浅谈解三角形在高考中对关键能力的考查.pdf
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1、GUANGDONG JIAOYU GAO ZHONG浅谈解三角形在高考中对关键能力的考查广东省佛山市顺德区龙江中学曾光2023年高考刚刚落下惟幕,让我们一起来研究高考试题的特点2 0 2 3年的高考题都体现考查核心素养,题目比较灵活要想考出好成绩,应避免过多机械刷题,而应当重视知识关键能力的培养以解三角形这个知识点来说,各地考卷都出现了一个涉及这个知识的题,从题目包含的内容来看,可以分为以下四种类型:1 考查正、余弦定理的运用;2.结合三角形的面积考查;3结合角平分线或中线考查;4.通过解方程组考查下面我们逐一去探究,帮助大家发现当中的规律.【题型一】考查正、余弦定理的运用【2 0 2 3年全
2、国乙卷文科数学4】在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且 C=号,5,则ZB=(3TA.10【分析】首先利用正弦定理对“acosB-bcosA=c”进行“边化角”处理,然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A的值,最后利用三角形内角和定理可得乙B的值.【详解】:acosBb c o s A=c,由正弦定理可得2 RsinAcosB-2RsinBcosA=2RsinC,两边同时除以2 R得:sinAcosB-sinBcos A=sin C,即 sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)=sinAcos B+sin Bcos A,整
3、理可得sin Bcos A=O,由于BE(O,)。,i 0,据此可得 cos=0,=号,则B=-A-C=T-25510【点评】1 像本题中出现的条件acosB-bcosA=c,即三角形的边和三角函数结合在一起的等式,往往通过正弦定理absin Asin B-ssin C边化角熟悉了之后,可以省略除以2 R这个步骤,直接写出边化角的结果.2.通过边化角处理后,得到sin AcosB-sinBcos A=sinC,这个式子涉及三个角A,B,C,这时要运用“降维”思想,把三个角转化为两个角,“多”变“少”,即 sinC=sin(A+B).3.本题涉及的LA=号为特殊角,运算量不大2【2 0 2 3年
4、北京卷数学7】在ABC中,(a+c)(s i n A s i nC)=b(sin A-sin B),则ZC=(A.B.C.63【分析】本题的条件与上一题类似,皆为三角形的边和三角函数结合在一起的等式,因此我们可以通过正弦定理进行边角互化,问题即可迎刃而解.【详解):(a+c)(s i n A-s i n C)=b(s i n A-s i n B),由正弦定理可得(a+c)(a-c)=b(-b),化简得+b-c=ab,两边同时除以 2 ab得:“+-2 月六,由余弦定理可知LC=-.故选B.cosC:2【点评】1 本题跟上题的解题思想入手是一样的,通过正弦定理进行边角互化这个非常重要,很常用.2
5、B.5故选:C.C=2R进行边角互化,要么角化边,要么232ab3C.105D.6D.52本题经过角化边处理后得到+b-c=ab,左边为三角形三边的平方关系,这时候应联想到余弦定理.3.要热态余独定理公式,如 cos C_+一2,2ab提高解题速度【2 0 2 3年天津卷数学1 6】在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c 已知a=V39,b=2,LA=1 2 0(1)求sinB值;(2)求c的值;(3)求sin(B-C).【分析】(1)已知条件是三角形的对边与对角,因此运用正弦定理即可解出;(2)根据已知条件运用余弦定理能最快解出;(3)由正弦定理求出sin C,也可以由诱导公式求出
6、sin C,再由平方关系求出cosB,c o s C,即可由两角差的正弦公式求出.【详解】(1)由正弦定理,可得2sinB解得:sin B=YE13;(2)由余弦定理,可得=b+c-2bccosA,即39=4+2-2 2 e(-)/39(3)方法一:由正弦定理可得,一sin Asin C,这样能a6sin Asin B即sin120一,解得:C=5或c=-7(舍去).a即sin 12039C广东教育高中2 0 2 3年第8 期33应考方略数学有数5解得:sin Csin C锐角,因此cos C:2V39故 sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C132V39x5/13132
7、6方法二:因为A=120,所以B,C 都为锐角因为sinBV1313,所以 cos B=sin Acos B+sin Bcos A:故 sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C:2/39x5/131326【点评】1 本题根据已知条件与结论的关系合适地选择正弦定理和余弦定理,一般来说,涉及两边和两对角的情况选用正弦定理,涉及两边和夹角的情况选用余弦定理,涉及三边关系也选用余弦定理。2第3问的两种方法都能较好地解决问题,需要注意地5V13而A=120,所以B,C都为26253V39cos1B52262612/391313,sin C=sin(A+B)=2V391313X2132
8、6的基础上,加上考查三角形的面积公式,即S=2111acsin B:22132.本题第2 问进行边化角后,又出现涉及三个角A,B,V133/3913261)5V132263/391326bcsin A=absin C.C的问题,这时就跟前面的题一样要运用“降维”思想,把三个角转化为两个角,“多”变“少”,3.涉及三边的平方关系一般用余弦定理求解。【题型三】结合角平分线或中线考查【2 0 2 3年全国甲卷理科数学1 6】在ABC中,乙BAC=60,A B=2,BC=6,ZBA C的角平分线交BC于D,则AD【分析】方法一:根据已知ABC的三个条件,利用余弦定理求出AC,再根据正弦定理求出角B,C
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