随机合作对策核心非空的条件_白红信.pdf
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1、基于随机合作对策模型,给出了在效益可以转移的前提下随机合作对策核心非空的必要条件,探讨了随机合作对策的超可加性与凸性的关系.结合平衡随机合作对策概念与分割超平面定理,得到了随机合作对策的核心非空的充分必要条件.关键词:核心;超可加性;凸性;超平面;平衡随机合作对策中图分类号:O225文献标志码:A文章编号:16742494(2023)04010905随机合作对策核心非空的条件白红信(保定学院 数据科学与软件工程学院,河北 保定 071000)收稿日期:20221205作者简介:白红信(1976-),女,河北沧州人,副教授,理学硕士,主要研究方向为运筹学、数学教育学.2023 年 7 月保 定
2、学 院 学 报Jul.,2023第 36 卷第 4 期JOURNAL OF BAODING UNIVERSITYVol36 No4众所周知,核心是随机合作对策最常用的几个解之一,但在一般情况下随机合作对策的核心并不能保证一定存在.本文基于 Jerone Suijs 与 Peter Borm 关于随机合作对策的模型1,研究了在 TU(效益可转移)条件下随机合作对策的核心非空的条件,包括核心非空的必要条件、充分条件以及充分必要条件,并探讨了随机合作对策的凸性与超可加性的关系.1基本概念和记号设 (N,ASSN,XSSN,iiN)为随机合作对策,其中 N=1,2,n为局中人集合.XS为联盟 S 的特
3、征函数,是一个随机变量,且存在映射 XS ASL1(R),即aAS,有 XS(a)L1(R)且 E(XS(a)有限,也就是任一个随机支付都具有有限的期望.iiN记为有关局中人 i 的偏好.假设联盟特有的支付用一个二元有序组(dS,rS)RSRS来表示,并且规定iSdi0,iSri=1,ri0,对于所有的 iS.联盟 S 中局中人的随机支付等于 dSi+rSiXS,并用(dS,rS)i来表示,即(dS,rS)i=dSi+rSiXS.SG(N)记为局中人集合为 N 的随机合作对策的集合.联盟 S 所有分配集合为 Z(S),也是 S 的全部支付的集合.IR(S)记为:IR(S)=(dS,rS)Z(S
4、)|iS,dSi+rSiXSiXi,即每个局中人的合理分配.定义 1优超的概念2-3令(dN,rN),(?dN,?rN)Z(N)为两个特有的随机支付,若有一个联盟 S,对所有的 iS,均有?dNi+?rNiXSdNi+rNiXS且iS(dN,rN)iXS,则称(?dN,?rN)关于 S 优超(dN,rN)记为【数学研究】109保定学院学报2023 年第 4 期(?dN,?rN)S(dN,rN).定义 2随机合作对策的核心2随机合作对策 的核心,用 core()来表示.即 所有不被优超的随机支付的集合记为:core()=(dN,rN)(dN,rN)IR(N),不存在 S 及(?dN,?rN)Z(
5、N)使得(?dN,?rN)S(dN,rN).2随机合作对策核心非空的一个必要条件定义 3超可加性2,4设 SG(N),R,TN,RT=,则对任意的(dS,rS)Z(S),任意的(dT,rT)Z(T),存在(dST,rST)Z(ST),满足dSTi+rSTiXSTidSi+rSiXS(iS),dSTi+rSTiXSTidTi+rTiXT(iT),则称 是具有超可加性的.由超可加性的概念可知,联盟 S 和 T 不论如何选择各自的分配,都能形成更大的联盟来优化它们的支付.有了超可加性的概念后,接着探讨核心非空的必要条件.定理 1若随机合作对策 的核心非空,则 具有超可加性.证明:不妨来证明其逆否命题
6、.设 (N,ASSN,XSSN,iiN)不具有超可加性,则 core()=.设 S1,S2,Sk为 N 的一个分割,即ki=1Si=N 且 SiSj=,(ij,i,j=1,2,k).由于 不满足超可加性,有dSji+rSjiXSjidNi+rNiXN(iSj),叠加可得kj=1(dSji+rSjji)ik(dNi+rNiXN)(iN),继续叠加有kiNXikXN,iNXiXN.故有iNE(Xi)E(XN),不满足集体合理性,这意味着 core()=.3随机合作对策核心非空的一个充分条件定义 4凸随机合作对策2,4设 SG(N),若 为凸对策,则对 UN,STNU,并对所有的(dS,rS)IR(
7、S),(dT,rT)IR(T),(dSU,rSU)Z(SU),满足dSUi+rSUiXSUidSi+rSiXS(iS).存在(dTU,rTU)Z(TU),满足dTUi+rTUiXTUidTi+rTiXT(iT),110dTUi+rTUiXTUidSUi+rSUiXSU(iU),则称 具有凸性.由凸性的概念可知,联盟 S 和 T 不论如何选择各自的分配,它们都有通过结成更大的联盟而获得更优支付的意愿.对比前面超可加性的定义发现凸性与超可加性的性质有某些相似之处,关于它们之间的关系将在后面的推论中讨论.定理 24若随机合作对策 具有凸性,则 core().由定理 2 知若 是凸随机合作对策,则 c
8、ore(),也就是说 的核心非空的充分条件是 具有凸性.回顾一下定理 1 与定理 2,core()的充分条件是 具有凸性,必要条件是 满足超可加性.则有下面的推论.推论随机合作对策 具有凸性,则 一定满足超可加性.证明:方法一:由定理 2 知若 具有凸性,则 core(),又由定理 1 可得若 core(),则 具有超可加性.从而命题得证.方法二:若 为凸对策,则对 UN,STN U,对所有(dS,rS)IR(S),(dT,rT)IR(T),(dSU,rSU)Z(SU),满足dSUi+rSUiXSUidSi+rSiXS(iS),存在(dTU,rTU)Z(TU),满足dTUi+rTUiXTUid
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