“双根”技巧简化运算%2C等价转化探究本质.pdf
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1、解析:()易得椭圆方程为()由 结 论 ,槡,得 ,故直线 过定点,()又 ,即 以上从曲线系的解题视角证明并推广了一类斜率比值及定点问题,它也是解析几何的热点问题和常见模型,挖掘其内在联系并加以推广,具有重要意义 实际上,本文得到的三个结论,也是蝴蝶定理和坎迪定理在解几中的一个具体应用檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻“双根”技巧简化运算,等价转化探究本质广东省佛山市顺德区容山中学()黄桃荣 解决轨迹问题的一般方法是设点,通过题干发现点所满足的关系式,化简关系式求得结论 当题干条件复杂时,如何选择切入点则是解决此类问题的关键 笔者研究
2、了 届广州市高三调研测试第 题,通过该题的解答过程,很好地体现了如何设点以及消元的完整过程,现将笔者的思考展现如下,以飨读者一、题目已知抛物线 :()的焦点到准线的距离为 ,圆 与 轴相切,且圆心 与抛物线 的焦点重合()求抛物线 和圆 的方程;()设(,)()为圆 外一点,过点 作圆 的两条切线,分别交抛物线 于两个不同的交点(,)、(,)和 (,)、(,),且 求证:点 在一条定曲线上分析:本题的主题干对抛物线与圆的信息交代的非常清晰,且考查的方式也很直接,抛物线的方程为 ,圆 的方程为(),过程略 本题的难点主要集中在第()问,涉及到了圆的切线,直线与抛物线相交,四个交点的纵坐标满足某种
3、关系式 并证明点在一条定曲线上 考查的因素很多,且条件环环相扣,但所求的是一条轨迹问题 但题干没有直接计算点 的轨迹(通过后文可知其轨迹为圆的一部分),该设问方式反而降低了要求(回避了分析在所求的轨迹中排除不满足的部分)二、解法呈现解法一:(以斜率为基本量求得轨迹)设直线 ,的斜率分别为,设直线 的方程为()因为直线 与圆 相切,所以槡 化简可得()()同理可得也满足上述方程,即有()()从而可得,是关于 的方程()()的两个根,根据韦达定理可得 (),联立直线 与抛物线 的方程可得 (),显 然 ,利 用 韦 达 定 理 可 得 (),同理可得 ()所以 ()(),即()(),代入上式所得关
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