换元法助力提升初中数学解题效率.pdf
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1、换元法助力提升初中数学解题效率陈刚(江苏省苏州市吴中区木渎实验中学 2 1 5 1 0 1)【摘要】新课标强调,初中数学教学的主要目标是让学生通过数学学习,获得良好的数学基础知识与基本数学技能,同时理解数学基本概念与数学结论本质,以有效体会数学方法与数学思维.【关键词】换元法;数学解题;应用策略换元法一般借助辅助元素,对数学题目中部分元素进行替换,也就是让学生引进新变量对分散条件进行替换,以形成整体变量,同时对隐形条件进行挖掘,进而让复杂题目更加简单,让学生产生清晰的解题思路1.1 因式分解中换元法应用分析例1 因式分解:(x2+4x+6)(x2+6x+6)+x2.该题目中,多项式属于相同部分
2、,对此可以对2个多项式进行还原处理,设x2+6=t那么x2+4x+6=4x+t,x2+6x+6=6x+t.解题过程如下:设x2+6=t,原式=(4x+t)(6x+t)+x2=2 5x2+1 0t x+t2=(5x+t)2=(x+2)(x+3)2=(x+2)2(x+3)2.该题目解法较为丰富,也可以选择均值换元法和整体换元法进行解题,比如,选择整体换元法解题,设x2+4x+6=t,那么x2+6x+6=2x+t把原式转换成x2+t(2x+t),上述例题主要是对因式分解题目中换元法的应用方式进行简单介绍,教师在实际教学过程中,还应该指导学生根据题目结构情况,对换元法进行灵活应用.例2 因式分解:(x
3、+y)(x+2x y+y)+(x y+1)(x y-1).解题过程如下:设x y=n,x+y=m,则(x+y)(x+2x y+y)+(x y+1)(x y-1)=m(m+2n)+(n+1)(n-1)=m2+2m n+n2-1=(m+n)2-1=(m+n+1)(m+n-1).代入x y=n,x+y=m,即可得(x+y)(x+2x y+y)+(x y+1)(x y-1)=(x+y+x y+1)(x+y+x y-1)=(x+1)(y+1)(x+y+x y-1).2 分式方程中换元法应用分析例3 解方程:2x2+2x2-7x+7x+2=0.原方程可转化为:2x2+1x2 -7x-1x +2=0 ,设x
4、-1x=y,那么由方程可得,2y2-7y+6=0,对方程进行求解,可得y1=2,y2=32,当y1=2时,x-1x=2,则x=1+2或x=1-2;当y2=32时,x-1x=32,则x=2或x=-12.经检验,x1=1+2,x2=1-2,x3=-12,x4=4,均为原方程的解.在分式方程中运用换元法,主要涵盖以下情况,首先,原方程能够进行一个分式二次方程转换,此时将该分式设置成辅助元.其次,原方程中存在几个未知分式,除了字母系数不同,彼此之间呈现倒数关系,例如,x2-4x-3xx2-4=2,此时,对一个分式进行辅助元设置.再次,含有未知数的分式中,分母均为未知数的二次三项式,同时一次项系数与二次
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