黑龙江省哈师大附中2025-2026学年高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

黑龙江省哈师大附中2025-2026学年高二数学第一学期期末统考模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若且，则下列不等式中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
2．已知点分别是椭圆的左、右焦点,点P在此椭圆上,,则的面积等于
A. B.
C. D.
3．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（）
A. B.
C. D.
4．设是虚数单位，则复数对应的点在平面内位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5．已知数列为等差数列，若，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
6．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则（）

A. B.
C. D.
7．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于( )

A. B.
C. D.
8．直线的倾斜角是（）
A. B.
C. D.
9．某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

A. B.
C. D.
10．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
11．若直线：与：互相平行，则a的值是（ ）
A. B.2
C.或2 D.3或
12．抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（）
A.1 B.
C.2 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆离心率是___________
14．已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下为虚数单位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数______
15．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于A，B两点，若是等腰三角形，且，则的面积为___________.
16．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，，，，若，则_________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分别为AB和PC的中点

（1）求证：MN//平面PAD；
（2）求平面MND与平面PAD的夹角的余弦值
18．（12分）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，如图，过点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，，，四点，，分别为，的中点.

（1）求的值；
（2）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
（3）设直线交抛物线于，两点，试求的最小值.
19．（12分）如图，菱形的边长为4，，矩形的面积为8，且平面平面

（1）证明：；
（2）求C到平面的距离.
20．（12分）数列{}的首项为，且
（1）证明数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；
（2）若，求数列{}的前n项和
21．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得.
（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
附：线性回归方程中，，，其中，为样本平均值.
22．（10分）已知抛物线C的方程是.
（1）求C的焦点坐标和准线方程；
（2）直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，与抛物线C的交点为A，B，求的长度.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据不等式的性质即可判断.
【详解】对于A，若，则不等式不成立；
对于B，若，则不等式不成立；
对于C，若均为负值，则不等式不成立；
对于D，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题.
2、B
【解析】根据椭圆标准方程，可得，结合定义及余弦定理可求得值，由及三角形面积公式即可求解.
【详解】椭圆
则，所以，
则
由余弦定理可知
代入化简可得，
则，
故选：B.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质的简单应用，正弦定理与余弦定理的简单应用，三角形面积公式的用法，属于基础题.
3、B
【解析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的a，b，c，再求双曲线的标准方程.
【详解】∵椭圆的方程为＋＝1，
∴椭圆的长轴端点坐标为，，焦点坐标为，，
∴双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，
∴b2＝3，
∴双曲线方程为，
故选：B.
4、A
【解析】计算出复数即可得出结果.
【详解】由于，对应的点的坐标为，在第一象限，
故选：A.
5、D
【解析】利用等差数列下标和的性质求值即可.
【详解】由等差数列下标和性质知：.
故选：D
6、B
【解析】根据空间向量基本定理求解
【详解】由已知
故选：B
7、D
【解析】连接，利用，化简即可得到答案.
【详解】连接，如下图

.
故选：D.
8、A
【解析】将直线方程化为斜截式，由此确定斜率；根据斜率和倾斜角关系可得结果.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由得：，则斜率，.
故选：A.
9、A
【解析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.
【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥，
其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为，
故选：A.

10、C
【解析】作出辅助线，找到异面直线与所成角，进而利用余弦定理及勾股定理求出各边长，最后利用余弦定理求出余弦值.
【详解】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成角为

，
由勾股定理得：，，
∴
故选：C
11、A
【解析】根据直线：与：互相平行，由求解.
【详解】因为直线：与：互相平行，
所以，即，
解得或，
当时，直线：，：，互相平行；
当时，直线：，：，重合；
所以，
故选：A
12、B
【解析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即可求出线段中点的横坐标，即得到答案.
【详解】由已知可得抛物线的准线方程为，
设点的坐标分别为和，
由抛物线的定义得，即，
线段中点的横坐标为，
故线段的中点到轴的距离是.
故选：.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先由，根据椭圆的定义，求出，，再由余弦定理，根据，即可列式求出离心率.
【详解】因为点在椭圆上，
所以，
又，所以，
因，
在中，由，根据余弦定理可得
，
解得（负值舍去）
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，属于常考题型.
14、##
【解析】设，则，然后分别求出甲，乙，丙对应的结论，先假设甲正确，则得出乙错误，丙正确，由此即可求解
【详解】解：设，则，
甲：由可得，则，
乙：由可得：，
丙：由可得，即，所以，
若，则，则不成立，，则，解得或，
所以甲，丙正确，乙错误，
此时或，又复数对应的点在复平面第一象限内，
所以，
故答案为：
15、
【解析】根据题意可知，，再结合，即可求出各边，从而求出的面积
【详解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面积为
故答案为：
16、
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.
【详解】设,如下图所示，建立空间直角坐标系， ，，，，，则
所以
又因为
所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）在平面中构造与平行的直线，利用线线平行推证线面平行即可；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，利用向量法即可求得两个平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
取中点为，连接，如下所示：

因为为正方形，为中点，故可得//；
在△中，因为分别为的中点，故可得//；
故可得//，则四边形为平行四边形，即//，
又面面，故//面.
【小问2详解】
因为面面，故可得，
又底面为正方形，故可得，则两两垂直；
故以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系如下所示：

故可得，
设平面的法向量为，又
则，即，不妨取，则，则，
取面的法向量为，
故.
设平面的夹角为，故可得，
即平面MND与平面PAD的夹角的余弦值为.
18、（1）
（2）证明见解析，（3,0）
（3）
【解析】（1）求出椭圆的焦点坐标，从而可知抛物线的焦点坐标，进而可得的值；
（2）首先设出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，得到，坐标，令，可得直线过点，再证明当，，，三点共线即可；
（3）设出的直线方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理找出根的关系，再利用两点间的距离公式求出最小值即可.
【小问1详解】
椭圆的焦点坐标为，
由于抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，
故，即，；
小问2详解】
由（1）知，抛物线的方程为，
设，，，，
由题意，直线的斜率存在且
设直线的方程为，
代入可得，
则，
故，
故的中点坐标为，
由，设直线的方程为，
代入可得，
则，
故，
可得的中点坐标为，
令得，
此时，
故直线过点，
当时，，
所以，，，三点共线，
所以直线过定点.
【小问3详解】
设，
由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入可得，
则，，
，
故，当即直线垂直轴时，取得最小值.
19、（1）证明见解析.
（2）
【解析】（1）利用线面垂直的性质证明出；（2）利用等体积转换法，先求出O到平面AEF的距离，再求C到平面的距离.
【小问1详解】
在矩形中，.
因为平面平面，平面平面,
所以平面，所以.
【小问2详解】
设AC与BD的交点为O,则C到平面AEF的距离为O到平面AEF的距离的2倍.

因为菱形ABCD的边长为4且，所以.
因为矩形BDFE的面积为8，所以BE=2.
,,则三棱锥的体积.
在△AEF中, ,所以.
记O到平面AEF的距离为d.
由得：,解得：，所以C到平面AEF的距离为.
20、（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】(1)利用给定的递推公式变形，再利用等比数列定义直接判断并求出通项得解.
(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法计算作答.
【小问1详解】
数列{}中，，则，由得：，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，
则有，即，
所以数列{}的通项公式是.
【小问2详解】
由(1)知，，，
则，
所以数列{}的前n项和.
21、（1）＝0.3x－0.4；（2）正相关；（3）1.7(千元).
【解析】（1）由题意得到n＝10，求得，进而求得，写出回归方程；.
（2）由判断；
（3）将x＝7代入回归方程求解.
【详解】（1）由题意知
n＝10，，
则，
所以所求回归方程为＝0.3x－0.4.
（2）因为，
所以变量y的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.
（3）将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).
22、（1）焦点为，准线方程：
（2）
【解析】（1）抛物线的标准方程为，焦点在轴上，开口向右，，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）现根据题意给出直线的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可
【小问1详解】
（1）抛物线的标准方程是，焦点在轴上，开口向右，，
∴，∴焦点为，准线方程：.
【小问2详解】
∵直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，，
∴直线L的方程为，
代入抛物线化简得，
设，则，
所以
故所求的弦长为12