基于傅里叶系数实部的脉冲流信号欠Nyquist采样方法.pdf
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1、基于傅里叶系数实部的脉冲流信号欠Nyquist采样方法云双星徐红伟付宁*乔立岩(哈尔滨工业大学电子与信息工程学院哈尔滨150080)(哈尔滨工业大学网络空间安全学院哈尔滨150080)摘要:有限新息率(FRI)采样理论可以远低于信号Nyquist频率的采样速率实现对脉冲流信号的欠采样。经典的FRI重构算法大多基于傅里叶系数进行运算,其中存在大量的对复数矩阵的奇异值分解,降低了算法的执行效率。针对该问题,该文提出基于傅里叶系数实部的脉冲流信号FRI采样及重构方法。首先利用离散余弦变换从脉冲流信号的低速采样值中获取其傅里叶系数实部信息,并在重构算法中使用实部的Toeplitz矩阵以提高奇异值分解(
2、SVD)的效率;其次,为了提升经典的零化滤波器算法的鲁棒性,该文从傅里叶系数实部协方差矩阵的旋转不变特性以及零空间特性出发,提出基于离散余弦变换的协方差矩阵分解算法以及基于离散余弦变换的零空间搜索算法来估计脉冲流信号的特征参数,并针对出现的共轭根问题,提出基于交替方向乘子法的去共轭算法。仿真结果表明:在信号新息率较高的情况下,使用傅里叶系数实部信息会极大提高算法的执行效率,同时保证参数估计的准确性。关键词:欠Nyquist采样;有限新息率;脉冲流信号;离散余弦变换中图分类号:TN911.71文献标识码:A文章编号:1009-5896(2023)06-2153-09DOI:10.11999/JE
3、IT220558Sub-Nyquist Sampling of Pulse Streams Based on the Real Partof Fourier CoefficientsYUNShuangxingXUHongweiFUNingQIAOLiyan(School of Electronics and Information Engineering,Harbin Institute of Technology,Harbin 150080,China)(School of Cyberspace Science,Harbin Institute of Technology,Harbin 15
4、0080,China)Abstract:TheFiniteRateofInnovation(FRI)theorycanrealizethesub-NyquistsamplingofpulsestreamssignalbyasamplingratemuchlowerthanitsNyquistfrequency.MostclassicalFRIreconstructionalgorithmsoperateonthebasisofFouriercoefficients,andthereisalotofsingularvaluedecompositionofcomplexmatrices,which
5、reducestheefficiencyofthealgorithm.Tosolvethisproblem,anFRIsamplingandreconstructionmethodbasedontherealpartofFouriercoefficientsisproposedinthispaper.Firstly,thediscretecosinetransformisusedtoobtaintherealpartofFouriercoefficientsinformationfromthelow-speedsamplingvalueofthepulseflowsignal,andtheTo
6、eplitzmatrixoftherealpartisusedinthereconstructionalgorithmtoimprovetheefficiencyoftheSingularValueDecomposition(SVD).Secondly,inordertoimprovetherobustnessoftheclassicalannihilatingfilteralgorithm,acovariancematrixdecompositionalgorithmandanullspacesearchingalgorithmareproposedfromtherotationinvari
7、antfeatureandthenullspacepropertyoftherealcovariancematrix.Thetwomethodsarebasedonthediscretecosinetransformtoestimatecharacteristicparametersofthepulsestreamsignal.Fortheconjugaterootproblem,anewmethodofdeconjugationbasedonthealternatingdirectionmultiplierisproposedinthispaper.Thesimulationresultss
8、howthatusingtherealpartinformationofFouriercoefficientscangreatlyimprovetheefficiencyofthealgorithmandensuretheaccuracyofparameterestimationwhentherateofinnovationofthesignalishigh.Key words:Sub-Nyquistsampling;FiniteRateofInnovation(FRI);Pulsestreamssignal;Discretecosinetransform收稿日期:2022-05-07;改回日
9、期:2022-10-20;网络出版:2022-10-26*通信作者:付宁基金项目:国家自然科学基金(62071149,61671177),鸿鹊创新中心开放基金(HQ202103003),中央高校基本科研业务费专项资金FoundationItems:TheNationalNaturalScienceFoundationofChina(62071149,61671177),TheHongqueInnovationCenter(HQ202103003),FundamentalResearchFundsfortheCentralUniversities第45卷第6期电子与信息学报Vol.45No.62
10、023年6月JournalofElectronics&InformationTechnologyJun.20231 引言经典香农采样定理在处理参数化大带宽信号时效率十分低下1,2。这类大带宽信号广泛应用于雷达3、频谱感知4、超声成像5、地球物理6、心电信号监测7以及辐射源定位8等领域中,因而针对此类信号的欠采样问题的研究,具有十分重要的意义。有限新息率(FiniteRateofInnovation,FRI)采样理论可以远低于信号Nyquist频率的采样速率实现对这类单位时间内由有限参数决定的大带宽信号的欠Nyquist采样与重构811。针对其参数重构过程,Vetterli等人11提出了零化滤波
11、器算法,但是算法抗噪声性能不足;Qiu等人12提出了基于低秩矩阵分解的Cazdow去噪算法,但是迭代过程需要进行大量的奇异值分解;Simeoni等人13提出了基于交替投影的迭代估计算法,但是算法对采样率具有严苛的要求,且算法同样采用大量的奇异值分解。经典的依赖于奇异值分解的谱估计算法如矩阵束算法14、多重信号分类算法15、旋转不变子空间算法16等也广泛应用到FRI参数的估计过程中。因此,奇异值分解是FRI谱估计方法的核心,也是最为耗时的一步1719。对于复数矩阵的奇异值分解过程的执行速度远远低于仅使用实部信息的相同规模的矩阵20。因此,如果在谱估计算法中仅使用傅里叶系数实部信息,会极大地提高参
12、数估计过程的执行效率。文献21提出了一种基于傅里叶系数实部的谱估计算法。该算法利用希尔伯特变换,从获取到的傅里叶系数实部中解析出完整的傅里叶系数信息。这样的方案面临两个主要问题:首先,离散希尔伯特变换的精度十分依赖于系统的采样率;其次,脉冲流信号的新息率会极大影响希尔伯特变换的效果。为了能够从有限的傅里叶系数实部信息中实现准确的参数估计,文献22改进了经典的零化滤波器算法,使其适用于基于傅里叶系数实部信息的参数估计。然而,在噪声环境下此零化滤波器算法的鲁棒性不足;而且,这种零化滤波器的使用会产生共轭根问题,即对同一个时延参数会求解出两个有效的估计值,这对信号的测量过程产生极大的干扰。文献23面
13、向脉冲流信号提出了基于双通道调制的傅里叶系数实部的获取方法。然而,在参数估计环节,观测矩阵的RIP特性无法保证24,25,而且算法的执行效率非常低下。现有的针对傅里叶系数实部的零化滤波器算法理论并不完善,因此本文首先证明了针对傅里叶系数实部的零化滤波器系数的存在性以及唯一性。对于实际的测量过程,本文提出使用离散余弦变换从低速采样值中直接获取脉冲流信号的傅里叶系数实部信息,并充分利用傅里叶系数实部协方差矩阵的旋转不变特性以及傅里叶系数实部Toeplitz矩阵的零空间特性,提出基于离散余弦变换的协方差矩阵分解算法(CovariancematrixDecompositionbasedonDiscre
14、tecosinetransform,CDoD)以及基于离散余弦变换的零空间搜索算法(NullSpacesearchingbasedonDiscretecosinetransform,NSoD),以此解决针对傅里叶系数实部的零化滤波器算法本身存在的抗噪声性能差、鲁棒性弱的问题。同时,本文提出基于交替方向乘子迭代框架的去共轭根算法,利用空间搜索与循环迭代的方式,解决参数估计过程的共轭根问题。仿真实验表明,本文所提算法不仅能保证良好的参数估计性能,且相较于经典的FRI谱估计算法,其运算速度得到大幅度的提升,十分有利于实际工程中的应用。本文的安排如下:第2节介绍脉冲流的信号模型以及采样结构;第3节介绍
15、针对于傅里叶系数实部的零化滤波器算法及关键环节的证明,并展示本文所提CDoD以及NSoD算法及相应的证明过程;第4节安排本文的仿真验证实验;第5节进行总结。2 信号模型及采样结构脉冲流如式(1)所示x(t)=Kk=1akh(t tk)(1)ak,tkKk=1tk 0,)ak 0h(t)h(t)=(t)=2K/其中,分别代表脉冲流的幅度参数以及时延参数,且,;代表脉冲流函数的时间域支撑。为脉冲流基函数,在经典FRI理论中通常假设为Dirac函数6。根据FRI采样理论,信号的新息率为11,信号的傅里叶系数实部可以根据泊松求和公式26表示为Xm=1Kk=1akcos(2mtk)(2)m Zx(t)g
16、(t)fs=1/TsTscn n=0,1,.,N 1NTs=/N其中,。为了实现对脉冲流信号的欠Nyquist采样,本文提出如图1所示的采样结构。图1中原始信号首先经过带宽为B的理想低通滤波器20,然后以的采样速率进行低速采样,其中为滤波信号的采样时间,采样值为,,为采样的点数,并且。3 基于傅里叶系数实部的谱估计算法3.1 基于傅里叶系数实部的零化滤波器算法对于实际测量过程,一般对采样值进行傅里叶2154电子与信息学报第45卷变换之后,再分离傅里叶系数实部信息,但此过程十分冗余。为了提高信息的获取效率,本节首先提出基于离散余弦变换直接获取傅里叶系数实部的方法。针对傅里叶系数实部的零化滤波器的
17、具体形式已经在文献22中提出,但是缺少对零化滤波器系数存在性及唯一性的有效证明。本节将从矩阵线性空间的角度,补充完成零化滤波器系数的存在性及唯一性证明。cn采样值的离散余弦变换(DiscreteCosineTransform,DCT)可以表示为XDCTl=2NlN1n=0cncos(l(2n+1)2N)(3)0 l N 1l=0l=1/2l 1l=1其中,;当时,当时,。cnN cr0 r N 1cr=crN r 2N 1 cr=0 cr2N如果对采样值进行点补0操作,则得到新的 序 列。该 序 列 满 足 当时,当时,。序列的点离散傅里叶变换可以表示为Ck=2N1r=0 crej2kr2N,
18、0 k 2N 1(4)Re如果定义表示序列的傅里叶系数实部,那么ReCkejk2N=N1n=0cncos(k(2n+1)2N)(5)cn由于序列的补0操作,在式(5)中有效的系数为Dm=ReC2mejm/N(6)m=0,1,.,N 1NF其中,。不失一般性,文中假设为奇数,并重新定义序列 为F=DN+12,.,DN 1,D0,D1,.,DN 12(7)F那么序列 可以被重新表示为Fl+N+12=Cl=1Kk=1akcos(2l(tk+2N)(8)l=(N 1)/2,(N 3)/2,.,(N 1)/2F1F其中,并且代表序列 的第1个元素。Z定义序列 为Z=N2,N2,.,N2,N,N2,.,N
19、2(9)cnXDCTlCl则采样值序列的DCT变换与傅里叶系数实部序列之间的关系为Cl=XDCTl Zl(10)Clcn因此序列可以从低通滤波之后的低速采样值中,由DCT变换求得。在此,定义零化滤波器满足Az=Kk=1(1 ukz1)(1 ukz1)=2Kl=0Alzk(11)()Al=A2K l(C A)l=0Al其中,表示共轭,则存在卷积关系为22。零化滤波器的根由其系数唯一决定,为了求解零化滤波器的系数,本文首先证明其根的存在性及唯一性,并给出如下引理1。cn n=0,1,.,N 14K+1Cl l=2K,2K+1,.,2KC R(2K+1)(2K+1)i+j=2r 1 i,j Kr Z
20、C2Kk=2/(tk+/2N)N=4K+1C引理1针对如式(1)所示的脉冲流信号产生的采样值,,通过离散余弦变换获取其个连续的傅里叶系数实部,,并将其排列成Toeplitz矩阵的形式。如果假定特征参数满足,且,那么矩阵 的秩为,且其零空间的维度为1。这里,,且矩阵表示为C=C0C1.C2KC1C0.C2K+1.C2KC2K 1.C0(12)V R(2K+1)2K证明定义新的矩阵为V=cos(10).cos(k0)sin(10).sin(K0)cos(11).cos(k1)sin(11).sin(K1).cos(12K).cos(k2K)sin(12K).sin(K2K)(13)kKk=1如果特
21、征频点满足i+j=2r,1 i,j K(14)V2KD=diag那么矩阵的秩为。如果定义矩阵a1,a2,.,ak,a1,a2,.,ak R2K2KdiagC,其中代表向量的对角化矩阵,那么矩阵可以表示为C=V D VT(15)图1基于sinc采样核的Dirac脉冲流采样结构第6期云双星等:基于傅里叶系数实部的脉冲流信号欠Nyquist采样方法2155CDC2K2K+1 2K=1因此,矩阵的秩决定于矩阵。由于矩阵的列空间维度等于其秩为,所以其零空间的维度为。证毕A R(2K+1)1(C A)l=0C A=0ACA ul2Kl=1将式(11)中零化滤波器的系数矩阵写为,则卷积运算的矩阵形式表示为。
22、通过引理1可以得知,位于Toeplitz矩阵的零空间内且是唯一的。假设由系数矩阵求得的零化滤波器的根为,则原始信号的时间延时参数及其共轭时间参数可以表示为tl=2(ln(ul)+N)(16)tl2Kl=1=tkKk=1 tkKk=1 tktk很明显,此处将称为参数 的共轭参数。3.2 基于交替乘子迭代的去共轭算法Kg(t)=Bsinc(Bt)B由于在零化滤波器算法中使用的是傅里叶系数实部信息,因此会产生个共轭根,这会给后续的特征参数选择过程带来混淆。因此本节将借助采样值的时域表达形式,实现参数的去共轭。采样核时域形式为,其中为滤波器的带宽,那么采样值可以表示为cn=Kk=1ak(nTs tk)
23、(17)(t)=sin(Bt)/B sin(t/)其中,表示信号的内积,是标准的Dirichlet函数27。tr2Kr=1 RN2K假设由零化滤波器估计出的时间延迟参数为,那么如果定义测量矩阵为为=(0Tst1)(0Tst2).(0Tst2K)(1Tst1)(1Tst2).(1Tst2K).(N 1)Tst1)(N 1)Tst2).(N 1)Tst2K)(18)c=c0,c1,.,cN 1TKakKk=1Ka R2K1akKk=1tl2Kl=1因此对于观测值向量而言,其来自矩阵中的列的加权组合,权重系数为。如果定义一个稀疏的向量,那么其非0元素应该为,其位置对应着Dirac脉冲流信号时间延迟参
24、数在中的坐标。为此本文提出优化方程为minmize12 a c22+z1,s.t.a=z(19)参考文献28中的交替方向乘子法,将式(19)所示的优化方程改写为minaL(a,z,u)=12 a c22+z1+2a z+u22(20)auaK其中,是稀疏度的惩罚因子,其值越大,则要求越稀疏;而参数 决定了优化过程的步长。代表的是优化过程自身产生的残差向量。在噪声情况下,得到的向量 仍然为近似稀疏的向量,故而需要选择其中绝对值最大的个数的位置作为参数估计值的坐标(如算法1所示)。算法1中有S/(x)=x /,x /x+/,x /(21)tkKk=1akKk=1通过算法1所示得到参数,幅值参数可以
25、通过最小二乘的方法求得。3.3 基于离散余弦变换的协方差矩阵分解算法通过3.2节的分析可以得知,零化滤波器算法可以从无噪声的观测值中准确估计Dirac脉冲流信号的特征参数。然而,当观测值受到噪声的扰动时,零化滤波器方法的鲁棒性将会变得极差13。经典的谱估计算法如Cazdow滤波迭代算法等,虽然具有较强的抗噪声能力,但其是针对完整的傅里叶系数提出的。为了提高基于傅里叶系数实部的参数估计方法对于噪声的抵抗能力,本节设计了基于离散余弦变换的协方差矩阵分解算法(CDoD)。如式(1)所示的Dirac脉冲流信号的傅里叶系数实部信息可以表示为cDCT=G a(22)cDCT RN1其中,并且a=a12,a
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