变分自编码器低质量数据生成原因剖析.pdf
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1、第 25 卷 第 4 期 衡水学院学报 Vol.25,No.4 2023 年 8 月 Journal of Hengshui University Aug.2023 变分自编码器低质量数据生成原因剖析 张建光1,郭双乐2,曹吉朋3,左瑞龙3,齐长志3(1.衡水学院 数学与计算机学院,河北 衡水 053000;2.滨州学院 信息工程学院,山东 滨州 256600;3.河北省基础教育信息化技术创新中心,河北鑫考科技股份有限公司,河北 衡水 053000)摘 要:从数学角度对变分自编码器目标函数下界和网络结构进行了研究,指出变分自编码器所生成的样本质量低的两个原因:1)由于识别模型|qz x表达能力
2、的限制使得后验分布|pz x偏离目标分布,导致最大化证据下限时没有能够保证最大化对数似然;2)变分自编码器中条件分布|px z对应的网络结构把生成数据x和隐变量z之间的概率依赖关系近似为函数依赖关系,即把一个显示概率生成模型用一个隐式概率生成模型来近似实现。该结论为进一步研究和改进变分自编码器以及设计其他生成模型提供了理论支撑。关键词:变分自编码器,生成模型,重参数化 DOI:10.3969/j.issn.1673-2065.2023.04.004 作者简介:张建光,男,河北衡水人,副教授,博士;通信作者:郭双乐,男,河北衡水人,讲师,博士。基金项目:河北省自然科学基金(F2020111001
3、);国家自然科学基金(61702165);教育部人文社科青年基金(18YJCZH129);河北省自然科学基金(F2016111005);衡水学院高层次人才科研启动基金项目(2021GC17);衡水学院校内非实体性研究机构项目(2021yj18)中图分类号:TP389.1 文献标识码:A 文章编号:1673-2065(2023)04-0020-05 收稿日期:2022-11-26 0 引言 监督学习方法按照决策边界的确定过程不同可以分为生成方法和判别方法,这两种方法所确定的模型分别称为生成模型和判别模型1。生成方法通过学习数据的联合分布实现了对数据整体特征的把握,而判别方法仅仅对数据的决策边界进
4、行了学习。由于生成方法实现了对数据的联合分布的学习,所以基于生成模型可以产生和已知的训练数据具有近似分布的样本。近年来生成模型广泛应用于数据增强2、图像编辑3、数据修复4、图像超分辨率5和信息安全6等诸多领域。按照是否显示的对生成数据的概率密度函数进行定义,可以把生成模型分为显示生成模型和隐式生成模型两大类7。顾名思义,显示生成模型对概率密度函数进行了显示定义,而隐式生成模型则直接对生成数据的随机过程进行了定义。当前主流的显示生成模型包括变分自编码器(Variational Auto-Encoder,VAE)8、流模型(Flow-based Model,FBM)9-11、能量模型(Energy
5、-Based Model,EBM)12-13、自回归模型(Auto-Regressive Model,ARM)14和扩散模型(Diffusion Model,DM)15-16等,而隐式生成模型则以生成对抗网络(Generative Adversarial Net,GAN)17为典型代表。变分自编码器具有优美的数学推理,其最大化证据下限思想也给当前最为流行的概率扩散生成模型提供了借鉴。变分自编码器具有强大的数据生成能力,其既可以有效地处理离散数据,也可以处理连续数据。尽管有以上优点,但是变分自编码器也存在一些不足之处,其中最主要的缺点是生成样本质量低第 4 期 张建光,等 变分自编码器低质量数据
6、生成原因剖析 21 下。本研究从数学角度对变分自编码器的生成样本质量低下的原因进行分析,为进一步研究和改进变分自编码器和设计其他生成模型提供理论支撑。1 变分自编码器 1.1 变分自编码器数学描述 假设来自未知分布 datapx的训练样本集为 1Niix,其中每个样本ix都是一个维向量,且这N个训练样本满足独立同分布。假设n维样本是由一个m维隐变量z通过条件概率|px z产生,且;,pNzzx 0 I,0为m维零向量,I为m阶单位方阵,一般情况下nm,为条件概率|px z 的参数。则样本对应的边缘分布为 ,|dppdpp xx zzx zzz,(1)使用最大似然估计实现对最优参数 的求解,也就
7、是说变分自编码器的训练目标是找到一个参数*,使得*px 以较高概率产生样本集 1Niix,用数学表达如下:*12argmaxlog,Np x xx,(2)由训练样本的独立同分布性有 1211log,loglogNNNiiiipppx xxxx,(3)由公式(1)可知边缘分布ipx 的求解涉及难以求解的积分运算,从而导致问题(2)难以解决。文献8引入辅助分布|qz x,其中2|;,qNz xzxx,且,x 为m维向量,2,x 为m阶方阵。其中,x 的表达形式为:12,Tmxxxx,(4)2,x 的表达形式为:222212,mdiagxxxx,(5)通常|qz x 称为识别模型(或称为变分后验),
8、为概率模型|qz x 的待定参数。基于引入的识别模型|qz x 可以获得对数似然函数logipx 的一个下界8,,;log|iiKLiiLpDqp xxz xz x,(6)其 中,,;iLx 称 为logipx 的 证 据下界,|KLiiDqpz xz x为 分布|qz x 和|ipz x之间的 KL 散度。变分自编码器的训练策略试图最大化其证据下界,;iLx 来获得对数似然项logipx 的最大化,即把问题(2)变换为以下问题:*1argmax,;NiiL x,(7)为了便于问题优化对公式(6)进行如下变形:,;|diKLiiiLDqpqp xz xzz xxzz,(8)该式中第一项|KLi
9、Dqpz xz 为正则化项,其保证了变分后验|iqz x和先验分布 p z的相近性;第二项|diiqpz xxzz为重构损失,用来保证变分自编码器的输入和输出的相似性。由于 22 衡水学院学报投稿平台:https:/ 25 卷 22211|1 log2miiiKLijjjjDqp z xz,(9)公式(8)可进一步化为如下形式:22211,;1 log|d2miiiijjjiijLqp xz xxzz,(10)变分自编码器的网络设计和最终的损失函数设计都依据公式(9)进行。1.2 变分自编码器的神经网络实现 变分自编码器的网络结构如图 1 所示。其由为编码器(Encoder)和解码器(Deco
10、der)两部分组成,编码器对变分后验分布|qz x 进行了显示实现,而解码器对条件概率|ipxz 进行了隐式实现。图 1 变分自编码器的网络结构 编码器以样本x作为输入,首先输出该样本对应的变分后验分布|qz x 的对应的均值,x和标准差,x,之后使用重参数化(reparameterization)方法对隐变量z进行采样,从而实现了对输入样本x的编码。解码器以隐变量z为输入,输出对该隐变量的解码向量 x。网络训练时,实现证据下界,;iLx 的最大化可以通过正则化项的最大化和重构项的最大化来实现。正则化项的最大化可以直接实现,而重构项|diiqpz xxzz最大化由于涉及积分运算导致求解困难,变
11、分自编码器通过保证编码器的输入和解码器的输出的相近性来近似实现该重构项的最大化。2 变分自编码器分析 2.1 变分自编码器证据上界分析 变分自编码器试图通过优化似然函数logipx 的证据上界,;iLx 来实现对该似然函数最大化,从而保证边缘分布 px 和数据的真实分布 datapx最大程度的近似,即 datappxx。此时有 ,|iiiiiidataippppppppp x zxzzxzzz xxxx。(11)令|iidataipppp xzzz xx,(12)所以 px 和 datapx近似的必要条件是条件分布|ipz x 和条件分布|ip z x 的近似。但是从公式(6)可以看出实现对,
12、;iLx 除了要保证似然函数logipx 取得较大值,同时也要保证|KLiiDqpz xz x 取得较小值。|KLiiDqpz xz x 取得较小值时会导致|ipz x 向|iqz x 的偏移,由于|iqz x 表达能力的限制会导致|ipz x 和|ip z x 偏离,从而会增大边缘分布 px 和数据的真实分布 datapx的差异。第 4 期 张建光,等 变分自编码器低质量数据生成原因剖析 23 综上所述,导致 px 生成的样本质量低的第一个原因是:由于识别模型|qz x 表达能力的限制使得后验分布|pz x 偏离目标分布,在最大化证据下限时没有能够保证最大化似然,从而导致了生成样本分布和训练
13、样本分布的差异。2.2 变分自编码器网络结构分析 由 1.2 节可知,为了使重构项|diiqpz xxzz最大化,解码器对条件概率|px z 进行了隐式实现,即把z和x之间的概率依赖关系近似为函数依赖关系,设此时解码器所确定的z和x之间关系为 gzx。假设变分自编码器的输入为ix,输出为i x,此时的重构损失为ix和i x之间的差异,这种差异可以用常见的损失函数如二元交叉熵、平方误差等来描述。不失一般性,本文中的重构损失使用最小均方误差来描述,即 2,reciiiilx xxx。(13)在训练阶段z是通过重参数化方法从训练样本对应的变分后验概率|qz x 中采样来获得。由于每个训练样本对应的变
14、分后验概率都是高斯分布,所以会出现不同样本对应的变分后验概率的支撑集混叠,从而会出现同一个隐变量z会来自两个不同的样本的变分后验的情形。假设变分隐变量z同时来自不同的样本jx和kx,设z经过解码器后的输出向量为 x,在进行参数优化时需同时最小化以下两式的值。2,recjjlxxxx;(14)2,reckklxxxx。(15)此时会导致 x同时和jx和kx保持相似性,从而导致了 x和后两者都不够接近,在数据生成时会导致生成数据的质量低下,这种问题表现在图像生成上则是生成图像模糊。综上所述,变分自编码器生成数据质量低的第二个原因为:解码器在实现z和x之间的关系时把概率依赖关系近似为函数依赖关系,而
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