高等代数2011-2012第一学期试卷参考答案及评分标准.doc

高等代数2011-2012第一学期参考答案及评分标准 （A卷）

一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题后的括号内）.
1．设A、B、C都是n阶矩阵，则下列说法中正确的是 【 D 】
A．AB=BA B．若AB=AC，则B=C
C．r(AB)=r(A)+r(B) D．若A、B都可逆，则AB可逆
2．设A、B为n阶方阵，A≠0，且AB=0，则下列成立的是 【 A 】
A．|B|=0或|A|=0 B．BA=O
C． D．B=O
3．下列关于多项式的说法中错误的是 【 B 】
A．奇数次实系数多项式一定有实根
B．若在有理数域上可约,则一定存在有理根
C．若，则
D．若是的k重因式，则是的k-1重因式
4．设，且，若，则 【 C 】
A． B．
C． D．
5．设A是数域F上的矩阵，若A的秩等于，则 【 D 】
A．至多有一个阶子式不为零
B．所有阶子式都不为零
C．所有阶子式不为零
D．所有阶子式都为零
6．设A为m×n矩阵，则下列叙述中正确的是 【 B 】
A.当m=n时，齐次线性方程组AX=0仅有零解
B.当m＜n时，齐次线性方程组AX=0有非零解
C.当m≥n时，非条线性方程组AX=B有唯一解
D.当m＜n时，非齐线性方程组AX=B有无穷多解
7．已知是5阶行列式中的一项，且带正号，其中，则的值是 【 C 】
A．4 B．3 C．2 D．1
8．用初等矩阵 左乘矩阵A得到，其结果相当于 【 A 】
A．用数乘以的第行加到第行上
B．用数乘以的第行加到第行上
C．用数乘以的第列加到第列上
D．用数乘以的第列加到第列上
二．填空题（本大题共8个小题，每空3分，共24分.请将正确结果填在题中横线上）.
1．设 ，则；
2．设A是3阶方阵，是A的伴随矩阵，，则=125；
3．（ax-b）除多项式f（x）的余式为 ；
4．把表示成的方幂和为
；
5．= ；
6．设，则= ；
7．至少是多项式的二重根，则= −5 ；
8．行列式的展开式中，x的系数是 2 .
三．计算题（本大题共4个小题，共28分.请写出必要的推演步骤和文字说明）.
1．（本小题6分）
解矩阵方程：
解：， 2分
4分
= 6分

2．（本小题6分）
为何值时，齐次线性若方程组有非零解，并求出它的一般解.
解：组有非零解，得=3 2分
增广矩阵4分
易知组的通解为 （为自由未知量） 5分
取，得一般解 6分
3．（本小题6分）
已知是多项式的一个根，求其余的根；并写出在C上的典型分解式.
解：因是的根,所以,也是的根,从而 2分
所以, 的典型分解式为: 6分
4．（本小题10分）
求解含参数的线性方程组
.
解: 对增广矩阵施行行初等变换 4分
对参数a讨论如下:
(1).当,方程组有唯一解; 6分
(2). 当,方程组有无穷多解 8分
(3). 当,方程组无解. 10分

四．证明题：（本大题共3个小题，共24分.证明须写出必要的推演步骤和文字说明）.
1．（本小题7分）
设，求证：||；
证明： 3分
令不整除，则
6分
所以不整除，与题设矛盾 7分
2．（本小题7分）
A为n阶方阵，且=I，，证明：不可逆.
证明: 因
5分
所以, 7分
故不可逆. 7分
3．（本小题10分）
设为非零多项式，且是一个不可约多项式,证明：;
证明：用反证法.
若与不互素，不妨令，
则从而； 2分
又不可约，故存在，使，所以
4分

与＞0矛盾，
所以