有限FI代数的矩阵表示_韦安丽.pdf
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1、华南师范大学学报(自然科学版)Journal of South China Normal University(Natural Science Edition)2022,54(6):102108doi:106054/jjscnun2022091收稿日期:20210827华南师范大学学报(自然科学版)网址:http:journalnscnueducn基金项目:山东省自然科学基金项目(Z2020MA053)*通信作者:李莹,Email:liyingld 163com有限 FI 代数的矩阵表示韦安丽,李莹*,赵建立,丁文旭(聊城大学数学科学学院/矩阵半张量积理论与应用研究中心,聊城 252000)摘
2、要:将矩阵半张量积理论应用于 FI 代数系统的描述,给出了 FI 代数的矩阵表示,并借助于此矩阵表示研究了 FI代数的同态、同构及其上导子的相关结构的性质。同时,利用逻辑矩阵运算获得了检测上述性质的直接可验证条件。关键词:矩阵半张量积;FI 代数;同态和同构;导子中图分类号:O159文献标志码:A文章编号:10005463(2022)06010207The Matrix Expression of Finite FI AlgebraWEI Anli,LI Ying*,ZHAO Jianli,DING Wenxu(School of Mathematical Sciences/esearch C
3、enter of Semitensor Product of Matrices:Theory and Applications,Liaocheng University,Liaocheng 252000,China)Abstract:The theory of the semitensor product of matrices is applied to systematic matrix description of FI alge-bra,and the matrix expressions of FI algebra are presented Via these matrix exp
4、ressions,the properties of the ho-momorphisms,isomorphisms and related structures of the derivatives of the FI algebra are studied At the sametime,straightforward verifiable conditions for detecting the properties above are obtained by using logical matricesoperationsKeywords:semitensor product of m
5、atrices;FI algebra;homomorphism and isomorphism;derivation模糊蕴涵代数1,简称 FI 代数,揭示了蕴涵算子的本质。众多著名的模糊逻辑代数系统,如 MV代数2、BL 代数3、0代数4、剩余格5 和格蕴涵代数6 等,都是 FI 代数的特殊子类代数。迄今为止,许多科学工作者从事这方面的研究并取得了丰硕成果714。例如,王国俊7 证明了 3种不同形式的 MV代数刻画的等价性,同时分析了MV代数、BL代数和 0代数的逻辑背景;ZHU 和XU9 发展了一般剩余格的滤波理论;裴道武等10 揭示了 FI 格与模糊逻辑中几个重要代数系统之间的紧密联系,且
6、一些重要的模糊逻辑代数系统都是FI 格类的子类;吴达13 在 FI 代数中引进“交换”运算,从而得到了进一步刻画 FI 代数及 HFI 代数的若干结果。矩阵半张量积是一种新的矩阵乘积,是描述有限集上映射的强大工具,已成功应用于布尔网络15、密码学16、图着色17、信息安全18 和车辆控制19 等领域。基于此,本文将矩阵半张量积应用于逻辑代数研究领域,给出了 FI 代数的若干等价刻画:通过矩阵半张量积方法在统一的理论框架内刻画了有限 FI 代数;利用矩阵表达式,将有限 FI 代数上抽象的逻辑运算规律转化为具体逻辑矩阵的简单运算;彻底解决了有限 FI 代数同构的分类问题。1预备知识在本文中,采用以
7、下符号:R表示实数域;Rn表示所有 n 维实列向量集合;Rmn表示所有 mn 阶实矩阵集合;Lmn表示 mn 阶逻辑矩阵集合;AT表示矩阵 A 的转置,Coli(A)表示矩阵 A 的第 i 列;In表示 n 阶单位矩阵,in表示 In的第 i 列,1t表示 t 个元素全为 1 的列向量;n=in|i=1,n,=2;Dn=1,2,n,D=0,1;X 表示集合 X 的基数;表示矩阵的 Kronecker 积;。表示矩阵半张量积。定义 120 对于矩阵 A=(aij)Rmn,B=(bij)Rpq,定义 A 和 B 的 Kronecker 积为:AB=a11Ba12Ba1nBa21Ba22Ba2nBa
8、m1Bam2BamnB 。定义 220 设矩阵 ARmn,BRpq,定义 A 与B 的半张量积为A。B=(AItn)(BItP),其中 t 为 n 和 p 的最小公倍数。当 n=p 时,A。B=AB,即矩阵半张量积是普通矩阵乘法的推广,并且保留矩阵乘法的重要性质。矩阵半张量积具有下列性质:引理 120 设 A,B,C 是实矩阵,a,bR,则(1)(分配律)A。(aBbC)=aA。BbA。C,(aAbB)。C=aA。CbB。C;(2)(结合律)(A。B)。C=A。(B。C);(3)设 xRm,yRn,则 x。y=xy。引理 220 设 xRt,ARmn,则 x。A=(ItA)。x。定义 321
9、换位矩阵 Wm,n Rmnmn定义为Wm,n=n1m,n2m,nmm。换位矩阵的作用是交换 2 个不同维的列向量因子在矩阵半张量积运算下的顺序。引理 321 设 xRm,yRn,则 Wm,n。x。y=y。x。设 H=h1,h2,hr 是一个有限集,如果可以用一个向量 irr表示集合 H 中的每个元素,即hiir(i=1,2,r),则称这种表达为有限集的向量表达式,其对应顺序可以任意指定。例如,在经典逻辑中,D=0,1,一个逻辑变量xD 可以用向量形式表示:xx1x。类似地,经典逻辑变量的向量表达式也可以用于多值逻辑。例 1考虑 k 值逻辑,定义ik1kik(i=0,1,k1)。基于此,有ikj
10、k=max(i,j)k;ikjk=min(i,j)k;ik=k+1ik。利用向量表达式,一个 n 维变量逻辑函数 f:DnD 可以表示为从 n到 的一个映射。引理4 22 设映射 f:DnD,利用向量表达式,有f(x1,xn)=Mf。x1。x2。xn,其中 MfL22n是唯一的,叫做 f 的结构矩阵。例 2在例 1,当 k=2 时,有 1 12,0 22。记、的结构矩阵分别为 Mc、Md、Mn,由引理 4可得1212=12=Mc。12。12=Col1(Mc);1222=22=Mc。12。22=Col2(Mc);2212=22=Mc。22。12=Col3(Mc);2222=22=Mc。22。22
11、=Col4(Mc)。计算显示 Mc=2 1 2 2 2。类似地,可以得到Md=2 1 1 1 2 和 Mn=2 2 1。2有限 FI 代数的矩阵表示定义 41 一个(2,0)型代数(X,0)称为模糊蕴涵代数,简称为 FI 代数,如果对任意 x,y,z X,有(I1)x(yz)=y(xz);(I2)(xy)(yz)(xz)=1;(I3)xx=1;(I4)xy=yx=1x=y;(I5)0 x=1,其中 1=00。有限集合 X=x1,x2,xt(t),将 X 中的元素转化为向量的形式:x1 1t,x2 2t,0=xt tt。记的结构矩阵为 M(t),下面给出与 FI 代数等价的代数条件。定理 1设
12、X=t,(X,0)是 FI 代数当且仅当 M(t)满足(I1)M(t)(It M(t)=M(t)(ItM(t)Wt,t;(I2)(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)(ItWt,t3)Pt(ItPt)(It2Pt)=1Tt3(M(t)t2t2);(I3)M(t)Pt=1Tt(M(t)t2t2);301第 6 期韦安丽等:有限 FI 代数的矩阵表示(I4)M(t)xy=M(t)Wt,t xy=M(t)t2t2x=y;(I5)M(t)tt=1Tt(M(t)t2t2),其中,0tt,1M(t)t2t2,Pt=diag(1t,2t,tt),且对xt,x2=Ptx,t2。证明易证定义 4 的
13、条件(I1)(I5)可等价于定理 1 的条件(I1)(I5),下面只给出条件(I2)等价于条件(I2)的详细证明,其他的证明过程类似或显见。设(X,0)是有限 FI 代数,且 X=t,定义 0tt,由 1=00 可以得到 1 M(t)t2t2。x,y,z X,条件(I2)的矩阵表示如下:M(t)(M(t)xy)(M(t)(M(t)yz)(M(t)xz)=M(t)t2t2,即(M(t)2(It2(M(t)2)xy2z(M(t)xz)=M(t)t2t2。进一步可得(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)xy2zxz=M(t)t2t2,则有(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)
14、xWt,t3xy2z2=M(t)t2t2,从而(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)(ItWt,t3)PtxPtyPtz=M(t)t2t2,故(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)(ItWt,t3)Pt(ItPt)(It2Pt)xyz=M(t)t2t2。由 x、y、z 的任意性,可得(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)(ItW t,t3)Pt(ItPt)(It2Pt)=1Tt3(M(t)t2t2),由此可知条件(I2)等价于条件(I2)。证毕。例 3设 t=2,由于为一个二元算子,故可设M(2)=m1,m2,m3,m4(mi,i=1,2,3,4),只有唯一
15、的一组 M(2)满足定理 1 的条件(I1)(I5),即M(2)=10110100()。例 4设 t=3,类比上述步骤,运用穷举法只得到 4 组满足 FI 代数的定义的 M(3):(1)M1(3)=100110111010001000001000000 ;(2)M2(3)=100110111010000000001001000 ;(3)M3(3)=000100000110010111001001000 ;(4)M4(3)=001100000110010111000001000 。可以在 FI 代数(X,0)上定义一个二元关系:xyxy=1(x,yX)。显然,由诱导的关系是一个偏序。引理 510
16、 设 X,0()是一个 FI 代数,对于任意 x,y,z X,下列性质成立:(i)x1=1;(ii)1x=x;(iii)x(yx)=1;(iv)xyzxzy,yzxz;(v)xyzyxz;(vi)(yz)(xy)(xz)。对于有限 FI 代数,利用结构矩阵 M(t)与矩阵半张量积,可以将引理 5 的(i)(vi)由定性运算转化为定量运算,给出它们的代数表达式。定理 2设 X,0()是一个有限 FI 代数,且X=t。对于 FI 代数上的偏序关系进行矩阵表示,得到M(t)xy=M(t)t2t2。由此二元关系可得到与引理 5 的(i)(vi)等价的代数表达形式:(i)M(t)Wt,t M(t)t2t
17、2=1Tt(M(t)t2t2);(ii)M(t)(M(t)t2t2)=It;(iii)M(t)(ItM(t)(ItWt,t)Pt=1Tt2(M(t)t2t2);(iv)M(t)xy=M(t)t2t2(M(t)2(It2M(t)Wt,t(ItWt,t2)(It2Pt)xyz=M(t)t2t2,(M(t)2(It2M(t)Wt,t2(It2 Pt)xyz=M(t)t2t2;(v)M(t)(ItM(t)=1Tt3(M(t)t2t2)M(t)(ItM(t)Wt,t=1Tt3(M(t)t2t2);(vi)(M(t)2(It2(M(t)2)(It4401华 南 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)
18、第 54 卷M(t)Wt3,t2(ItWt,t)Pt(ItPt)(It2Pt)=1Tt3(M(t)t2t2)。证明(i)(vi)的证明方法类似,这里只给出(vi)的详细证明。首先,可将(vi)等价表达成(yz)(xy)(xz)=1,其矩阵表示如下:M(t)(M(t)yz)M(t)(M(t)xy)(M(t)xz)=M(t)t2t2,即(M(t)2yz(M(t)2xyM(t)xz=M(t)t2t2,从而(M(t)2(It2(M(t)2)yzxyM(t)xz=M(t)t2t2。进一步可得(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)yzxyxz=M(t)t2t2,则有(M(t)2(It2(M(t
19、)2)(It4M(t)Wt3,t2xyxyz2=M(t)t2t2,即(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)Wt3,t2(ItWt,t)x2y2z2=M(t)t2t2,从而(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)Wt3,t2(ItWt,t)PtxPtyPtz=M(t)t2t2,则(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)Wt3,t2(ItWt,t)Pt(ItPt)(It2Pt)xyz=M(t)t2t2。由 x,y,z 的任意性,则有(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)Wt3,t2(ItWt,t)Pt(ItPt)(It2Pt)=1Tt3(M(t)t2t2
20、)。从而,(vi)得证。证毕。3FI 代数的同态与同构定义 51 设 Fi=(Xi,i,0i)(i=1,2)是 2 个FI 代数,若存在映射 f:X1X2,使得(i)f(x1y)=f(x)2f(y)(x,y X1);(ii)f(01)=02,则称 f 为 FI 代数同态。假设 X1=m,X2=n,即令 X1=1m,2m,mm,X2=1n,2n,nn。则映射 f:X1X2可以表示成矩阵形式:f(x)=Mfx,其中 MfLnm是 f 的结构矩阵。定理3设 Fi=(Xi,i,0i)(i=1,2)是2 个有限 FI 代数,且 X1=m,X2=n,存在映射 f:X1X2,f 为 FI 代数同态当且仅当(
21、i)MfM(m)=M(n)Mf(ImMf);(ii)Colm(Mf)=nn。证明利用矩阵表示易得定理 3 的条件(i)、(ii)分别等价于定义 5 的条件(i)、(ii)。证明过程如下:x,y X1,条件(i)的矩阵表示如下:Mf(M(m)xy)=M(n)(Mfx)(Mfy),MfM(m)=M(n)Mf(ImMf)。从而证得条件(i)与条件(i)等价。对条件(ii),由0iii,并利用矩阵表示,可以得到Mfmm=nn,Colm(Mf)=nn。从而证得条件(ii)与条件(ii)等价。证毕。定义 61 设 Fi=(Xi,i,0i)(i=1,2)是 2 个FI 代数,且映射 f:X1X2为 FI 代
22、数同态,如果 f是一对一且映上的,那么 f 称为 FI 代数同构。定义 720 给定一个置换Sn,定义它的结构矩阵 M如下:Coli(M)=(i)n(i=1,n),称 M为置换矩阵。定理 4设 Fi(i=1,2)为 2 个有限 FI 代数,且F1=F2=n,Mi(i=1,2)为相应的结构矩阵。映射 T:F1F2为 FI 代数同构,则(i)T 是一个置换矩阵,即存在一个置换Sn,使得 T=M,因此 TT=T1;(ii)M1=TTM2(TT)。证明由定义 6 知,映射 f:X1X2是一对一且映上的,则存在一个Sn,使得 f(i)=(i)(i=1,2,n)。当 x=i Dn表示为向量形式 in时,有
23、 f(i)=(i)=M(x)。于是MM1xy=M2(Mx)(My)。从而可得M2(Mx)(My)=M2M(InM)xy=M2(MM)xy=MM1xy,即 MM1=M2(MM)。进而有M1=M1M2(MM)=T1M2(TT)=TTM2(TT)。证毕。例 5在例 3 中,当 n=2 时,没有非平凡同构。501第 6 期韦安丽等:有限 FI 代数的矩阵表示例 6在例 4 中,当 n=3 时,存在 2 组保持 0 不变的非平凡同构,T=010100001 ,由定理4 易知 F1=M1 同构于 F2=M4,F1=M2 同构于 F2=M3。4FI 代数的导子本节利用矩阵半张量积与逻辑矩阵运算来考虑有限 F
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