁场三维正反演数值模拟.E-mail:18 8 4310 8 8 91 16 3.c o m*通讯作者汪宏年,男,196 2 年生,吉林大学物理学院教授、博士生导师,主要从事石油测井、可控源电磁与海洋电磁等方面的电磁场数值模拟与反演等研究E-mail:w a n g h n jlu.e d u,c n中图分类号P631method and differential operator expansion收稿日期2 0 2 2-0 8-15,2 0 2 3-0 1-0 7 收修定稿7期王亚洲等:微分算子展开与耦合势三
9、维有限体积法快速计算随钻超深前视电阻率测井响应非线性Born逼近Firstly,for enhancement of both precision and efficiency of computation,the background EMfields is determined by the transmission line method(TLM)and the 2D interpolation technologyso that the zero-order Born approximate solution is obtained.Then the recursive relatio
10、n of thescattered EM fields of different order is given according to the Born series solution.The 3D finite-volume method(3D FV)is applied to discretize the Helmholtz equation about coupled potentials.On this basis,MKL PARDISO parallel technology is used to calculate the scattered EM fields ofdiffer
11、ent order in a recursive way.Finally,the numerical simulation results are used to validatethe algorithm,and the variation characteristics of different order scattering EM fields and theconvergence properties of the generalized Born series solution are further studied.Keywords 3D finite-volume method
12、;Nonlinear Born approximation;Ultra-deep look ahead0引言随钻多分量电磁超深前视探测技术能够提供井眼周围50 m范围内油气层空间分布信息,是实现地质导向、精细油床描述以及储层评价的一项关键技术(Upchurch et al.,2015;Bittar et al.,2020).与常规随钻电磁波测井仪器(Fang,2 0 11;于蕾等,2021;Y u e ta l.,2 0 2 2)相比,超深前视探测技术采用较低工作频率和较长收发距提升其探测范围(R a b i n o v i c h e t a l.,2 0 11),随着探测范围的增加,需要对
13、地层电导率进行更精细的描述,以便于更准确了解地层电导率的真实分布,因此三维电磁正反演技术就成为超深前视探测技术十分重要的研究课题(Clegg et al.,2019;Wang et al.,2019;Wu et al.,2019;Yan et al.,2022).目前,在实际应用中往往根据地层模型特征选择相应的正演模拟方法.对于一维层状地层主要采用解析法,如传输线法(Michalski and Mosig,1997;Yangetal.,2 0 14)、传播矩阵法(康庄庄等,2 0 2 0;Kang etal.,2 0 2 2)和广义反射系数方法(Hong etal.,2 0 14,2 0 17
14、)等;而二维地层模型则可以采用数值模式匹配法(Wangetal.,2 0 0 8;汪宏年等,2021)、2.5D 有限差分法(Wuetal.,2 0 2 0,2 0 2 2)等;对于复杂三维地层则需要采用三维数值模拟技术,如三维有限元法(齐彦福等,2 0 2 0)、三维有限差分法(杨守文等,2 0 0 9)、三维有限体积法(Haberetal.,2 0 0 0;W a n g e t a l.,2 0 2 0)和积分方程法(陈桂波等,2 0 0 9)等.此外,基于二次场耦合势的三维有限体积法王亚洲等(2 0 2 2)也已展开了具体研究.需要指出的是,三维正演算法对计算机内存和计算速度均要求较高
15、,特别是在进行三维电磁资料迭代反演过3103resistivity measurement程中,每修改一次地层电导率均需要重新进行三维正演计算,大大限制了三维反演算法在实际资料处理中的应用.因此,各种近似算法在电磁场数值模拟中也得到了广泛研究,其中最著名方法是Born逼近技术,该技术最初应用于量子散射问题,然后被引入到地震和电磁散射问题中(Chew,19 9 0;A k ia n dRichards,2 0 0 2),并在电磁场积分方程求解(Zhdanovand Fang,19 9 7)与电磁测井几何因子计算(Howardetal.,19 9 0;王磊等,2 0 15;于蕾等,2 0 2 3)
16、中得到了广泛的应用.此外,采用高阶数Born逼近算法研究三维电磁响应也成为一种重要方法(Habashy et al.,1993;Gao and Torres-Verdin,2006).随钻超深前视电阻率测井数值模拟是一个移动源电磁响应计算问题,涉及到多源电磁场的处理,其三维正演计算工作量往往很大,且目前采用各种近似方法仍然缺少对计算结果的评估.为此,本文将非均质各向异性地层中耦合势Helmhotz方程分解为各向异性背景场方程与散射场方程,应用算子展开技术给出非均质各向异性地层中耦合势Helmholtz方程的Born级数解,研发出随钻超深前视电阻率测井仪器在三维复杂地层中各阶散射电磁场以及非线性
17、Born逼近的快速算法.该算法能够快速计算出各阶散射电磁场,根据各阶散射电磁场变化特征可以对Born级数进行合理截断.1基本原理1.1地层模型与控制方程图1是倾斜井眼与三维非均质各向异性地层模型示意图.其背景电导率假定为水平层状模型且各层水平和垂直电导率用符号oH.n和ov.n,n=1,2,3表示,其层界面深度是di和d;同时,在背景模型(4)3104中可能包含着球冠起伏界面、长方体散射体、圆柱散射体等多种不同形状的局部散射体.井眼倾角假定为,并引人地层坐标系和井眼坐标系y,其中,地层坐标系的轴垂直于背景地层界面且方向向下,y平面与背景地层界面平行;井眼坐标系的轴与仪器钻进方向一致,轴与地层坐
18、标系中y轴平行,井眼坐标系可由地层坐标系绕y轴逆时针旋转角得到.ZH.2,d,Ov.2d2图1复杂地层模型示意图Fig.1 Schematic diagram of complex formation model此外,假定随钻超深前视电阻率测井仪器发射线圈与接收线圈均是三分量正交共位线圈,仪器收发距Lsr在535m之间,仪器工作频率f在19 6kHz之间(Dong et al.,2015;Wu et al.,2018),由于收发距远大于发射线圈尺寸,所以将发射线圈视为磁偶极子源,为便于研究电磁场耦合势展开算法,将非均质各向异性地层中耦合势Helmholtz方程(王亚洲等,2 0 2 2)表示成
19、如下算子方程形式(时间变化关系假定为e-iot):L(r)u(r,rs)=b(r,rs),式中u=(A)T 是势和标势组成的4阶列向量,且满足库伦规范条件(Haberetal.,2 0 0 0;张烨等,2012);b(r,r)=(iw。M 8(r-r s)0)T 是发射源组合形成的4阶列向量,M=M.,十M,十M.是磁偶极子向量,rs是发射线圈位置;而L(r)为44阶微分算子:(I+ioo*(r)iao*(r)L(r)=V.*(r)*(r)=R a f*(r )R 是井眼坐标系中的复电导率cosO0-sing张量,R。=010(sing0cosO地球物理学报(Chinese J.Geophys
20、.)OH.5,Ov,5OH.4Ov.4V.a*(r)V是地层坐标系与井66卷眼坐标系间的旋转矩阵;符号“”和“2”分别是Hamilton算子和Laplace算子,I是单位张量;af*(r)=diag(o(r)-iwe,oH(r)-iwe,v(r)-iwe)是地层坐标系中复对角电导率张量,OH(r)和6v(r)是地层水平和垂直电导率,为介电常数,o为真空磁导率,=2 元f是发射线圈角频率.正演计算区域用表示,并在其外边界a2采用完美电导体边界条件(PEC):nXA(r,r)lan=0,p(r,r)lan=0,(3)其中,n为外边界a上的单位法向量.一旦得到了方程(1)中的耦合势u=(A)T,则电
21、磁场可以通过如下公式求解:(E(r,rs)=A(r,rs)+Vp(r,rs)(H(r,r.)=XA(r,rs)/iwo为推导散射场方程并建立相应的非线性Born逼近算法,将三维复杂地层模型中的电导率张量(r)=d i a g(o(r ),o(r),ov(r)分解为层状背景电导率和局部散射体电导率的组合,即(r)=;(r)+a(r),其中,a),(r)=diag(ob.H(r),ob.H(r),ob.v(r)为水平层状背景电导率,(r)=(r)一si(r)为局部散射体中的差异电导率.将(r)=(r)十(r)代人方程(1)中并经简单整理,得(L,(r)-L(r)u(r,r.)=b(r,rs),(5
22、)其中,(1v2+iwog,(r)ioog,(r)L,(r)=V.o(r)是背景介质中耦合势Helmholtz方程对应的微分算子,(r)=R(r)i w e I JR 是井眼坐标系中的背景介质复电导率,而(iaoda(r)-iaoda(r)V(1)L(r)=(-V.a(r)-V.a(r)V是局部散射体差异电导率产生的摄动算子,(r)=R(r)R 是井眼坐标系中局部散射体内的差异电导率,1.2Born级数展开与各阶耦合势散射方程设Lj(r)为方程(6)中微分算子L(r)的逆算子,将其同乘方程(5)两边,得I-Lj(r)L(r)Ju(r,r.)=Lj(r)b(r,rs),(8)(2)在满足条件L(
23、r)L(r)l 1的情况下,由算子展开定理可以得到算子方程(8)的Born级数解:u(r,rs)=I-L,(r)L(r)-Lj(r)b(r,rs)=0u(rr.)+2ou(r,r.),(6)V.o(r)V(7)+0(9)1=17期王亚洲等:微分算子展开与耦合势三维有限体积法快速计算随钻超深前视电阻率测井响应非线性Born逼近方程(9)右端的第一项o)u(r,r)=u(r,r s)是L,ou(r,rs)=L(r)o(-1u(r,rs),背景地层中的耦合势,并满足如下Helmholtz方程:Lpub(r,r.)=b(r,rs),(10)而方程(9)右端级数中 u(r,r),l=1,2,是第l阶散射
24、场并满足如下Helmholtz方程:L(r)o(-1)u(r,rs)=对方程(9)右端项中的级数加以截断可以得到非均质各向异性地层中电磁场耦合势的L阶非线性Born逼近解:u(r,r.)=(0u(r,r,)+(u(r,r.),(13)并将()u(r,r.)称为o阶Born逼近解.1.3用三维有限体积法计算各阶散射场和L阶非线性Born逼近解对比方程(10)和(11)不难看出,各阶散射场均满足相同的Helmhotz方程,其唯一区别是方程右端项,方程(10)是位于r。处的磁偶极子发射源M在层状背景地层中产生的电磁场;而第l阶散射场u(r,r),l=1,2,3,是l一1阶散射电流(-1)J(r,r.
25、)=(r)(-1)E(r,r)在层状背景地层中产生的散射电磁场.为快速求解背景场(u(r,r s)=up(r,r)和耦合势的各阶散射场u(r,rs)=(A(r,rs)(g(r,r s)T,应用Yee氏交错网格对计算区域2 进行网格剖分,并进一步采用传输线技术求解方程(10),预先计算出不同发射源的背景电磁场并矢Green函数库,这样可以结合二维Newton插值技术快速确定任意发射源产生的背景电磁场,从而能够有效提高散射体内散射电流场计算精度和效率(王亚洲等,2 0 2 2).在此基础上,令1=1,应用三维有限体积法对方程(11)进行离散(张烨等,2 0 12;陈博等,2 0 2 1)可以得到一
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