自动控制原理第3章-时域分析.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,第,3,章 控制系统的时域分析,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,3,章 控制系统的时域分析,一、时域法的特点,(1),直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确；,(2),可以提供系统时间响应的全部信息；,(3),求解系统输出的解析解，比较烦琐。,3.1,线性定常系统的时域响应,第,3,章 控制系统的时域分析,第,3,章 控制系统的时域分析,二、时域法常用的典型输入信号,第,3,章 控制系统的时域分析,对于一单输入单输出,n,阶线性定常系统,三、线性定常系统的微分方程,系统在输入,r,(,t,),作用下，输出,c,(,t,),随时间变化的规律，即式,(3-1),微分方程的解，就是系统的时域响应。,第,3,章 控制系统的时域分析,四、线性微分方程的解,微分方程的解为,c(t)=c,1,(t)+c,2,(t),1,、齐次微分方程的通解,（,3-1,）式经拉氏变换后的特征根方程为,设,P,1,、,P,2,、,P,n,为特征方程的,n,个不等的特征根，则,若,P,i,为重根，则,若,P,i,为共轭复根，则,2,、非齐次微分方程的特解,第,3,章 控制系统的时域分析,3.2,控制系统时域响应的性能指标,一、控制系统的时间响应,1,、动态过程（响应）,指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态达到稳态前的响应过程，又称暂态,(,过渡）过程。,2,、稳态过程（响应）,指系统在典型输入信号作用下，当,t,时，系统输出量的表现形式。,稳态过程表征系统输出量最终复现输入量的程度。,稳：,(,基本要求,),系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置,准,:(,稳态要求）,稳态输出与理想输出间的误差,(,稳态误差,),要小,快,:(,动态要求,),过渡过程要平稳，迅速,第,3,章 控制系统的时域分析,二、控制系统的时域指标,1,、稳态性能指标,系统在典型输入信号作用下，当,t,时，系统输出响应的期望值与实际值之差，即,2,、动态性能指标,设,第,3,章 控制系统的时域分析,2,上升时间,t,r,：,单位阶跃响应曲线从,t=0,开始,第一次,上升到稳态值所需要的时间。,1,延迟时间,t,d,：,单位阶跃响应曲线从,t=0,开始上升到稳态值的,50%,所需的时间。,3.,峰值时间,t,p,单位阶跃响应曲线从,t=0,开始上升到,第一个,峰值所需要的时间。,第,3,章 控制系统的时域分析,4.,调整时间,t,s,：,单位阶跃响应曲线进入,允许的误差带,（一般取稳态值附近,5%,或,2%,）,并不再超出,该误差带的最小时间。,5.,最大超调量,M,p,：,单位阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比，即,6.,振荡次数：,在调整时间,t,s,内响应曲线振荡的次数。,返回,第,3,章 控制系统的时域分析,一、稳定性的概念,定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。,3.3,线性定常系统的稳定性,第,3,章 控制系统的时域分析,说明,（,1,）稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构、参数，与输入信号无关。,（,2,）对纯线性系统，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动消除后，系统都能,以足够的准确度恢复到原始平衡状态,，这种系统称为,大范围稳定,的系统。,如果系统受到外界扰动作用后，只有当初始偏差小于某一范围时，系统才能在消除扰动后，恢复到原始平衡状态，这种系统称为,小范围稳定,的系统,（,3,）控制理论中的稳定性均为,自由振荡下,的稳定性。,第,3,章 控制系统的时域分析,二、线性定常系统稳定的充分必要条件,系统的初始偏差（初始状态）：,若系统稳定，则必有,若系统不稳定，则必有,n,阶线性定常系统的微分方程,第,3,章 控制系统的时域分析,第,3,章 控制系统的时域分析,显然，只有当系统,所有特征根,P,i,的实部均为负值,，即系统的特征根,均在,s,复平面的左半平面,时，才有 ，系统才是稳定的。,否则，若特征根,P,i,中有,一个或多个根具有正实部,，则必有 ，系统是不稳定的。,第,3,章 控制系统的时域分析,对于线性定常系统，下列命题等价,:,（,1,）系统稳定；,（,2,）系统的脉冲响应最终收敛到零；,（,3,）系统的所有特征根都具有负实部（即位于,s,平面虚轴左边）。,系统稳定的充分必要条件,系统所有特征根,P,i,的实部均为负值，或系统的特征根均在,s,复平面的左半平面内。,第,3,章 控制系统的时域分析,第,3,章 控制系统的时域分析,三、劳斯判据,设,n,阶系统的特征方程为,D(s)=a,0,s,n,+a,1,s,n-1,+a,n-1,s+a,n,=0,将上式的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列,(,劳斯表,),：,s,n,a,0,a,2,a,4,a,6,s,n-1,a,1,a,3,a,5,a,7,s,n-2,b,1,b,2,b,3,b,4,s,n-3,c,1,c,2,c,3,c,4,s,2,f,1,f,2,s,1,g,1,s,0,h,1,不求特征值，就能判别系统稳定性,第,3,章 控制系统的时域分析,1,、劳斯判据：线性定常系统稳定的充要条件是：（,1,）特征方程的各项系数都存在，且均为正；（全为负可化为全为正）（,2,）劳斯表中第一列所有元素均大于零。,s,n,a,0,a,2,a,4,a,6,s,n-1,a,1,a,3,a,5,a,7,s,n-2,b,1,b,2,b,3,b,4,s,n-3,c,1,c,2,c,3,c,4,s,2,f,1,f,2,s,1,g,1,s,0,h,1,第,3,章 控制系统的时域分析,例,3-1,已知三阶系统特征方程为,故得出三阶系统稳定的充要条件为：,a,0,0,a,1,0,a,2,0,a,3,0,a,1,a,2,a,0,a,3,试写出系统稳定的充要条件,解：列写劳斯表,第,3,章 控制系统的时域分析,例,3-2,已知系统特征方程,劳斯表中第一列元素大于零，所以该系统是稳定的。这时，,系统所有的特征根均处于,s,平面的左半平面,。,（,2,）,列劳斯表：,解：（,1,）,特征方程中的系数全为正。,试判别该系统的稳定性。,第,3,章 控制系统的时域分析,课程回顾,(1),1,、稳态性能指标,2,、动态性能指标,(1),延迟时间,t,d,(2),上升时间,t,r,(3),峰值时间,t,p,(4),调整时间,t,s,(5),最大超调量,M,p,(6),振荡次数,N,第,3,章 控制系统的时域分析,课程回顾,(2),3,、系统稳定的充分必要条件,系统所有特征根,P,i,的实部均为负值，或系统的特征根均在,s,复平面的左半平面内。,4,、劳斯判据：线性定常系统稳定的充要条件是：（,1,）特征方程的各项系数都存在，且均为正；（全为负可化为全为正）（,2,）劳斯表中第一列所有元素均大于零。,第,3,章 控制系统的时域分析,说明,（,1,）若劳斯表中第一列各元素（系数）的符号有改变，则劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于该系统闭环极点（特征根）在,s,平面的右半平面上的数目，,相应的系统是不稳定的。,例题,1,已知系统特征方程,试判别该系统的稳定性。,解：（,1,）,特征方程中的系数全为正。,（,2,）,列劳斯表：,劳斯表中第一列的元素符号改变了两次，因此该系统有两个具有正实部的特征根在,s,平面的右半平面上，,系统是不稳定的。,第,3,章 控制系统的时域分析,例,3-3,已知系统特征方程,试判别该系统的稳定性。,解：（,1,）,特征方程中的系数全为正。,（,2,）,列劳斯表：,劳斯表中第一列各元素符号不全为正，系统不稳定。由于符号改变了两次，所以该系统有,2,个处于,s,右半平面的根。,第,3,章 控制系统的时域分析,(2),为了简化计算，可用一个正数去除或乘某一整行，不会改变稳定性结论。,例如，在例,1,中，,为了简化后面的计算劳斯表的第三行乘以,2,，第五行乘以,9,，劳斯表变为,所得结论不变,第,3,章 控制系统的时域分析,2,、劳斯稳定判据的特殊情况,(1),劳斯表中某一行的第一个元素（系数）为零，而该行其它元不为零。,计算下一行第一个元素时将出现无穷大，以至劳斯表的计算无法进行。,解决办法：将,0,换成无穷小正数,，继续计算,试判别该系统的稳定性。,例,3-5,已知系统特征方程,系统是不稳定的,第,3,章 控制系统的时域分析,(2),劳斯表中某一行的元素全为零。,这时系统在,s,平面上存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。,解决办法：,利用全零行的,上一行中的各元素构造一个辅助方程，式中,S,均为偶数,。将该辅助方程,对,S,求导,，用求导得到的方程中的各系数替代全零行中的各元素，然后继续列写劳斯表中其余各行。,大小相等符号相反的实根或共轭虚根，可以由辅助方程求得。当某一行的第一个元素（系数）为零时，可采用（,1,）的方法列写其余各行。,第,3,章 控制系统的时域分析,例,2,已知,试判别该系统的稳定性。,解：（,1,）,特征方程中的系数全为正。,（,2,）,列劳斯表：,S,3,行的各个元素都为零，为求出以后各行，可用,s,4,行的各元素构造辅助方程,（整行除,2,）,用,4,和,12,替代,s,3,行的各元素,第,3,章 控制系统的时域分析,劳斯表中第一列的各元素（系数）符号没有改变，故可以确定该系统在,S,右半平面没有根。但由于,s3,行全为零，系统有共轭虚根，系统处于,临界状态,属于不稳定状态,由辅助方程可求得共轭虚根：,第,3,章 控制系统的时域分析,例,3-7,系统的特征方程为,列劳斯表：,劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定，且有一个,S,右半平面的根，由,P(s)=0,得,第,3,章 控制系统的时域分析,四、赫尔维茨判据,设系统的特征方程式为,以特征方程式的各项系数组成如下行列式,第,3,章 控制系统的时域分析,赫尔维茨判据,:,系统稳定的充分必要条件是在,a,0,0,的情况下，上述行列式的各阶主子式,i,均大于零，即,第,3,章 控制系统的时域分析,当系统特征方程的次数较高时，应用赫氏判据的计算工作量较大。对于,n4,的线性系统，其稳定的充分必要条件可简述为：,n=2:,特征方程的各项系数为正；,n=3:,特征方程的各项系数为正，,2,=a,1,a,2,-a,0,a,3,0,。,n=4:,特征方程的各项系数为正，,2,0,，以及,2,a,1,2,a,4,/a,3,第,3,章 控制系统的时域分析,例,3-8,系统的特征方程为,列出行列式,由赫尔维茨判据，该系统稳定的充分必要条件是：,a,0,0 a,1,0 a,2,0 a,3,0,a,1,a,2,-a,0,a,3,0,或写成：,第,3,章 控制系统的时域分析,例,3-9,二阶系统的特征方程为,列出行列式,由,Hurwitz,判据，系统稳定的充分必要条件为,a,0,0,a,1,0,a,1,a,2,0,即二阶系统稳定的充分必要条件是特征方程式的所有系数均大于零。,第,3,章 控制系统的时域分析,五、系统参数对稳定性的影响,按劳斯判据，要使系统稳定应有,K,0,，,且,30,-K,0,故,其,取值范围为,0K0,的情况下，上述行列式的各阶主子式,i,均大于零，即,第,3,章 控制系统的时域分析,课程回顾,(4),对于,n4,的线性系统，,赫尔维茨判据,可简述为：,n=2:,特征方程的各项系数为正；,n=3:,特征方程的各项系数为正，,2,=a,1,a,2,-a,0,a,3,0,。,n=4:,特征方程的各项系数为正，,2,0,，以及,2,a,1,2,a,4,/a,3,第,3,章 控制系统的时域分析,3.4,系统的稳态误差,一、误差及稳态误差的定义,系统的误差,e,(,t,),：被控量的希望值与实际值之差。即,e,(,t,)=,被控量的希望值,被控量的实际值,采用输入端定义法,1,、误差的定义,第,3,章 控制系统的时域分析,2,、稳态误差的定义,定义稳态误差为：稳定系统误差响应,e,(,t,),的终值。当时间,t,趋于无穷时，,e,(,t,),的极限存在，则稳态误差为,暂态分量,稳态分量,第,3,章 控制系统的时域分析,二、稳态误差分析,根据误差定义，有：,定义误差传递函数：,由拉普拉斯变换的终值定理，有：,可见，稳态误差与系统输入信号,r,(,t,),的形式有关；稳态误差与系统的结构、参数有关。,第,3,章 控制系统的时域分析,三、稳态误差的计算,1,、控制信号,r,(,t,),单独作用下的误差（,n(t),=0,）：,第,3,章 控制系统的时域分析,2,、扰动信号,n(t),单独作用下的误差（,r(t)=0,）：,第,3,章 控制系统的时域分析,为系统对扰动的误差传递函数,3,、在,控制信号,r,(,t,),和,扰动信号,n(t),共同作用下的误差：,第,3,章 控制系统的时域分析,例 系统结构图如图所示，已知,r(t)=n(t)=t,，求系统的稳态误差。,解,可以判定，当,T,0,，,K0,时系统稳定,第,3,章 控制系统的时域分析,例,2,系统结构图如图所示，求,r(t),分别为,A,1(t),At,At,2,/2,时系统的稳态误差。,解,系统自身的结构参数,影响,e,ss,的因素,外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）,外作用的类型（控制量，扰动量及作用点）,第,3,章 控制系统的时域分析,例,3-13,系统如图，当输入,r,(,t,),=,4,t,时，求系统的稳态误差,e,ss,系统的特征方程为,解：先判别其稳定性,劳斯表,第,3,章 控制系统的时域分析,系统的误差传递函数为,第,3,章 控制系统的时域分析,四、计算给定信号作用下的稳态误差,1,、系统的类型,系统的开环传递函数,G,(,s,),H,(,s,),可表示为,系统常按开环传递函数中所含有的积分环节个数,v,来分类。,说明：,（,1,）随着,v,的增加，控制系统的稳态精度将会提高，但系统的稳定性将会变坏。,（,2,）以,s,平面坐标原点上的极点的重数,v,来分类的优点是：,可以根据已知的输入信号形式，迅速判断系统是否存在稳态误差及其大小。,阶次,m,和,n,的大小与系统的类型无关，且不影响,e,ss,的数值。,v,=0,，,1,，,2,，,的系统，称为,0,型，,型，,型，,第,3,章 控制系统的时域分析,2,、静态位置误差系数,K,p,r,(,t,),=1,(,t,),时，有,其中 定义为静态位置误差系数,。,（,1,）对于,0,型系统,第,3,章 控制系统的时域分析,（,2,）对于,型或,型以上系统,结论：,（,1,）,K,p,的大小反映了系统在阶跃输入下消除误差的能力，,K,p,越大，,e,ss,越小。,（,2,）,0,型,系统对阶跃输入引起的,e,ss,为一常值，大小与,K,有关，,K,越大，,e,ss,越小。,0,型,系统称为有差系统。,（,3,）在阶跃输入时，若要求系统不存在,e,ss,，则必须选用,型或,型以上系统。,第,3,章 控制系统的时域分析,（,2,）对于,型系统,其中 定义为静态速度误差系数。,3,、静态速度误差系数,K,v,r,(,t,),=t,1(,t,),，则有：,（,1,）对,0,型系统,第,3,章 控制系统的时域分析,（,3,）对于,型或,型以上系统：,结论：,（,1,）,K,v,的大小反映了系统跟踪斜坡输入信号的能力，,K,v,越大，,e,ss,越小。,（,2,）,0,型,系统在稳态时，不能跟踪斜坡输入信号。,（,3,）具有单位反馈的,型,系统能够跟踪斜坡输入信号，但具有一定的稳态误差。在稳态工作时，输出速度与输入速度恰好相同，但存在一个位置误差。,（,4,）,型或,型以上,系统在稳态时可以完全跟踪斜坡输入信号。,第,3,章 控制系统的时域分析,4,、静态加速度误差系数,K,a,（,1,）对于,0,型系统,则系统稳态误差为：,其中,定义为系统静态加速度误差系数。,第,3,章 控制系统的时域分析,（,2,）对于,型系统,（,4,）对于,型或,型以上系统,（,3,）对于,型系统,第,3,章 控制系统的时域分析,结论：,（,1,）,K,a,的大小反映了系统跟踪加速度输入信号的能力，,K,a,越大，,e,ss,越小。,（,2,）,0,型,系统和,型,系统不能跟踪加速度输入信号。,（,3,）具有单位反馈的,型,系统，能够跟踪加速度输入信号，但具有一定的位置误差，其大小与,K,成反比。,（,4,）,型或,型以上,系统在稳态时可以完全跟踪加速度输入信号。,第,3,章 控制系统的时域分析,表,3-1,各种输入下系统的稳态误差,输 入 形 式,稳态误差,0,型系统,型系统,型系统,单位阶跃,0,0,单位斜坡,0,单位加速度,第,3,章 控制系统的时域分析,例,3,，已知 求系统的稳态误差,e,ss,。,解,：,系统的闭环传递函数为,闭环特征方程为,由劳斯稳定判据，系统稳定的条件：,第,3,章 控制系统的时域分析,第,3,章 控制系统的时域分析,第二步，求稳态误差,e,ss,，因为系统为,2,型系统，根据线性系统的叠加性，有：,故系统的稳态误差列,e,s,s,=,e,ss1,+,e,ss2,=0.1,例,3-14,系统结构如图所示，当输入信号,r,(,t,),=,2,t+t,2,时，求系统的稳态误差,e,ss,。,首先判断系统是否稳定。,根据劳斯判据知闭环系统稳定。,第,3,章 控制系统的时域分析,例,4,系统结构图如图所示，已知输入,求,使稳态误差为零。,解：,第,3,章 控制系统的时域分析,课程回顾,(1),一、稳态误差的定义,二、稳态误差的计算,1,、控制信号,r,(,t,),单独作用下的误差（,n(t),=0,）：,第,3,章 控制系统的时域分析,课程回顾,(2),2,、扰动信号,n(t),单独作用下的误差（,r(t)=0,）,三、计算给定信号作用下的稳态误差,1,、系统的类型,v,=0,，,1,，,2,，,的系统，称为,0,型，,型，,型，,2,、静态位置误差系数,K,p,第,3,章 控制系统的时域分析,课程回顾,(3),3,、静态速度误差系数,K,v,4,、静态加速度误差系数,K,a,输 入 形 式,稳态误差,0,型系统,型系统,型系统,单位阶跃,0,0,单位斜坡,0,单位加速度,第,3,章 控制系统的时域分析,可见，干扰信号产生的稳态误差主要取决于：,干扰信号,n(t);,系统前向通道中干扰作用点之前的传递函数,五、干扰信号作用下的稳态误差与系统结构的关系,第,3,章 控制系统的时域分析,例如：,再如：,表明，扰动作用点之前的增益,K,1,越大，,e,ssn,越小，而与扰动作用点之后的增益,K,2,无关。,表明，,e,ssn,与扰动作用点之后的积分环节无关，而与信号到扰动作用点之间的积分环节有关。,第,3,章 控制系统的时域分析,六、改善系统稳态精度的途径,1,、增大系统的开环增益或提高系统的型号。,输 入,形 式,稳态误差,0,型系统,型系统,型系统,单位阶跃,0,0,单位斜坡,0,单位加速度,第,3,章 控制系统的时域分析,2,、增大误差信号与扰动作用点之间前向通道的开环增益或积分环节的个数。,例如：,再如：,第,3,章 控制系统的时域分析,3,、采用复合控制，即将反馈控制与扰动信号的前馈或与给定信号的顺馈相结合。,返回,第,3,章 控制系统的时域分析,第,3,章 控制系统的时域分析,3-5,