基于“四能”的章末“问题与探究”教学实践与思考——以“向量方法在直线中的应用”为例.pdf
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1、基于“四能”的章末“问题与探究”教学实践与思考 以“向量方法在直线中的应用”为例钱 健(南京师范大学附属扬子中学,江苏 南京 210048)摘 要:文章以“用数学的眼光发现问题,用数学的语言表达问题,用数学的思维分析问题,用数学的方法解决问题”为抓手来开展数学探究教学,以问题驱动思考,唤起学生主动探究,实现学生“四能”提高.关键词:四能;问题与探究;数学思考;问题链中图分类号:O123.1 文献标识码:A 文章编号:1003-6407(2023)11-0031-04 普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)(以下简称课标)指出,提高从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能
2、力(以下统称“四能”),并将“数学建模活动和数学探究活动”作为教学主线之一.教材章末的“问题与探究”是落实数学探究活动的一个有效抓手.目前“数学探究活动”在课堂实施中往往流于形式,师生重视程度不够,但其现实的重要性和培养学生数学素养过程中的作用是不言而喻的.在 2023 年 4 月江苏省南京市江北新区高中数学优质课大赛暨推荐参加市赛选拔赛中,专家组给出的课题是苏教版普通高中教科书数学(选择性必修第一册)(以下统称“教材”)第一章章末“问题与探究”中“向量方法在直线中的应用”1.这不仅是对选手教材理解水平的考查,也是对组织学生进行数学探究活动的考查,同时还是落实课标教学主线“数学建模和数学探究”
3、的体现.笔者作为参赛选手,尝试从“四能”的角度开展探究活动,以问题驱动思考,充分调动了学生的积极性和主动性,课堂效果良好.赛后梳理成文,与同行交流.1“向量方法在直线中的应用”的课堂重现问题是探究发生的保障,是学习动机生成的本源,有效的探究性学习是建立在问题之上的.因此,在教学环节中应把握时机,精选易激起探究兴趣的问题来组织探究活动,逐渐将数学探究引向深入.本节课从“数学地发现问题提出有意义的数学问题分析问题,猜想结论通过探究解决问题”这 4 个环节展开.环节 1 用数学的眼光发现问题.例1 已知直线 l 过点 P(x0,y0),且与直线 l1:Ax+By+c=0(其中点 P 不在 l1上)平
4、行,其中 A,B不全为 0,求证:直线 l 的方程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0.师:确定一条直线需要哪些条件?生 1:一个点与一个方向.师(追问):如何描述直线方向?生 2:前面学习直线方程时借助斜率、倾斜角来体现方向.师(追问):还有什么方式也可以描述方向?生 3:向量,由向量的定义知它具备代数和几何双重性质,能体现方向.生 4:直线可以看成带箭头向量的无限延展,因此我认为可以用向量来研究直线.师:例 1 中的数学问题如何思考?生 5:可以看成 l 上任意一点与点 P 构成的向量与 l1平行.设计意图 依托平面直角坐标系,学生已经建立点与坐标、直线与方程的联系.而作为沟通几何与代数
5、的重要工具 向量,具有代数和几何的双重特征,是沟通几何和代数的桥梁.学生通过方向的描述方式的不同,发现向量在体现方向上的作用,通过引导学生在具体的情境中用数学的眼光思考,发现问题,感受向量的几何代数特征在处理直线问题中的作用.同时“向量方法在直线中的应132023 年第 11 期中学教研(数学)收文日期:2023-06-10;修订日期:2023-07-14作者简介:钱 健(1985),男,江苏南京人,中学一级教师.研究方向:数学教育.用”是课堂教学内容的自然延伸,是完善知识体系、丰富知识内涵而提出的.环节 2 用数学的语言提出问题.预备知识 1 直线的方向向量的概念.预备知识 2 直线的法向量
6、的概念.(内容略,详见教材第 41 页.)师:基于例 1 的问题解决,你能提出哪些问题?学生提出的问题有:1)在定义的基础上,从形式(x2-x1,y2-y1)出发想办法,直线与方向向量存在什么关系?2)l1是否可以用某个向量表示?3)l1用向量表示是否唯一?4)l1可以用哪些向量来表示?设计意图 爱因斯坦认为,提出一个问题比解决一个问题更重要.在情境中思考,数学的发现、提出问题是一个伟大发现必须经历的过程,学生经历这个过程是有价值的.师生活动 学生先独立思考,3 分钟后分组讨论,交流;教师巡视,指导,参与学生探究;6 分钟后小组代表发言,其他学生提问质疑,小组成员补充.对于问题 1),直线的方
7、向向量可以表示一条直线的方向.对于问题 2),根据定义可以在直线 l1上任取不同的两个点 M,N 构成向量来表示直线的一个方向向量.对于问题 3),由任意性知直线的方向向量有无数个.问题 3)的补充:还可以跳出直线取与 MN 平行的非零向量作为直线的方向向量.对于问题 4),设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN=(x2-x1,y2-y1)为 l1的一个方向向量.对问题 4)的补充回答:由 M(x1,y1),N(x2,y2)是 l1上的任意两点,代入直线方程,联立得A(x2-x1)+B(y2-y1)=0,联想到平行向量的运算知(-B,A)与 MN平行,即(-B,A)为直线的一个方向向量.
8、师:这个方向向量直观简洁,这就是数学美的体现.设计意图 在认识定义后,很自然地需要分析解决:解决什么?如何解决?为什么这样解决?从而引导学生“知其然,知其所以然,何由以知其所以然”,并探索发现数学的本质、规律和知识之间的联系.环节 3 用数学的思维分析问题.探究 1 从任意取点找方向向量到 l1的一个方向向量(-B,A),这个方向向量与 c 无关,与 A,B有关,能否进一步一般化?师生活动 把问题抛给学生,直线的方向向量表示直线的方向,而斜率、倾斜角也表示直线的方向,它们到底有什么关系?引导学生从斜率和倾斜角的角度去思考.生6:当 B0 时,斜率 k=-AB,方向向量(-B,A)也可以表示为
9、1,-AB(),即(1,k)为一个简洁漂亮的方向向量.当 B=0 时,可选(0,1)为直线的方向向量.生 7:从倾斜角的角度,方向向量可以用倾斜角 表示,v=(cos,sin)为 l1的一个方向向量.师:真棒!这样就把直线的方向向量、斜率、倾斜角联系起来了.设计意图 通过直线方向向量与斜率、倾斜角关系的探究,让学生体会直线无数个方向向量中具有代表性的方向向量,感受数学的简洁美.生 8:既然平行直线 l1的向量能表示直线的方向,那么我认为垂直直线 l1的向量也能体现直线的方向.探究 2法向量能否体现直线的方向?法向量是否唯一?直线的法向量如何表示?探究结果 1)由 M(x1,y1),N(x2,y
10、2)是 l1上的任意两点,代入直线方程,联立得A(x2-x1)+B(y2-y1)=0,联想到向量垂直的运算知(A,B)与 MN 垂直,即(A,B)为直线的一个法向量.2)与直线的方向向量垂直的向量均是直线的法向量,因此直线的法向量不唯一.3)直线 ll1,l 的方向向量即为 l1的法向量,反之亦然.4)当直线斜率存在时,(k,-1)为其一个法向23中学教研(数学)2023 年第 11 期量,当斜率不存在时,(1,0)为直线的一个法向量;若直线倾斜角为,则=(sin,-cos)为直线的一个法向量.设计意图 通过直线法向量的探究,类比方向向量与斜率、倾斜角关系的探究.学习直线的法向量,让学生体会数
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