《高等数学》(同济六版)教学课件★第6章.定积分的应用.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第六章,利用元素法解决,:,定积分在几何上的应用,定积分在物理上的应用,定积分的应用,第一节,定积分的,元素法,一、什么问题可以用定积分解决,?,二、如何应用定积分解决问题,?,第,六,章,表示为,一、什么问题可以用定积分解决,?,1),所求量,U,是与区间,a,b,上的某分布,f,(,x,),有关的,2),U,对区间,a,b,具有,可加性,即可通过,“,大化小,常代变,近似和,取极限”,定积分定义,一个整体量,;,二、如何应用定积分解决问题,?,第一步,利用“化整为零,以常代变”求出局部量,微分表达式,第二步,利用“积零为整,无限累加”求出整体量的,积分表达式,这种分析方法称为,元素法,(,或,微元分析法,),元素,的几何形状常取为,:,条,带,段,环,扇,片,壳,等,的近似值,精确值,第二节,四、旋转体的侧面积,(,补充,),三、已知平行截面面积函数的,立体体积,第二节,一、平面图形的面积,二、平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,第,六,章,一、平面图形的面积,1.,直角坐标情形,设曲线,与直线,及,x,轴所围曲,则,边梯形面积为,A,右下图所示图形面积为,例,1.,计算两条抛物线,在第一象限所围,图形的面积,.,解,:,由,得交点,例,2.,计算抛物线,与直线,的面积,.,解,:,由,得交点,所围图形,为简便计算,选取,y,作积分变量,则有,例,3.,求椭圆,解,:,利用对称性,所围图形的面积,.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当,a,=,b,时得圆面积公式,一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按,顺时针方向,规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,例,4.,求由摆线,的一拱与,x,轴所围平面图形的面积,.,解,:,2.,极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积,.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,对应,从,0,变,例,5.,计算阿基米德螺线,解,:,到,2,所围图形面积,.,心形线,例,6.,计算心形线,所围图形的,面积,.,解,:,(,利用对称性,),心形线,心形线,(,外摆线的一种,),即,点击图中任意点,动画开始或暂停,尖点,:,面积,:,弧长,:,参数的几何意义,例,7.,计算心形线,与圆,所围图形的面积,.,解,:,利用对称性,所求面积,例,8.,求双纽线,所围图形面积,.,解,:,利用对称性,则所求面积为,思考,:,用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积,.,答案,:,二、平面曲线的弧长,定义,:,若在弧,AB,上任意作内接折线,当折线段的最大,边长,0,时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧,AB,的弧长,即,并称此曲线弧为可求长的,.,定理,:,任意光滑曲线弧都是可求长的,.,(,证明略,),则称,(1),曲线弧由直角坐标方程给出,:,弧长元素,(,弧微分,):,因此所求弧长,(2),曲线弧由参数方程给出,:,弧长元素,(,弧微分,):,因此所求弧长,(3),曲线弧由极坐标方程给出,:,因此所求弧长,则得,弧长元素,(,弧微分,):,(,自己验证,),例,9.,两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线,.,求这一段弧长,.,解,:,下垂,悬链线方程为,例,10.,求连续曲线段,解,:,的弧长,.,例,11.,计算摆线,一拱,的弧长,.,解,:,例,12.,求阿基米德螺线,相应于,0,2,一段的弧长,.,解,:,三,、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于,x,轴的截面面积为,A,(,x,),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,特别,当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕,y,轴旋转一周围成的立体体积时,有,例,13.,计算由椭圆,所围图形绕,x,轴旋转而,转而成的椭球体的体积,.,解,:,方法,1,利用直角坐标方程,则,(,利用对称性,),方法,2,利用椭圆参数方程,则,特别当,b,=,a,时,就得半径为,a,的球体的体积,例,14.,计算摆线,的一拱与,y,0,所围成的图形分别绕,x,轴,y,轴旋转而成的立体体积,.,解,:,绕,x,轴旋转而成的体积为,利用对称性,绕,y,轴旋转而成的体积为,注意上下限,!,注,注,注,分部积分,(,利用“偶倍奇零”,),柱壳体积,说明,:,柱面面积,偶函数,奇,函数,例,15.,设,在,x,0,时为连续的非负函数,且,形绕直线,x,t,旋转一周所成旋转体体积,证明,:,证,:,利用柱壳法,则,故,例,16.,一平面经过半径为,R,的圆柱体的底圆中心,并,与底面交成,角,解,:,如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于,x,轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积,.,思考,:,可否选择,y,作积分变量,?,此时截面面积函数是什么,?,如何用定积分表示体积,?,提示,:,解,:,垂直,x,轴的截面是椭圆,例,17.,计算由曲面,所围立体,(,椭球体,),它的面积为,因此椭球体体积为,特别当,a,=,b,=,c,时就是球体体积,.,的体积,.,例,18.,求曲线,与,x,轴围成的封闭图形,绕直线,y,3,旋转得的旋转体体积,.,(1994,考研,),解,:,利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,四、旋转体的侧面积,(,补充,),设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕,x,轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积,.,取侧面积元素,:,侧面积元素,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕,x,轴旋转一周所得旋转体的,注意,:,侧面积为,的线性主部,.,不是薄片侧面积,S,例,19.,计算圆,x,轴旋转一周所得的球台的侧面积,S,.,解,:,对曲线弧,应用公式得,当球台高,h,2,R,时,得球的表面积公式,例,20.,求由星形线,一周所得的旋转体的表面积,S,.,解,:,利用对称性,绕,x,轴旋转,星形线,星形线,星形线,星形线是内摆线的一种,.,点击图片任意处,播放开始或暂停,大圆半径,R,a,小圆半径,参数的几何意义,(,当小圆在圆内沿圆周滚动,时,小圆上的定点的轨迹为内摆线,),内容小结,1.,平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2.,平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分,:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意,:,求弧长时积分上下限必须,上大下小,3.,已知平行截面面积函数,A,(,x,),的立体体积,旋转体的体积,绕,x,轴,:,4.,旋转体的侧面积,侧面积元素为,(,注意在不同坐标系下,d,s,的表达式,),绕,y,轴,:,(,柱壳法,),思考与练习,1.,用定积分表示图中阴影部分的面积,A,及边界长,s,.,提示,:,交点为,弧线段部分,直线段部分,以,x,为积分变量,则要分,两段积分,故以,y,为积分变量,.,2.,试用定积分求圆,绕,x,轴,上,半圆为,下,求体积,:,提示,:,方法,1,利用对称性,旋转而成的环体体积,V,及表面积,S,.,方法,2,用柱壳法,说明,:,上式可变形为,上,半圆为,下,此式反映了环体元素的另一种取法,(,如图所示,).,求侧面积,:,利用对称性,上式也可写成,上,半圆为,下,它也反映了环面元素的另一种取法,:,作业,P284 2,(1),(3),;3;4;5,(2),(3),;8,(2),;,9;10;,22;,25;27;30,面积及弧长部分,：,体积及表面积部分：,P286 13;14;15,(1),(4),;17;18,补充题,:,设有曲线,过原点作其切线,求,由此曲线、切线及,x,轴围成的平面图形绕,x,轴旋转一,周所得到的旋转体的表面积,.,第三节,备用题,解：,1.,求曲线,所围图形的面积,.,显然,面积为,同理其他,.,又,故在区域,分析曲线特点,2.,解,:,与,x,轴所围面积,由图形的对称性,也合于所求,.,为何值才能使,与,x,轴围成的面积等,故,3.,求曲线,图形的公共部分的面积,.,解,：,与,所围成,得,所围区域的面积为,设平面图形,A,由,与,所确定,求,图形,A,绕直线,x,2,旋转一周所得旋转体的体积,.,提示：,选,x,为积分变量,.,旋转体的体积为,4.,若选,y,为积分变量,则,第三节,一、变力沿直线所作的功,二、液体的侧压力,三、引力问题,四、转动惯量,(,补充,),定积分在物理学上的应用,第,六,章,一、变力沿直线所作的功,设物体在连续变力,F,(,x,),作用下沿,x,轴从,x,a,移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功,.,在其上所作的功元,素为,因此变力,F,(,x,),在区间,上所作的功为,例,1.,一个单,求电场力所作的功,.,解,:,当单位正电荷距离原点,r,时,由,库仑定律,电场力为,则功的元素为,所求功为,说明,:,位正电荷沿直线从距离点电荷,a,处移动到,b,处,(,a,b,),在一个带,+,q,电荷所产生的电场作用下,例,2.,体,求移动过程中气体压力所,解,:,由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为,S,的活塞从,点,a,处移动到点,b,处,(,如图,),作的功,.,建立坐标系如图,.,由波义耳,马略特定律知压强,p,与体积,V,成反比,即,功元素为,故作用在活塞上的,所求功为,力为,在底面积为,S,的圆柱形容器中盛有一定量的气,例,3.,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功,?,解,:,建立坐标系如图,.,在任一小区间,上的一薄层水的重力为,这薄层水吸出桶外所作的功,(,功元素,),为,故所求功为,(KJ,),设水的密度为,(KN),一蓄满水的圆柱形水桶高为,5 m,底圆半径为,3m,面积为,A,的平板,二、液体的侧压力,设液体密度为,深为,h,处的压强,:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决,.,平板一侧所受的压力为,小窄条上各点的压强,例,4.,的,液体,求桶的一个端面所受的侧压力,.,解,:,建立坐标系如图,.,所论半圆的,利用对称性,侧压力元素,端面所受侧压力为,方程为,一水平横放的半径为,R,的圆桶,内盛半桶密度为,说明,:,当桶内充满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,三、引力问题,质量分别为,的质点,相距,r,二者间的引力,:,大小,:,方向,:,沿两质点的连线,若考虑,物体,对质点的引力,则需用积分解决,.,例,5.,设有一长度为,l,线密度为,的均匀细直棒,其中垂线上距,a,单位处有一质量为,m,的质点,M,该棒对质点的引力,.,解,:,建立坐标系如图,.,细棒上小段,对质点的引力大小为,故铅直分力元素为,在,试计算,利用对称性,棒对质点引力的水平分力,故棒对质点的引力大小为,棒对质点的引力的铅直分力为,说明,:,2),若考虑质点克服引力沿,y,轴从,a,处,1),当细棒很长时,可视,l,为无穷大,此时引力大小为,方向与细棒垂直且指向细棒,.,移到,b,(,a,2,R,),的水池底,水的密度,多少功,?,解,:,建立坐标系如图,.,则对应,上球的薄片提到水面上的功元素为,提出水面后的功元素为,现将其从水池中取出,需做,体积元素,所受重力,上升高度,因此功元素为,球从水中提出所做的功为,“,偶倍奇零”,例,7.,设有半径为,R,的半球形容器如图,.,(1),以每秒为,a,的速度向空容器中注水,(0,h,R,),时水面上升的速度,.,(2),设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最,少应为多少,?,解,:,过球心的纵截面建立坐标系如图,.,则半圆方程为,设经过,t,秒容器内水深为,h,求水深为,h,(1),求,由题设,经过,t,秒后容器内的水量为,而高为,h,的球缺的体积为,半球可看作半圆,绕,y,轴旋转而成,体积元素,:,故有,两边对,t,求导,得,a t,(2),将满池水全部抽出所做的最少功,为将全部水提,对应于,体积元素,:,元素的重力,:,薄层所需的功元素,故所求功为,到池沿高度所需的功,.,作业,P293 2;3;6;7;9,