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新型冠状病毒肺炎(COVI...9)传染病模型的建立与分析_钟海萍.pdf
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1、收稿日期:2022 08 19;修订日期:2022 10 08作者简介:钟海萍(1987),男,讲师,研究方向:常微分方程。基金项目:江西省教育厅科学技术研究项目(GJJ213110);豫章师范学院校级课题(YZYB 21 18)。第 41 卷第 1 期2023 年 2 月江西科学JIANGXISCIENCEVol 41 No 1Feb 2023doi:1013990/j issn1001 3679 202301006新型冠状病毒肺炎(COVID 19)传染病模型的建立与分析钟海萍,李子敬(豫章师范学院,330103,南昌)摘要:针对新型新冠病毒肺炎(Corona Virus Disease
2、2019,COVID 19)提出了一种五仓室 SEID 模型,考虑了人口死亡、潜伏期可以自愈或接受治疗以及病毒变异或抗体消失对模型的不同影响,数据拟合结果与实际情况吻合良好。研究结果表明防疫部门可通过限制人员流动、及时筛查出病毒潜伏者,做到及时发现和治疗,可有效控制疫情。关键词:传染病模型;数据拟合;新型冠状病毒肺炎中图分类号:O193文献标识码:A文章编号:1001 3679(2023)01 028 06Establishment and Analysis of the Novel Coronavirus Pneumonia(COVID 19)Infectious Disease Model
3、ZHONG Haiping,LI Zijing(Yuzhang Normal University,330103,Nanchang,PC)Abstract:A five chamber SEID model is proposed for the new coronavirus pneumonia(CoronaVirus Disease 2019,COVID 19),which takes into account the different effects of populationdeath,the possibility of self healing or receiving trea
4、tment during the incubation period,and virusmutation or disappearance of antibodies The fitting results are in good agreement with the actual sit-uation The research results show that the epidemic prevention department can effectively control theepidemic by restricting the flow of people and screeni
5、ng out virus latents in time,so as to achievetimely detection and treatmentKey words:epidemiological models;data fitting;the novel coronavirus pneumonia0引言随着疫情的不断发展,影响范围不断扩大,波及人数不断增加,此次由冠状病毒引发的病毒性肺炎(COVID 19)已在 2020 年 3 月 12 日被世界卫生组织宣布为是一种大流行病。截至目前,新冠病毒已经席卷全球,但由于各个国家的文化、管理和医疗方面的差异,对于新冠病毒的检测方法和效率都不尽相
6、同,并且有的国家可能会出现检测不全面或者遗漏检测的情况,这将会导致各个国家统计的数据相比于实际数据并没有那么精确,所以建立新冠病毒传染病模型来模拟疫情感染者的数据变化就非常重要。在此次新冠病毒的传染中,和以往病毒不同的是,感染病毒的人群会经历一段时间的潜伏期,然后可能会出现发烧发热等症状,也可能没有症状,这类人群称之为“无症状感染者”,而且该病毒有潜伏期且会不断变异,这也使得模型的建立变得复杂。本文将人群分为以下几个大类:易感者、感染者、潜伏着和移出者,但是并没有考虑新冠病毒的毒性对于抵抗力较差的人来说具有一定的致死性,因此该传染病会有一定的几率导致死亡,将这一新的人群定义为死亡类。但是值得注
7、意的是,这里并不包括自然死亡,和其他因素导致的人口去世,而是仅仅考虑因为新冠病毒导致的死亡,这一点将在模型假设里面有所涉及。1建模1 1模型假设在建立数学模型的过程中把新型冠状病毒肺炎传播过程分成以下 2 个阶段。第 1 阶段:在疾病爆发初期,由于疾病的突发性,人们对疾病并不了解,不知如何尽可能地切断病毒的传播链从而控制病毒,也不知道该如何预防该病毒的再次爆发。因此,该病毒较容易感染,在不考虑病毒变异的情况下,根据新型冠状病毒肺炎的传播特点,认为该传染病符合 SEI 模型(易感 潜伏 感染 隔离)。第 2 阶段:由于政府的高度重视以及科研人员的不懈努力,对疾病的传播途径有了一定的认识,随着防疫
8、知识的普及,人们对疾病的控制和预防有了新的认识,使得基本再生数下降至小于 1,疾病的传播得到较好控制。在建立模型之前,为了使模型的建立更具有逻辑性且合理,作如下的假设:1)假设病毒的传播链仅仅是人们互相接触,排除如快递、外卖和物资等物资的接触传播;2)假设模型中各个群体人群不会分别聚集,而是不同群体平均分布在特点环境,即每个易感者接触到感染者的几率是一样的,且被感染病毒的概率也是相同的;3)假设模型在疫苗生产出来之前,病人的恢复周期不变;4)假设病毒的毒性不会因为时间而增加或者减少,病人因为传染病死亡的概率不会改变;5)假设病毒的传播不会因为天气温度的变化而影响传播率;6)假设在病毒模拟时间,
9、人口不会因为病毒之外的因素改变而改变。1 2模型的建立1 2 1符号说明在建立模型时,考虑五分室:易感者类 S、潜伏着类 E、感染者类 I、恢复者类、死亡者类 D。因此本文建立的模型定义为 SEID模型。具体的模型结构的状态变量为:1)S=人群中易感染者人数(Susceptible);2)E=人群中受感染处在潜伏期人数(Exposed);3)I=人群中受感染发病,且有传染性人数(Infectious);4)=人群中感染后已恢复并获得免疫人数(ecovered);5)D=人群中感染发病不治身亡人数(Died)。12 2参数设立在模型的建立中涉及的参数如表 1。表 1SEID 模型的参数定义及估计
10、值参数定义估计值j平均每人每天与 1 个病人发生近距离接触的概率1Pg平均每人每天与 1 个病人近距离接触并感染成功的概率0 5H平均每人每天受到感染的概率jgIi潜伏前者每天向发病者转移的概率0 1431通过感染者轨迹追踪到可能的潜伏者的概率0 1432感染者每天得到恢复且免疫的概率0 143k感染者每天因病发生死亡的概率0 034P武汉市 2019 年的大约总人数10 914 000假设 j 的取值是总人口的倒数,感染效率 g为 0 5,H 称为感染率,作为模型中关键的转移速率。可以从表1 中看出 jg=,即前文提到的一个病人能感染易感人数与总易感人数的比例,故用 H=jgI 表示所有感染
11、的病人能感染易感人数与总易感人数的比例,或者理解为人群中的易感者每人每天在非隔离的情况下被病毒感染的概率。把 i 称为转阳率,计算方法是潜伏期的倒数,即在当天有 iE 个人可能会转化成阳性,潜伏期一般是 1 14 d,于是折中计算那么该数值取17 0 143。把 1称为追踪率,即通过感染者的行程轨迹追踪到密切接触者并将他们进行隔离的概率,由于隔离期过后若有症状将会及时就医,也有可能是无症状感染者未检测出来,因此将这些密切接触者归类为潜伏者,为了方便计算将得到治愈的概率取170 143。把 2称为恢复率,根据冠状病毒恢复期的数据来看,一般新冠肺炎患者接受治疗之后普遍治疗时间是 7 d,因此假设2
12、=17 0 143,把 k 称为死亡率,日死亡率为92第 1 期钟海萍等:新型冠状病毒肺炎(COVID 19)传染病模型的建立与分析3 4%,基本再生数 0:未采取措施时为 0=gr=3 5,其中 jp=1,采取措施的为 =jpgr,指在一个易感染人群中,1 个病例感染期内预期传染新病例个数。的临界值为 1,若低于临界值,则传播趋势终止1 3。1 2 3模型的结构建立的模型称之为 SEID五仓室模型,并且该模型的传播结构如图 1。其中箭头字母表示转移速率,设总人口数 P=S+E+I+D 为常数,那么 S=P E I D。图 1SEID 模型框图1 3方程组建立根据上述 SEID 模型结构,可以
13、建立相应的微分方程组和差分方程组,其中利用常微分方程的知识,可以得到以下一阶线性微分方程组4:dSdt=H(P E I D)dEdt=H(P E I D)iE 1EdIdt=iE 2I kIddt=2I+1EdDdt=kI亦可得到差方方程组为5:St+1=St H(P Et It t Dt)Et+1=Et+H(P EtIttDt)iEt1EtIt+1=It+iEt 2It kItt+1=t+1Et+2ItDt+1=Dt+kIt根据差分方程组,可以计算出每日新增的 3类人群(潜伏期人群、感染者人数、死亡人数)的人数变化。1 4模型拟合将模拟疫情的变化情况并得到累计感染人数,与真实的疫情累计感染人
14、数进行比较,来确定模型的准确性,模拟时间从武汉市出现第一例新冠病毒之日即 2019 年 12 月 8 日到武汉市宣布封城之日即 2020 年 1 月 23 日。由之前的参数设立和假设条件,可以将其作为后续模拟疫情的 5 类人数的变化情况的公式计算依据,并且与真实情况进行比较6 7,从而得出结论。由于湖北在疫情爆发的当年到次年 1 月 23日即湖北武汉封城之日的基本再生数在 3 58 3 42 不等8,可以根据基本在生数的计算公式来模拟在不同的 j 和 g 的条件下它的数值变化是多少,根据公式 =jpgr,可以得到初始情况 0=gr=3 5;在政府采取措施之后,若 jg 都下降15%,则 =1
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