用拟从属关系定义的非Baz...levic函数类的系数估计_傅秀莲.pdf
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1、第 33 卷第 1 期广东石油化工学院学报Vol 33No 12023 年 2 月Journal of Guangdong University of Petrochemical TechnologyFebruary 2023用拟从属关系定义的非 Bazilevic 函数类的系数估计傅秀莲,孔宇彦(广东工贸职业技术学院 计算机与信息工程学院,广东 广州 510510)摘要:用拟从属定义了新的非 Bazilevic 函数类,应用解析函数的基本不等式和分析技巧,得到了该函数的系数 a2和 a3的有界估计以及 Fekete Szeg 不等式,推广了一些已有的结论。关键词:拟从属;非 Bazilevi
2、c 函数;系数估计;Fekete Szeg 不等式中图分类号:O174 51文献标识码:A文章编号:2095 2562(2023)01 0048 04对于复数集合 C,用 A 表示在单位圆盘 D=z zC,|z|1 内具有如下形式:f(z)=z+n=2anzn的全体解析函数所成的函数类。用 S 表示在 A 中全体单叶函数族。1970 年,obertson1 引入拟从属的定义,如下:设 f(z)和 g(z)在 D 内解析,如果存在 D 内的解析函数h(z)和 w(z),使得 f(z)/h(z)在 D 内解析且|h(z)|1 和 w(0)=0,|w(z)|1 满足 f(z)=h(z)g(w(z),
3、则称函数 f(z)在 D 内拟从属于 g(z),记为 f(z)qg(z)。当 h(z)1 时,f(z)=g(w(z),此时称函数 f(z)在 D 内从属于 g(z),记为 f(z)g(z)。当 w(z)=z 时,f(z)=h(z)g(z),此时函数 f(z)在 D 内优于 g(z),记为 f(z)g(z)。显然,从属关系和优于关系是拟从属的两种特殊情形。1998 年,Obradovic2 引入了非 Bazilevic 函数,定义如下:设函数 f(z)A,若满足不等式 e f(z)zf(z)1+0,zD,0 1,则 f(z)称为非 Bazilevic 函数。文献 3 6 研究了拟从属子类的 Fe
4、kete Szeg7 不等式,得到很多不同的结果。其中,郭栋等6 结合了非 Bazilevic 函数和拟从属定义,给出了 Nq(,)函数类,定义如下:设 0 1,若函数 f(z)A 满足f(z)(zf(z)1+1q(z)1,则称 f(z)Nq(,)。本文给出 Nq(,)的推广函数类 Nq(,),结合微分从属理论,应用解析函数的基本不等式和分析技巧,计算得到了推广函数 Nq(,)的系数 a2和 a3的有界估计和 Fekete Szeg 不等式,并推广了一些已有的结论。函数类 Nq(,)的定义如下:定义 1设 0 1,C,zD,函数 f(z)A 且满足下列式子(1+)(zf(z)f(z)(zf(z
5、)1+1q(z)1(1)则记 f(z)Nq(,)。在定义 1 中,若取参数 =1,可得 Nq(,1,)=Nq(,)。1预备知识为了得出本文主要结果,需要以下引理。收稿日期:2022 09 21;修回日期:2022 11 01基金项目:广东省自然科学基金(2021A1515010058);广东工贸职业技术学院科研项目(2019 ZK 07)作者简介:傅秀莲(1979),女,广东广州人,硕士,副教授,主要研究方向为复分析及其应用。引理 1设 h(z)=c0+c1z+c2z2+在 D 内解析,且|h(z)|1,则|c0|1,|c1|1|c0|28。引理 2设 w(z)=w1z+w2z2+在 D 内解
6、析,且|w(z)|1,则对任意实数 t 有|w1|1,|w2 tw21|max 1,|t|。当函数 w(z)=z2或者 w(z)=z 时,等号成立9。2主要结果为了方便叙述,本文规定 w(z)=w1z+w2z2+,h(z)=c0+c1z+c2z2+,(z)=1+B1z+B2z2+(B10,Bn)。我们有下面的结论:定理 1设函数 f(z)由式 f(z)=z+n=2anzn给出,若 f(z)Nq(,),为复数,则有|a2|B1|+|,|a3|B1|+2|1+max 1,|B2B1|+|(+1)(+2)2(+)2|B1(2)|a3 a22|B1|+2|1+max 1,|B2B1|+|(1+2)(+
7、2)2(+)2|B1(3)且对所有的 等号都成立。证明:因为 f(z)Nq(,),则由定义可知,存在满足|h(z)|1,w(0)=0 和|w(z)|1 的两个解析函数 h(z)和 w(z),使得(1+)(zf(z)f(z)(zf(z)1+1=h(z)(w(z)1)(4)将 f(z)=z+n=2anzn,代入式(4)的左边,经过计算可得(1+)(zf(z)f(z)(zf(z)1+1=(+)a2z+(+2)a3+(+2)(+1)2a22 z2+(5)把 h(z),(z)和 w(z)的幂级数展开式代入式(4)的右边,经过计算可得h(z)(w(z)1)=B1c0w1z+B1c1w1+c0(B1w2+B
8、2w21)z2+(6)结合式(4)式(6),可得(+)a2=B1c0w1;(+2)a3+0 5(+2)(+1)a22=B1c1w1+c0(B1w2+B2w21)(7)对式(7)应用引理 1 和引理 2,可得|a2|B|+|结合式(7)可得a3=B1(+2)c1w1+c0 w2(B2B1+(+1)(+2)2(+2)2B1c0)w21(8)a3 a22=B1(+2)c1w1+c0 w2(B2B1+(1+2)(+2)2(+)2)w21(9)对式(8)和式(9)应用引理 1 和引理 2,可得(式(8)、式(9)中,a3改为|a3|,a3 a22改为|a3 a22|)|a3|B1|+2|1+|w2B2B
9、1+(+1)(+2)2(+2)2B1c0 w21|B1|+2|1+max 1,|B2B1+(+1)(+2)2(+)2B1c0|B1|+2|1+max 1,|B2B1|+|(+1)(+2)2(+)2|B1 ,|a3 a22|B1(+2)1+|w2B2B1+(1+2)(+2)2(+)2B1c0 w21|B1|+2|1+max 1,|B2B1+(1+2)(+2)2(+)2B1c0|94第 1 期傅秀莲等:用拟从属关系定义的非 Bazilevic 函数类的系数估计B1|+2|1+max 1,|B2B1|+|(1+2)(+2)2(+)2|B1 当满足(1+)(zf(z)f(z)(zf(z)1+1=(1+
10、z)(z2)1)或(1+)(zf(z)f(z)(zf(z)1+1=(1+z)(z)1)时,式(3)和式(4)等号成立。定理 1 得证。令 h(z)=1,由定理 1 的证明过程可得推论 1。推论 1设函数 f(z)由式 f(z)=z+n=2anzn给出,为复数,若 f(z)满足(1+)(zf(z)f(z)(zf(z)1+(z),则有|a2|B1|+|,|a3|B1|+2|max 1,|B2B1|+|(+1)(+2)2(+)2|B1|a1 a22|B1|+2|max 1,|B2B1|+|(1+2)(+2)2(+)2|B1 且对所有的 等号都成立。在定理 1 中,取 =0 可得推论 2。推论 2设函
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