圆锥曲线两动点相关问题解决办法.doc

看： 圆锥曲线一题的反思并系统总结相关题经验后会带给我们多么大的收获
已知直线过椭圆的一个焦点和一个顶点。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且，直线BD与轴交于点M，求常数使得；

在解答上题的过程中，未能顺利解答。现在反思，获得了深刻的教训：虽然做题多后获得了很多方法，但如果不系统总结，包括不同方法使用的不同场景，可能会在解答某一个题的过程偏向纠结于使用其中咋看起来感觉是不错的方法（比如刚做过一个题，成功地使用了该方法，后来偏执于把此方法用于其它题），忽略了其它方法的应用。而当系统总结方法之后，或者做题时先少冷静想下此类题有哪些方法，那么就不会纠结于某一种方法，并且使用某种方法行不通时，会换用其它方法。
现在我们要围绕"2015广东天利高考模拟试卷天利38套"，把圆锥曲线上出现多个动点（两个或两个以上）时，我们所遇到的解题方法和经验总结下，然后再去做上述题，就会发现不少方法可用于该题的解答。
首先问题先归结为直线和曲线相交的两个动点（）问题。假定问题中曲线C的方程是：f(x,y)=0。
方法一：直线方程和曲线方程联立，使用韦达定理，获得当然，更灵活的可以是，获得“一元二次方程”，先不急于求两根之和或之积，而是根据后面问题的具体需求再计算这些式子（比如只需要两根之和后就计算两根之和）。
方法二：不使用直线方程，而是通过等式：往往在题的其它条件中若涉及该直线的斜率，常用这个方法。因为这个等式整理后会出现斜率。当然这个方法有时还要结合下面方法使用。这个技巧也可用在其它类型题，如导函数类型题中，只要两式子相减与斜率相关或者相减后获得一个比较容易处理的式子，比如齐次方式。

方法三：
（1）通常对椭圆、双曲线，不使用直线方程，而是先记下这两个等式已经存在。然后等待机会利用这两个等式（整体利用，或利用变量平方代换，比如解出y12用x12表示）。所谓等待机会是指：求解问题的式子通过变形后可利用这两个等式，包括自然变形或为利用这两个等式而刻意进行变形（比如刻意凑(x+y)(x-y)等等）。
（2）对抛物线，不使用直线方程，常常也不利用方法上述方法（1），而是设动点时就设单变量坐标就行了。比如y=4x2上的动点可设为（x1,4x12）。然后再根据所设求解完成问题解答。

除了上述方法外，还有一些重要的如下解题经验值得参考利用：
（1） 变形中遇到的常见式子不要轻易散，为此先“小步走”（小步运算也是解题经验，就是对一个式子的运算先不要运算彻底，而是暂且等下，根据其它条件等式再确定是否还需要运算），保留这些式子，看后面解答运算过程中是否会单独利用这些式子。比如遇到（如天利29套 第20题的解答）。也可以这个解题思想是上述解题方法三的延伸利用，对解题过程中出现的等式，在不知道如何利用该等式前，先运算其它等式，待机会确定如何使用该等式。
（2） 对条件“A、B、C三点在一条直线上”，经常通过其中两条直线斜率相等来使用该条件。但使用哪两条直线的斜率相等，最好结合观察其它条件等式，再做更好选择（如天利29 第20题的解答））。
（3） 解题要体现灵活性；以上介绍的方法属于很有用技巧性解题方法。当遇到特殊情况，比如直线过原点，总想用特殊方法设过原点的直线方程解决问题时，如果发现这个特殊方法并不简单，就不要过于纠结，还要回归考虑使用上述技巧解题方法（看天利38套，第20题：）。
（4） 在用上述技巧方法解答问题时，还要注意优先考虑问题表达的简洁性。
比如直线和椭圆相交于P(x1,y1)，并且直线过原点，其它条件涉及该直线的斜率k。虽然可通过联立方程组解出x12（或x1），但最好先把它简洁表达为k=y1/x1，然后等待机会利用该式子（不行时再考虑其它方法，比如解出x12）；
再如使用上述“方法一”时，一般也是使用直线方程的简洁形式：斜截式。通常只有在直线经过的点的坐标具体知道时采使用点斜率式子。否则直线方程设的复杂了，你继续算的决心就会受到影响。即是根据题的相关条件，直线的斜率是一个式子，比如-1/k，你也最h好要先令m=-，然后设直线方程y=mx+b，而不是y=- x+b；
（5） 有时解决问题时，选择不同的直线列其方程都可解决问题，但需要适当比较下，是否选择其中一个列方程对解决问题更有利些。
（6） 设量不要冗余，以尽可能少量设动点坐标量；比如两个动点关于原点对称，可设一个坐标为（x1,y1) 另外一个动点坐标是（-x1,-y1）；
（7） 前面总结的方法可以看做是技巧方法，即使有它基本方法（一般指具体求出方程解的方法）能解决问题，也要考虑尝试下技巧方法是否更简单；

下面我们根据上面总结的解题方法和经验给出本文开头所给题的不同方法的简要解题过程：
解答1（使用上述方法一，但不同于原先看到的标准答案解题方法，这里我们选择直线BD的斜截式）：
设根据AB和AD垂直，得到。
设直线BD方程：y=kx+m（KBD=k），联立该方程和椭圆方程得‚（先暂停，后面再确定如何使用韦达定理，避免多余的运算。）
设M（xm,0），根据M、D、B共线，MB的斜率和BD的斜率相等（为何没有选择其它斜率，如选择MD斜率，是因为和‚的结构给我们的启示），从而得到：ƒ
然后由‚式根据韦达定理求得x1+x2和y1+y2，再代入可得到，代入ƒ得到。由，从而

解答2（使用上述方法二）：
设A(x1，y1)，B(-x1,-y1)，D(x2,y2)，则有
两式相减并且整理得
从而有
下面采用可和解答1类似的方法，求出点M的坐标，然后可求得

解答3（使用上述方法三）：
设A(x1，y1)，B(-x1,-y1)，D(x2,y2)
两 （先不要轻易变形，后面等待机会使用该式子；注意该式子所含两个独特子结构，更启发我们不要轻易变形）

设M（xm,0），根据M、D、B共线，MB的斜率和BD的斜率相等（为何没有选择其它斜率，如选择MD斜率，是因为的结构给我们的启示），从而得到：‚
ƒ ；由‚可解得，代入ƒ得
（4）,
这时利用解得

我是在重新归纳整理天利38套题方法时，顺利完成了如下解答过程；由此可以看出方法总结和冷静使用方法的重要性，它也会大大提高解题能力；
高考将很快到来，希望你看到此文章后，能受到启发，不是急于做新题，更重要的是对以前做过的一些类型题，尽可能全部逐类罗列整理下，系统总结方法，相信会有不少的收获；

其实即使设直线AB的斜率为k， 并且使用直线AD的斜截式，如果掌握了原则“方程尽量简单”，你也会注意把AD的方程设为y=mx+b而不是y=-x+b，从而降低运算复杂度；
下面我把相应解答扫描件放到到下面（就不在这里敲打解答过程了）：