2025年上海中学高一数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025年上海中学高一数学第一学期期末监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若向量满足：则
A.2 B.
C.1 D.
2．已知是奇函数，且满足，当时，，则在内是
A.单调增函数，且 B.单调减函数，且
C.单调增函数，且 D.单调减函数，且
3．若，，，则
A B.
C. D.
4．如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为，则其中A，，K的值分别为（）

A.6，，2.2 B.6，，2.2
C.3，，2.2 D.3，，2.2
5．已知a，b，，那么下列命题中正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，，则
6．函数的一条对称轴是（）
A. B.
C. D.
7．若集合，则集合的所有子集个数是
A.1 B.2
C.3 D.4
8．函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
9．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）．注：重心坐标公式为横坐标：； 纵坐标：
A. B.
C. D.
10．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是　　
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则________
12．函数的图象为，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）.
①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；
④函数在区间内是增函数.
13．化简求值
（1）化简
（2）已知：，求值
14．写出一个满足，且的函数的解析式__________
15．若函数的定义域为[－2，2]，则函数的定义域为 ______
16．已知非零向量、满足，若，则、夹角的余弦值为_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a的值；
（2）求不等式的解集.
18．已知函数常数
证明在上是减函数，在上是增函数；
当时，求的单调区间；
对于中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值
19．已知函数

（1）求，的值；
（2）作出函数的简图；
（3）由简图指出函数的值域；
（4）由简图得出函数的奇偶性，并证明.
20．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

1
2
3
4
5
6

（万个）

10

50

250

若该变异毒株的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择.
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.（参考数据：）
21．已知
（1）若函数和函数的图象关于原点对称，求函数的解析式
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由题意易知：即，，即.
故选B.
考点：向量的数量积的应用.
2、A
【解析】先根据f（x+1）=f（x﹣1）求出函数周期，然后根据函数在x∈（0，1）时上的单调性和函数值的符号推出在x∈（﹣1，0）时的单调性和函数值符号，最后根据周期性可求出所求
【详解】∵f（x+1）=f（x﹣1），
∴f（x+2）=f（x）即f（x）是周期为2的周期函数
∵当x∈（0，1）时，＞0，且函数在（0，1）上单调递增，y=f（x）是奇函数，
∴当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，且函数在（﹣1，0）上单调递增
根据函数的周期性可知y=f（x）在（1，2）内是单调增函数，且f（x）＜0
故选A
【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数的单调性，同时考查了分析问题，解决问题的能力，属于基础题
3、B
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性分别求出的范围，即可得结果.
【详解】根据指数函数的单调性可得，
根据对数函数的单调性可得
,
则，故选B.
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
4、D
【解析】根据实际含义分别求的值即可.
【详解】振幅即为半径，即；
因为逆时针方向每分转1.5圈，所以；
；
故选：D.
5、C
【解析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析
【详解】．若，当时，，所以不成立；
．若，当时，则，所以不成立；
．因为，将两边同除以，则，所以成立
．若且，当时，则，所以，则不成立
故选：
6、B
【解析】由余弦函数的对称轴为，应用整体代入法求得对称轴为，即可判断各项的对称轴方程是否正确.
【详解】由余弦函数性质，有，即，
∴当时，有.
故选：B
7、D
【解析】根据题意，集合的所有子集个数，选
8、C
【解析】由函数的部分图象得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，则函数的解析式可求，取可得的值.
【详解】由图象可得函数的最小正周期为，则.
又，则，
则，，则，，
，则，，则，
.
故选：C.
【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
9、D
【解析】由重心坐标公式得重心的坐标，根据垂直平分线的性质设出外心的坐标为，再由求出，然后求出欧拉线的斜率，点斜式就可求得其方程.
【详解】设的重点为，外心为，则由重心坐标公式得
，并设的坐标为，

解得，即

欧拉方程为：，即：
故选：D
【点睛】本题考查直线方程，两点之间的距离公式，三角形的重心、垂心、外心的性质，考查了理解辨析能力及运算能力.
10、D
【解析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围
【详解】解：函数，的图象如图：
关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，
方程化为：，，
，开口向下，对称轴为：，
可知：的最大值为：，
的最小值为：2

故选：

【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用和的齐次分式，表示为表示的式子，即可求解.
【详解】.
故答案为：
12、①②④
【解析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象.
【详解】由题意，，令，，
当时，即函数的一条对称轴，所以①正确；
令，，当时，，所以是函数的一个对称中心，所以②正确；
当，，在区间内是增函数，所以④正确；
的图象向右平移个单位长度得到，与函数不相等，所以③错误.
故答案为：①②④.
13、（1）
（2）
【解析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）先进行弦化切，把代入即可求解.
【小问1详解】

.
【小问2详解】
因为，所以.
所以.
又，所以.
14、（答案不唯一）
【解析】根据题意可知函数关于对称，写出一个关于对称函数，再检验满足即可.
【详解】由，可知函数关于对称，
所以，
又，满足.
所以函数的解析式为（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
15、
【解析】∵函数的定义域为[－2，2]
∴，∴
∴函数的定义域为
16、
【解析】本题首先可以根据得出，然后将其化简为，最后带入即可得出结果.
【详解】令向量与向量之间的夹角为，
因为，所以，
即，，，，
因为，所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查向量垂直的相关性质，若两个向量垂直，则这两个向量的数量积为，考查计算能力，考查化归与转化思想，是简单题。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）利用奇函数的必要条件，，求出，进而再验证此时为奇函数；
（2），要用函数的单调性，将复合不等式转化，所以考虑分离常数，化简为，判断在是增函数，可得不等式，转化为求指数幂不等式，即可求解.
【详解】（1）函数是奇函数，
，
，
；
（2），
令，解得，
化，
在上增函数，且，
所以在是增函数，等价于
，
，
所以不等式的解集为.
【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，要注意应用奇偶性的必要条件减少计算量，但要进行验证；考查函数的单调性应用及解不等式，考查计算、推理能力，属于中档题.
18、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】利用定义证明即可；把看成整体，研究对勾函数的单调性以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性；对于任意的，总存在，使得可转化成的值域为的值域的子集，建立关系式，解之即可
【详解】证明：：设，，且，
，
，
，，
当时，即，
当时，即，
当时，，即，此时函数为减函数，
当时，，即，此时函数为增函数，
故在上是减函数，在上是增函数；
当时，，
，
设，则，
，
由可知在上是减函数，在上是增函数；
，，
即，，
即在上是减函数，在上是增函数；
由于减函数，故，
又由（2）得
由题意，的值域为的值域的子集，
从而有，
解得
【点睛】本题主要考查定义法证明函数单调性，利用单调性求函数的值域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，是中档题
19、（1），；
（2）作图见解析；（3）；
（4）为奇函数，证明见解析.
【解析】（1）根据对应区间，将自变量代入解析式求值即可.
（2）应用五点法确定点坐标列表，再描点画出函数图象.
（3）由（2）图象直接写出值域.
（4）由（2）图象判断奇偶性，再应用奇偶性定义证明即可.
【小问1详解】
由解析式知：，.
【小问2详解】
由解析式可得：

0
1
2

0

0
1
0
∴的图象如下：
【小问3详解】
由（2）知：的值域为.
【小问4详解】
由图知：为奇函数，证明如下：
当，时，；
当，时，；
又的定义域为，则为奇函数，得证.
20、（1）选择函数更合适，解析式为
（2）11个单位
【解析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据时的值估计即可；
（2）根据题意，进而结合对数运算求解即可.
【小问1详解】
若选，将，和，代入得
，解得
得
将代入，，不符合题意
若选，将，和，代入得
，解得
得
将代入得，符合题意
综上：所以选择函数更合适，解析式为
【小问2详解】
解：设至少需要个单位时间，
则，即
两边取对数：

因为，所以的最小值为11
至少经过11个单位时间不少于1亿个
21、（1）
（2）
【解析】(1)化简f(x)解析式，设函数的图象上任一点，，它关于原点的对称点为，其中，，利用点在函数的图象上，将其坐标代入的表达式即可得g(x)解析式；
(2)可令，将在转化为：，对的系数分类讨论，利用一次函数与二次函数的性质讨论解决即可
【小问1详解】

设函数的图象上任一点，关于原点的对称点为，
则，，
由点在函数的图象上，
，即，
函数的解析式为；
【小问2详解】
由，
设，由，且t在上单调递增，
根据复合函数单调性规则，要使h(x)在上为增函数，则在上为增函数，
①当时，在，上是增函数满足条件，；
②当时，m(t)对称轴方程为直线，
（i)当－(1＋λ)＞0时，，应有t＝，解得，
(ii当－(1＋λ)＜0时，，应有，解得；
综上所述，