数字信号处置习题答案市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

数字信号处理习题解答第1页第1章 时域离散信号与时域离散系统2 给定信号：2n+54n160n40 其它(1)画出x(n)序列波形，标上各序列值；(2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；（3）令x1(n)=2x(n2)，试画出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；（5）令x3(n)=x(2n)，试画出x3(n)波形。解解：(1)x(n)序列波形如题2解图（一）所表示。(2)x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n)+6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)x(n)=第2页第1章 时域离散信号与时域离散系统（3）x1(n)波形是x(n)波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所表示。(4)x2(n)波形是x(n)波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所表示。(5)画x3(n)时，先画x(n)波形(即将x(n)波形以纵轴为中心翻转180)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所表示。题2解图（一）题2解图（二）第3页第1章 时域离散信号与时域离散系统题2解图（三）题2解图（四）3 判断下面序列是否是周期;若是周期，确定其周期。(1)解解：（1）因为=,所以,这是有理数，所以是周期序列，周期T=14第4页第1章 时域离散信号与时域离散系统5 设系统分别用下面差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变。（1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)解解：（1）令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02)y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02)=y(n)故该系统是非时变系统第5页第1章 时域离散信号与时域离散系统 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2)a Tx1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2)bTx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。第6页第1章 时域离散信号与时域离散系统6 给定下述系统差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（2）y(n)=x(n)+x(n+1)解：该系统是非因果系统，因为n时间输出还和n时间以后（n+1）时间）输入相关。假如|x(n)|M,则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M,所以系统是稳定系统。7 设线性时不变系统单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所表示，要求画出y(n)输出波形。题7图第7页第1章 时域离散信号与时域离散系统解解：解法（一）采取列表法。y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm)第8页第1章 时域离散信号与时域离散系统y(n)=2,1,0.5,2,1,4.5,2,1;n=2,1,0,1,2,3,4,5解法（二）采取解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)表示式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+(n2)因为x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*2(n)+(n1)+(n2)=2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)表示式代入上式，得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2)+4.5(n3)+2(n4)+(n5)第9页第1章 时域离散信号与时域离散系统8.设线性时不变系统单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=(n)(n2)（3）h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)解解：（1）y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm)先确定求和域。由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m非零区间以下:0m3n4mn 依据非零区间，将n分成四种情况求解：第10页第1章 时域离散信号与时域离散系统 n7时，y(n)=0最终结果为 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)波形如题8解图（1）所表示。(2)y(n)=2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2)=2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)波形如题8解图（2）所表示y(n)=题8解图（1）题8解图（2）第11页第1章 时域离散信号与时域离散系统(3)y(n)=x(n)*h(n)=R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）对于m 非零区间为 0m4,mn n0时，y(n)=0 0n4时，=(10.5n1)0.5n=20.5n第12页第1章 时域离散信号与时域离散系统 n5时最终写成统一表示式：y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)第13页13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)，式中，f=20 Hz,j=/2。（1）求出xa(t)周期；（2）用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样，试写出采样信号 表示式；（3）画出对应 时域离散信号（序列）x(n)波形，并求出x(n)周期。解解：（1）xa(t)周期为第1章 时域离散信号与时域离散系统（2）（3）x(n)数字频率=0.8，故，因而周期N=5，所以 x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所表示。第14页第1章 时域离散信号与时域离散系统题13解图14.已知滑动平均滤波器差分方程为（1）求出该滤波器单位脉冲响应；（2）假如输入信号波形如题14图所表示，试求出y(n)并画出它波形。解：（1）将题中差分方程中x(n)用(n)代替，得到该滤波器单位脉冲响应，即第15页第1章 时域离散信号与时域离散系统（2）已知输入信号，用卷积法求输出。输出信号y(n)为表1.4.1表示了用列表法解卷积过程。计算时，表中x(k)不动，h(k)反转后变成h(k)，h(nk)则伴随n加大向右滑动，每滑动一次，将h(nk)和x(k)对应相乘，再相加和平均，得到对应y(n)。“滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。最终得到输出波形如前面图1.3.2所表示。该图清楚地说明滑动平均滤波器能够消除信号中快速改变，使波形改变迟缓。题14图第16页第1章 时域离散信号与时域离散系统第17页第2章 时域离散信号和系统频域分析5.设题5图所表示序列x(n)FT用X(ej)表示，不直接求出X(ej)，完成以下运算或工作：（1)(4)确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)时间序列xa(n)；解解(1)（4）因为傅里叶变换实部对应序列共轭对称部分，即题15图第18页第2章 时域离散信号和系统频域分析按照上式画出xe(n)波形如题5解图所表示。题15解图6 试求以下序列傅里叶变换：第19页第2章 时域离散信号和系统频域分析解：(2)8 设x(n)=R4(n)，试求x(n)共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。解解：第20页第2章 时域离散信号和系统频域分析题8解图xe(n)和xo(n)波形如题8解图所表示。第21页第2章 时域离散信号和系统频域分析13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)，式中f0=100 Hz，以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，试完成下面各题：（1）写出傅里叶变换表示式Xa(j)；（2）写出和x(n)表示式；（3）分别求出傅里叶变换和x(n)序列傅里叶变换。解解:(1)上式中指数函数傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它傅里叶变换能够表示成：第22页第2章 时域离散信号和系统频域分析（2）（3）式中第23页第2章 时域离散信号和系统频域分析式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中，指数序列傅里叶变换依然不存在，只有引入奇异函数函数才能写出它傅里叶变换表示式。第24页第2章 时域离散信号和系统频域分析14 求出以下序列Z变换及收敛域:(1)2n u(n)(2)2nu(n1)(3)2n u(n)(4)(n)(5)(n1)(6)2nu(n)u(n10)解(1)(2)第25页第2章 时域离散信号和系统频域分析(3)(4)ZT(n)=1 0|z|(5)ZT(n1)=z1 0|z|(6)第26页第2章 时域离散信号和系统频域分析15 求以下序列Z变换及其收敛域，并在z平面上画出极零点分布图。(1)x(n)=RN(n)N=4 (2)x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9,0=0.5 rad,j=0.25 rad解(1)由z41=0，得零点为由z3(z1)=0，得极点为 z1,2=0,1第27页第2章 时域离散信号和系统频域分析零极点图和收敛域如题15解图(a)所表示，图中,z=1处零极点相互对消。题15解图第28页第2章 时域离散信号和系统频域分析(2)零点为极点为极零点分布图如题15解图(b)所表示第29页第2章 时域离散信号和系统频域分析16 已知求出对应X(z)各种可能序列表示式。解解：X(z)有两个极点：z1=0.5,z2=2，因为收敛域总是以极点为界，所以收敛域有三种情况：|z|0.5，0.5|z|2，2|z|。三种收敛域对应三种不一样原序列。（1）收敛域|z|0.5：令第30页第2章 时域离散信号和系统频域分析n0时，因为c内无极点，x(n)=0;n1时，c内有极点 0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1=0.5,z2=2，那么第31页第2章 时域离散信号和系统频域分析(2)收敛域0.5|z|2:n0时，c内有极点0.5，n2:n0时，c内有极点 0.5、2，n0时，由收敛域判断，这是一个因果序列，所以x(n)=0；或者这么分析，c内有极点0.5、2、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。最终得到第33页第3章 离散傅里叶变换3 已知长度为N=10两个有限长序列：做图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)，循环卷积区间长度L=10。解解:x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所表示。题3解图第34页第3章 离散傅里叶变换14 两个有限长序列x(n)和y(n)零值区间为x(n)=0 n0,8ny(n)=0 n0,20n对每个序列作20点DFT，即X(k)=DFTx(n)k=0,1,19Y(k)=DFTy(n)k=0,1,19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等,为何？解解:记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n)20 y(n)。fl(n)长度为27，f(n)长度为20。由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)关系为第35页第3章 离散傅里叶变换只有在如上周期延拓序列中无混叠点上，才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n)7n1918 用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F50 Hz，信号最高频率为 1 kHz，试确定以下各参数：(1)最小统计时间Tp min；(2)最大取样间隔Tmax；(3)最少采样点数Nmin；(4)在频带宽度不变情况下，使频率分辨率提升1倍（即F缩小二分之一）N值。第36页第3章 离散傅里叶变换解解:（1）已知F=50 Hz，因而（2）（3）（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使统计时间扩大1倍，即为0.04 s，实现频率分辨率提升1倍（F变为原来1/2）。第37页第4章 快速傅里叶变换1 假如某通用单片计算机速度为平均每次复数乘需要4 s，每次复数加需要1 s，用来计算N=1024点DFT，问直接计算需要多少时间。用FFT计算呢？照这么计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，预计可实现实时处理信号最高频率。解解:当N=1024=210时，直接计算DFT复数乘法运算次数为N2=10241024=1 048 576次复数加法运算次数为N（N1）=10241023=1 047 552次直接计算所用计算时间TD为TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为第38页第4章 快速傅里叶变换快速卷积时，需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)=DFTh(n)已计算好存入内存）、N次频域复数乘法和一次N点IFFT。所以，计算1024点快速卷积计算时间Tc约为所以，每秒钟处理采样点数（即采样速率）第39页第4章 快速傅里叶变换应该说明，实际实现时，fmax还要小一些。这是因为实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率，而且在采取重合相加法时，重合部分要计算两次。重合部分长度与h(n)长度相关，而且还有存取数据和指令周期等消耗时间。第40页第5章 时域离散系统网络结构1.已知系统用下面差分方程描述:试分别画出系统直接型、级联型和并联型结构。式中x(n)和y(n)分别表示系统输入和输出信号。解解：将原式移项得将上式进行Z变换，得到第41页第5章 时域离散系统网络结构(1)按照系统函数H(z)，画出直接型结构如题1解图（1）所表示。题1解图（1）(2)将H(z)分母进行因式分解：第42页第5章 时域离散系统网络结构按照上式能够有两种级联型结构:画出级联型结构如题1解图（2）所表示。题1解图（2）第43页第5章 时域离散系统网络结构图(3)将H(z)进行部分分式展开：第44页第5章 时域离散系统网络结构图依据上式画出并联型结构如题1解图（3）所表示。题1解图（3）第45页第6章 无限脉冲响应数字滤波器设计5 已知模拟滤波器系统函数以下：(1)(2)试采取脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。设T=2 s。解解:.用脉冲响应不变法(1)按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)极点为第46页第6章 无限脉冲响应数字滤波器设计将T=2代入上式，得(2)第47页第6章 无限脉冲响应数字滤波器设计或通分合并两项得 用双线性变换法（1）第48页第6章 无限脉冲响应数字滤波器设计第49页第6章 无限脉冲响应数字滤波器设计(2)第50页第6章 无限脉冲响应数字滤波器设计8 题8图是由RC组成模拟滤波器，写出其系统函数Ha(s)，并选取一个适当转换方法，将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)，最终画出网络结构图。解解:模拟RC滤波网络频率响应函数为显然，Ha(j)含有高通特征，用脉冲响应不变法必定会产生严重频率混叠失真。所以应选取双线性变换法。将Ha(j)中j用s代替，可得到RC滤波网络系统函数：题8图第51页第6章 无限脉冲响应数字滤波器设计用双线性变换法设计公式,可得H(z)结构图如题8解图所表示。题8解图第52页第7章 有限脉冲响应数字滤波器设计3 设FIR滤波器系统函数为求出该滤波器单位脉冲响应h(n)，判断是否含有线性相位，求出其幅度特征函数和相位特征函数。解解:对FIR数字滤波器，其系统函数为所以其单位脉冲响应为第53页第7章 有限脉冲响应数字滤波器设计由h(n)取值可知h(n)满足：h(n)=h(N1n)N=5所以，该FIR滤波器含有第一类线性相位特征。频率响应函数H(ej)为第54页第7章 有限脉冲响应数字滤波器设计幅度特征函数为 相位特征函数为5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器，要求过渡带宽度不超出/10 rad。希望迫近理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为 （1）求出该理想高通单位脉冲响应hd(n)；（2）求出加矩形窗设计高通FIR滤波器单位脉冲响应h(n)表示式，确定与N关系；（3）N取值有什么限制？为何？第55页第7章 有限脉冲响应数字滤波器设计解解:（1）直接用IFTHd(ej)计算：第56页第7章 有限脉冲响应数字滤波器设计hd(n)表示式中第2项恰好是截止频率为c理想低通滤波器单位脉冲响应。而(n)对应于一个线性相位全通滤波器：Hdap(ej)=ej即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。（2）用N表示h(n)长度，则h(n)=hd(n)RN(n)=为了满足线性相位条件：h(n)=h(N1n)要求满足（3）N必须取奇数。因为N为偶数时（情况2），H(ej)=0，不能实现高通。依据题中对过渡带宽度要求，N应满足：,即N40。取N=41。第57页