2025年江苏省泰兴市第三高级中学高二数学第一学期期末联考试题含解析.doc

2025年江苏省泰兴市第三高级中学高二数学第一学期期末联考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释

A.如果，，那么
B.如果，那么
C.对任意实数和，有，当且仅当 时等号成立
D.如果，那么
2．已知点、是双曲线C：的左、右焦点，P是C左支上一点，若直线的斜率为2，且为直角三角形，则双曲线C的离心率为()
A.2 B.
C. D.
3．已知，且，则实数的值为（ ）
A. B.3
C.4 D.6
4．在各项都为正数的等比数列中，首项，前3项和为21，则(　　)
A.84 B.72
C.33 D.189
5．双曲线的左、右焦点分别为、，P为双曲线C的右支上一点．以O为圆心a为半径的圆与相切于点M，且，则该双曲线的渐近线为（）
A. B.
C. D.
6．已知动直线的倾斜角的取值范围是，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则
A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1
C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1
8．设,,,则,,大小关系为
A. B.
C. D.
9．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
10．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
11．曲线在点处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
12．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.
14．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，、分别为、的中点.设异面直线与所成的角为，则的最大值为____

15．椭圆的焦距为______.
16．若直线过圆的圆心，则实数a的值为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、.

（1）估计该班本次测试的平均分；
（2）在、中按分层抽样的方法抽取个数据，再从这个数据中任抽取个，求抽出个中至少有个成绩在中的概率.
18．（12分）如图所示，在直三棱柱中，，，
（1）求三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）

19．（12分）如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线

（1）求及线段BC的长；
（2）求△ADE的面积
20．（12分）如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点

（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求该圆锥的体积
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线：mx－（2－m）y－4=0与直线h：x+y－2=0的交点M在第一三象限的角平分线上.
（1）求实数m的值；
（2）若点P在直线l上且，求点P的坐标.
22．（10分）已知圆C：，直线l：.
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设图中直角三角形边长分别为a，b，则斜边为，则可表示出阴影面积和正方形面积，根据图象关系，可得即可得答案.
【详解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a，b，则斜边为，如图所示：

则四个直角三角形的面积为，正方形的面积为，
由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积，
所以，当且仅当时等号成立，
所以对任意实数和，有，当且仅当时等号成立.
故选：C
2、B
【解析】根据双曲线的定义和勾股定理利用即可得离心率.
【详解】∵直线的斜率为2，为直角三角形，
∴，又，
∴，.
∵，即，
∴
故选：B.
3、B
【解析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.
详解】因，且，则有，解得，
所以实数的值为3.
故选：B
4、A
【解析】分析：设等比数列的公比为，根据前三项的和为列方程，结合等比数列中，各项都为正数，解得，从而可以求出的值.
详解：设等比数列的公比为，
首项为3，前三项的和为，
，解之得或，
在等比数列中，各项都为正数，
公比为正数，舍去），
，故选A.
点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续三项和的问题，着重考查了等比数列的通项，等比数列的性质和前项和等知识点，属于简单题.
5、A
【解析】连接、，利用中位线定理和双曲线定义构建参数关系，即求得渐近线方程.
【详解】如图，连接、，∵M是的中点，

∴是的中位线，∴，且，
根据双曲线的定义，得，∴，
∵与以原点为圆心a为半径的圆相切，
∴，可得，
中，，即得，
，解得，即，得.
由此得双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用和渐近线的求法，属于中档题.
6、B
【解析】根据倾斜角与斜率的关系可得，即可求m的范围.
【详解】由题设知：直线斜率范围为，即，可得.
故选：B.
7、A
【解析】详解】试题分析：由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，
又= ，故．故选A
【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质
【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注意．否则很容易出现错误
8、C
【解析】由,可得,,故选C.
考点：指数函数性质
9、C
【解析】设直线的倾斜角为，则，解方程即可.
【详解】由已知，设直线的倾斜角为，则，又，
所以.
故选：C
10、B
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可求解.
【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，

故选：B
11、A
【解析】利用切点和斜率求得切线方程.
【详解】由，有
曲线在点处的切线方程为，整理为
故选：A
12、A
【解析】因为“若，则”是真命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”成立的充分不必要条件．选A
考点：充分必要条件的判断
【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题.对于命题“若,则
”是真命题,我们说,并且说是的充分条件，是的必要条件，命题“若,则”是假命题,我们说,由充分条件，必要条件的定义，可以判断出“”是“”成立的充分不必要条件．掌握充分条件，必要条件的定义是解题关键

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案.
详解】

P，A，B，C四点共面,则存在实数，使得
所以
即
所以 ，解得
故答案为：
14、
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，，由向量法可得，令，，，利用导数研究函数的单调性即可求得的最大值，从而可得答案
【详解】解：由题意，根据已知条件，直线AB，AD，AQ两两互相垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系

不妨设，则，0，，，0，，，1，，设，，，，
，，，，，，
，
令，，则，
函数在上单调递减，
时，函数取得最大值，
的最大值为
故答案为：
15、
【解析】由求出即可.
【详解】可化为，设焦距为，则，则焦距
故答案为：
16、
【解析】根据圆的求得圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，即可求解.
【详解】由题意，圆，可得圆心为，
因为圆心为在直线上，可得，解得.
故答案：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得的值；
（2）分析可知，所抽取的个数据中，成绩在内的有个，分别记为、、、，成绩在内的有个，分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：由频率分布直方图可得.
【小问2详解】
解：因为数学成绩在、内的频率分别为、，
所以，所抽取的个数据中，成绩在内的有个，分别记为、、、，
成绩在内的有个，分别记为、，
从这个数据中，任取抽取个，所有的基本事件有：、、、、
、、、、、、、、、、，共个，
其中，事件“抽出个中至少有个成绩在中”所包含的基本事件有：、
、、、、、、、，共个，
故所求概率为.
18、（1）；（2）
【解析】（1）利用S＝2S△ABC+S侧，可得三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；
（2）连接BC1，确定∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角），在△A1BC1中，利用余弦定理可求结论
【详解】（1）在△ABC中，因为AB＝2，AC＝4，∠ABC＝90°，所以BC＝．S△ABC＝AB×BC＝2
所以S＝2S△ABC+S侧＝4+（2+2+4）×4＝24+12
（2）连接BC1，因为AC∥A1C1，所以∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角）
在△A1BC1中，A1B＝2，BC1＝2，A1C1＝4，由余弦定理可得cos∠BA1C1＝，
所以∠BA1C1＝arccos，即异面直线A1B与AC所成角的大小为arccos

【点睛】本题考查三棱柱的表面积，考查线线角，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题
19、（1），BC＝6
（2）
【解析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化简已知条件，求得，结合余弦定理求得，也即.
（2）求得三角形的面积，结合角平分线、中线的性质求得三角形的面积.
小问1详解】
∵，∴，∴，∴
由余弦定理得（负值舍去），即BC＝6.
【小问2详解】
∵，，∴，∴，
∵AE平分∠BAC，，
由正弦定理得：，
其中，
∴，
∵AD为BC边的中线，∴，
∴.
20、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由线面垂直、切线的性质可得、，再根据线面垂直的判定即可证结论.
（2）若，构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及其对应的余弦值求R，最后由圆锥的体积公式求体积.
【小问1详解】
由题设，底面圆，又是切线与圆的切点，
∴底面圆，则，且，而，
∴平面.
【小问2详解】
由题设，若，可构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，
又，可得，
∴，，，有，，
若是面的一个法向量，则，令，则，
又面的一个法向量为，

∴，可得，
∴该圆锥的体积
21、（1）3（2）
【解析】（1）求出直线与直线的交点坐标，代入直线的方程可得值；
（2）设，代入已知等式可求得值，得坐标
【小问1详解】
由得，即
所以，
【小问2详解】
由（1）直线方程是，在直线上，设，
则，解得，
所以点坐标为
22、（1）；
（2）或.
【解析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.
（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.
【小问1详解】
由圆：，可得，
其圆心为，半径，
若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.
【小问2详解】
由（1）知：圆心到直线的距离，
因为，即，解得：，
所以，整理得：，解得：或，
则直线为或.