专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版).doc

专题24 解三角形中的最值、范围问题
解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.
1、正弦定理：，其中为外接圆的半径
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网
例如：（1）
（2）（恒等式）
（3）
2、余弦定理：
变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值
4、三角形中的不等关系
（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少
（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：

其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.
5、解三角形中处理不等关系的几种方法
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）
（2）利用均值不等式求得最值
【经典例题】
例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】
【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．

点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．
例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是____________.【答案】.
【解析】 由，
得，所以，
则由余弦定理，
得，解得，又， 所以的范围是.
例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2

例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】
【解析】由的三边分别为，，可得：
，
可知：，
，，

例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.
(1)求角的大小；
(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.
【答案】(1)(2).
【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，
由此可求角的大小；
（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.

（2）因为
所以当时， 取最大值，此时， 由正弦定理得，
例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网
（Ⅰ）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).
【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A的值. （II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.
详解：(Ⅰ)由己知

(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；
当时，为直角三角形，
当 时，由正弦定理 ，

，
所以，当时，综上所述，.
例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求A．（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.

，进而可得结果.
试题解析：（1）根据正弦定理得 ，即，
则，即，由于，

【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知， ，设函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）设的内角， ， 所对的边分别为， ， ，且， ， 成等比数列，求的取值范围．
【答案】(1) ， ．(2) .
【解析】试题分析：（1）由题，根据正弦函数的性质可求其单调增区间；
（2）由题可知，
（当且仅当时取等号），所以， ，由此可求 的取值范围．
（当且仅当时取等号），
所以， ， ，综上， 的取值范围为．
例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角中， 对边为，
（1）求的大小； （2）求代数式的取值范围.【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由及余弦定理的变形可得，因为，故得，从而可得锐角中．（2）利用正弦定理将所求变形为，然后根据的取值范围求出代数式的取值范围即可．试题解析：
（1）∵， ，
∴ ， ∴
∴，

∴,
∵为锐角三角形，且 ∴ ，即 , 解得，
∴∴∴．故代数式的取值范围．
点睛：
（1）求的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角的范围．
（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得的范围，然后结合函数的图象可得的范围，以达到求解的目的．
例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知的内角的对边分别为，若向量，且.
（1）求角的值；（2）已知的外接圆半径为，求周长的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由，得，利用正弦定理统一到角上易得（2）根据题意，得，由余弦定理，得，结合均值不等式可得，所以的最大值为4，又，从而得到周长的取值范围.
得.又，所以.
（2）根据题意，得.由余弦定理，得，
即，整理得，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为4.又，所以，所以.
所以的周长的取值范围为.
【精选精练】
1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】因为，所以，即，即，

2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C
【解析】 ，，，，又 ，，，，故选C.
3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形中， ， ，设、的面积分别为、，则当取最大值时， __________．【答案】

【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时的值.
4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】

5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】
【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得 ，即，解得，又，所以的范围是.
点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.
6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角的内角的对边分别为,且,则的最大值为__________．【答案】

即，所以的最大值为．
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知分别为内角的对边，且.
（1）求角；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到，从而得解；
（2）由余弦定理得， 结合即可得最值.
试题解析：
（1）∵，∴由正弦定理可得，
即面积的最大值为.
8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.
（Ⅰ）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).
【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到
,再解这个三角方程即得A的值. （II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.
详解：(Ⅰ)由己知
由余弦定理得，
所以，即,
，所以.

由正弦定理 ，

，所以，当时，综上所述，.
点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.
9．【衡水金卷信息卷（二）】在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小；（2）若，且，求边的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .

在中，由正弦定理，得，∴，
∵，∴，∴，即的取值范围为.
10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知三个内角 的对边分别为， 的面积满足．
（1）求角的值；（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）

，又， .
（2）

11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在中，内角的对边分别为，已知，且.
（1）求的值；（2）若， 为的面积，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， 可转化为，又，从而得到的值；
（2）由正弦定理，故
限制角A的范围，求出的取值范围.

（2）由正弦定理得
，
在中，由 得 ，
.
12．【衡水金卷信息卷 （五）】在锐角中，内角， ， 的对边分别为， ， ，且.
（1）求角；（2）若，求周长的取值范围.
【答案】(1) (2)
.
试题解析：（1）∵，∴，
∴，整理，得，∴或，
∵，∴，即.
（2）设的外接圆半径为，则，∴.
∴ ，

∴周长的取值范围是.

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