反函数练习附答案.doc

(完整word)反函数练习附答案
班级：一对一
所授年级+科目： 高一数学
授课教师：
课次:第 次
学生：
上课时间：
教学目标
理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系,会利用反函数的性质解决一些问题．
教学重难点
反函数的求法，反函数与原函数的关系．
反函数——快速练习
一、选择题
1.若y＝f（x）有反函数,则方程f(x)＝a（a为常数）的实根的个数为（ ）
A.无实数根 B.只有一个实数根
C。至多有一个实数根 D。至少有一个实数根
解析：y＝f(x)存在反函数，则x与y是“一对一”的.但a可能不在值域内,因此至多有一个实根.答案：C
2.设函数y＝f(x）的反函数y＝f—1(x)，若f（x)＝2x,则f-1()的值为（ ）
A. B.1 C。 D。—1
解析：令f(x)＝2x＝，则x＝—1，故f—1（)＝—1,故选D.
3。若函数y＝f（x—1)的图象与函数的图象关于直线y＝x对称,则f(x）等于（ )
A。e2x—1 B.e2x C。e2x+1 D.e2x+2
解析:由函数y＝f(x-1)的图象与函数的图象关于直线y＝x对称,可知y＝f（x—1）与互为反函数，有x＝e2y—2,所以y＝e2x—2y＝f(x-1)＝e2x-2.故f（x）＝e2x。 答案:B
4。已知函数f(x)＝2x+3,f—1(x)是f(x)的反函数,若mn＝16（m,n∈R+）,则f—1(m)+f-1(n)的值为（ ）
A.—2 B.1 C.4 D。10
解析：设y＝2x+3,则有x+3＝log2y,可得f—1(x)＝log2x-3。于是
f—1（m)+f-1（n)＝log2m+log2n-6＝log2mn-6＝—2.答案:A
5.设函数(0≤x＜1）的反函数为f—1(x)，则（ )
A.f—1（x)在其定义域上是增函数且最大值为1 B。f-1（x)在其定义域上是减函数且最小值为0
C.f-1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1 D.f-1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0
解析：由（0≤x＜1)，得该函数是增函数，且值域是[1,+∞），因此其反函数f-1(x）在其定义域上是增函数，且最小值是0。 答案：D
6.函数的反函数是( C )
A。 B. C. D.
解析：当x≥0时,y＝2x，且y≥0,∴(x≥0）；
当x＜0时,y＝-x2且y＜0，∴(x＜0）。
∴函数的反函数是
7.已知函数在区间M上的反函数是其本身，则M可以是( ）
A.[-2，-1］ B.［—2，0］ C.［0，2] D。［—1,0］
解析:画出函数;由得y2＝4-x2且y≤0，即x2+y2＝4,y≤0,
所以图象是以（0,0）为圆心,以2为半径的圆在x轴下方的部分（包括点(±2,0)）；又y＝f(x）在区间M上反函数是其本身,故y＝f(x）图象自身关于y＝x对称，故区间M可以是[—2，0].答案:B
8。设0＜a＜1，函数,则函数f—1(x）＜1的x的取值范围是（ ）
A.(0，2) B。（2,+∞） C.（0,+∞) D.(loga(2—a),+∞)
解析:f（x）在（0，2)上是减函数，所以x＞f(1）＝0.故选C。
9.设函数为y＝f(x)的反函数为y＝f-1(x）,将y＝f（2x-3)的图象向左平移2个单位,再作关于x轴的对称图形所对应的函数的反函数是（ ）
A。 B. C. D.
解析:由题意知，最后得到的图形对应的函数可以表示为y＝-f［2(x+2）—3］＝—f(2x+1），即—y＝f(2x+1)，2x+1＝f-1（—y）,，故所求函数的反函数是。答案：A
10。已知函数若函数y＝g(x)的图象与函数y＝f—1（x—1）的图象关于直线y＝x对称,则g（11)的值是( )
A. B. C. D。
解析:∵函数y＝g（x)的图象与函数y＝f-1（x-1)的图象关于直线y＝x对称，
∴函数y＝g(x)与函数y＝f-1(x-1)互为反函数.
由g(11）得f—1(x-1）＝11,∴x—1＝f(11），即x＝f（11）+1。∵，∴ 。答案:A
二、填空题
11.设f(x）＝x5—5x4+10x3—10x2+5x+1，则f（x)的反函数为f—1（x)＝_____________.
解析:∵ f（x)＝(x-1）5+2,∴ 。
12。若函数的图象关于直线y＝x对称，则a＝_________.
解析:∵ ,∴ 不是常函数,且存在反函数。在f(x)的图象上取一点（0，），它关于y＝x的对称点（，0）也在函数f(x)的图象上,可解得a＝—5。
13.已知函数f（x）的定义域为[-1,1],值域为［-3,3］,其反函数为f—1（x),则f-1(3x-2)的定义域为___________,值域为____________。
解析:由于函数f(x）的定义域为［-1，1］，值域为［-3，3]，所以其反函数f—1（x)的定义域为［-3,3］，值域为［-1,1］.所以由-3≤3x-2≤3，解得≤x≤.
故函数f—1(3x-2)的定义域为［，］,值域为［—1，1］。 答案:[,］ ［—1，1］
14。定义在R上的函数y＝f(x）有反函数,则函数y＝f(x+1)+2与y＝f—1(x+1）+2的图象关于直线___对称。
解析:函数y＝f（x)沿向量（-1,2）平移得到函数y＝f(x+1）+2，
函数y＝f-1（x）沿向量(—1,2）平移得到函数y＝f—1(x+1)+2,
又y＝f（x）与y＝f—1（x)关于y＝x对称，y＝x沿向量（-1，2)平移得到y＝x+3,
∴y＝f（x+1)+2与y＝f-1(x+1)+2关于y＝x+3对称.答案：y＝x+3
三、解答题
15.已知函数，g(x)＝f-1（—x）,求g（x)。
解:由,得xy—y＝x+1,∴,即，∴g（x)＝f—1（-x)＝。
16.已知函数f(x)＝2（）(a＞0且a≠1）.
(1)求函数y＝f（x)的反函数y＝f-1（x);（2）判定f—1（x）的奇偶性;(3)解不等式f-1(x）＞1.
解：(1）化简,得.设，则。∴。
∴所求反函数为（-1＜x＜1).
（2）∵，∴f-1（x）是奇函数.
(3）。
当a＞1时，原不等式.∴＜x＜1。
当0＜a＜1时,原不等式解得∴—1＜x＜.
综上，当a＞1时，所求不等式的解集为(,1)；当0＜a＜1时，所求不等式的解集为(—1,).
17。设函数若g（x)＝(x—1)2f（x—1),y＝g(x)的反函数为y＝g—1(x）,则g(—1）·g-1(-4）＝___________.
解析：由题意得 ∴g（x）＝(x—1）2f(x—1）＝
设g(x）＝—4，可得-(x—1)2＝—4且x＜1，解得x＝—1，∴g(—1)＝-4，∴g—1（-4）＝-1.
∴g(-1)·g-1（-4)＝-4×（-1）＝4.
18。已知f(x)是定义在R上的函数，它的反函数为f—1（x).若f-1(x+a)与f(x+a）互为反函数且f(a）＝a（a为非零常数），则f(2a）＝____________。
解析:设y＝f-1（x+a)，则x＝f（y）—a,即y＝f-1（x+a)的反函数为y＝f(x)—a,∴f(x+a)＝f（x）—a.
令x＝a,得f(2a)＝f（a）—a＝a—a＝0。
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