累次积分中积分上下限的确定.pdf
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1、第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.002高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023累次积分中积分上下限的确定王宇航,蔡清,刘春平(扬州大学数学科学学院,江苏扬州2 2 50 0 2)摘要利用截面法给出了三次积分交换积分次序的解题步骤,并对两道习题给出了确定积分上下限的详细过程。关键词累次积分;截面法;积分上限;积分下限中图分类号0 17 2.2文献标识码AThe Upper and Lower Limits of Iterated IntegralsWAN
2、G Yuhang,CAI Qing,and LIU Chunping(Institute of Mathematics,Yangzhou University,Yangzhou 225002,China)Abstract Using the method of sections,the different integration orders of an iterated integral are studied,and the detailed processes of determining the upper and lower limits of the iterated integr
3、als are illustratedby two exercises.Keywords iterated integral,section,upper limit of integral,lower limit of integral1引言吉米多维奇数学分析习题集有如下一道题目:【40 8 3】1】交换三次积分的积分次序dyf(a,y,z)dz.它也是数学分析教材2 中的一道习题.学习过程中我们发现虽然有辅导书提供了具体答案,但不少同学对此类题型中如何确定积分上下限仍感到困惑。为叙述方便,我们先抄录文献1中的部分解答:解如果先对积分,再对,积分,则积分域在Ocy平面上的投影域由方程文章编号1
4、0 0 8-1399(2 0 2 3)0 3-0 0 0 3-0 3所表示的曲线围成,于是ddzfdy-如果先对积分,再对y,积分,则积分域在Oy平面上的投影域由方程y=1,=0,y=z及=o,y=l,y=z,y=-所表示的曲线围成,于是d之dd之1.(2)(3)1(4)=1,之=0,之=?及=0,=1,z=?,=?+1收稿日期:2 0 2 2-0 7-0 6修改日期:2 0 2 2-11-11基金项目:扬州大学大学生创新创业训练计划项目(X20220235);扬州大学教改项目(YZUJX2020-A2);江苏省教改项目(2 0 2 1JSJG 0 13),扬州大学卓越本科课程建设工程项目(2
5、022ZYKCC-12).作者简介:王宇航(2 0 0 2 一),男,江苏淮安人,扬州大学数学科学学院本科在读.Email:.通讯作者:刘春平(196 4一),女,江苏高邮人,博士,教授,主要从事数学分析教学和微分方程研究.Email:.审视上述解答,同学普遍困惑的是:空间积分区(1)域朝坐标面投影为什么能得到(1)式以及(3)式?从(1)式、(3)式又如何分别得到(2)式、(4)式?更进一步地,一般的三次积分交换积分次序后如何确定积分的上下限?我们知道,为交换三次积分的积分次序,只要以交换二次积分次序的方法交换相邻两个变量的积分次序即可,经过几次,就可得任意三次积分的积分次序例如,欲将三次积
6、分次序改换为,可以通过施行如下改换完成:改换为;4改换为;改换为.不难看出,这种交换三次积分次序的方法是一种间接法下面,本文给出另外一种方法.2三次积分交换积分次序的直接法回忆一下直角坐标系下计算三重积分的两种方法(为简洁起见,只写了其中一种情形下的计算公式,另外两种情形有类似的计算公式):方法1投影法(先一后二法)若函数f(,y,)在=(,)/(,y)z(,y),(,)ED)上可积,其中D是积分区域在Ocy面上的投影区域,则三重积分f(,y,z)do=D方法2 截面法(先二后一法)-若函数f(,,)在=(,)(,)ED,ab)上可积,其中D是垂直于轴的平面截积分区域所得的截面,则三重积分f(
7、,y,)du=dzf(c,y,z)drdy.(6)D对交换三次积分次序的题型,如果题目事先给定某种积分次序,则由(5)式,我们很容易知道积分区域在Qcy坐标面上的投影区域,再由变量介于曲面(,)和(,)之间,可以大致了解积分区域的形状一般说来,空间区域比较难画,但其垂直于坐标轴的截面是平面区域,通过一些分析还是可以精确画出的.根据(6)式,结合二重积分化为累次积分的方法,我们给出交换三次积分次序的一种直接解法,其解题步骤如下:(i)根据题目所给条件,写出积分区域2 的解析式,勾画或想象一下的粗略形状,确定其变量变化范围所属的一个长方体;(ii)按照指定的积分次序,利用截面法中的(6)式,在Oc
8、y面上画出截面的形状,即平面区域D,(另两种情形是分别在Oyz面、Ocz面上画出截面D、D,的形状);(ii)根据D,(或者Dr、D,)的形状,用二重积分的累次积分法确定积分变量的上下限,最终得到题目要求的三次积分的积分上下限.3两道习题的直接解法和间接解法本节,我们对两道习题分别用直接法和间接法交换三次积分次序为简洁起见,仅考虑将三次积高等数学研究分次序改换为,其它情形可类似讨论。+y2【40 8 311 d.dy解法1(i)积分区域的解析式为0+,01,01.是一个以D=(,)101,01)为底,以旋转抛物面=十为顶的曲顶柱体.注意到(1,1)=2,易知2 C0,10,10,2.(i i)
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