云南省凤庆县第二中学2025-2026学年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

云南省凤庆县第二中学2025-2026学年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书
A.76石 B.77石
C.78石 D.79石
2．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为（）
A. B.
C. D.
3．双曲线的焦点坐标为（）
A. B.
C. D.
4．以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（）
A. B.
C. D.
5．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ）
A. B.
C. D.
6． “，”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．等差数列中，为其前项和，，则的值为（）
A.13 B.16
C.104 D.208
8．抛物线的焦点到准线的距离为（）
A. B.
C. D.1
9．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：与椭圆C：相切于点P，椭圆C的焦点为，，由光学性质知直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A. B.
C. D.
11．在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标与向量的模长分别是（）
A.；5 B.；
C.； D.；
12．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若有两个零点，则的范围是______
14．展开式中，各项系数之和为1，则实数_______．（用数字填写答案）
15．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______
16．经过点，圆心在x轴正半轴上，半径为5的圆的方程为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且的短轴长为
（1）求的方程；
（2）若直线与交于P，Q两点，，且的面积为，求k
18．（12分）已知直线，圆.
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长.
19．（12分）已知直线过点
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程
20．（12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
21．（12分）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）是否存在实数，，，对任意的正数，都有成立？若存在，求出，，的所有值；若不存在，请说明理由.
22．（10分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
（1）求C的方程：
（2）过C上一动点P作圆两条切线，切点分别为A，B，求四边形PAMB面积的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设出未知数，列出方程组，求出答案.
【详解】设甲、乙、丙分得的米数为x+d，x，x-d，则，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）
故选：C
2、A
【解析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.
【详解】由题可知，△ABC的重心为，
可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，
联立方程可得△ABC的垂心为，
则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，
故△ABC的欧拉线方程为.
故选：A.
3、C
【解析】把双曲线方程化为标准形式，直接写出焦点坐标.
【详解】，焦点在轴上，，故焦点坐标为.
故选：C.
4、B
【解析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得.
【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B.
故选：B
5、C
【解析】利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得结果即可.
【详解】解：因为展开式的二项式系数之和为，则，
所以，
令，求得，
所以展开式的常数项为.
故选：C.
6、A
【解析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系.
【详解】当，，则，
当时，，.
∴“，”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7、D
【解析】利用等差数列下标的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可.
【详解】由，
所以，
故选：D
8、B
【解析】由可得抛物线标椎方程为：，由焦点和准线方程即可得解.
【详解】由可得抛物线标准方程为：，
所以抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离为，
故选：B
【点睛】本题考了抛物线标准方程，考查了焦点和准线相关基本量，属于基础题.
9、A
【解析】先求得点坐标，然后求得的角平分线所在的直线的方程.
【详解】，
直线的斜率为，
由于直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的斜率为，
所以所求直线方程为.
故选：A
10、A
【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A
11、B
【解析】根据给定条件利用中点坐标公式及空间向量模长的坐标表示计算作答.
【详解】因点，，所以线段的中点坐标为，
.
故选：B
12、B
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解
【详解】由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用导数求出函数的最小值，结合函数的图象列式可求出结果.
【详解】,
当时，，在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；
当时，令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以在时取得极小值为，也是最小值，
因为当趋近于正负无穷时，都是趋近于正无穷，
所以要使有两个零点，只要，即就可以了.
所以的范围是
故答案为：.
14、
【解析】通过给二项式中的赋值1求出展开式的各项系数和，即可求出
详解】解：令，得各项系数之和为，解得
故答案为：
15、 ①.##(0,1.5) ②.
【解析】由高线联立可得垂心，由垂心与重心可得欧拉线方程.
【详解】由，可知边上的高所在的直线为，
又，因此边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线为：，即，
所以，所以的垂心坐标为，
由重心坐标公式可得的重心坐标为，
所以的欧拉线方程为：，化简得.
故答案为：；
16、
【解析】设圆方程为，代入原点计算得到答案.
【详解】设圆方程为
经过点，代入圆方程
则圆方程为
故答案为
【点睛】本题考查了圆方程的计算，设出圆方程是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或k=1.
【解析】（1）根据题意求得双曲线的焦点即知椭圆焦点，结合椭圆短轴长，可求得椭圆标准方程；
（2）将直线方程和椭圆方程联立，整理得，从而得到根与系数的关系式，然后求出弦长以及到直线PQ的距离，进而表示出，由题意得关于k的方程，解得答案.
【小问1详解】
双曲线即，
故双曲线交点坐标为 ，
由此可知椭圆焦点也为，
又的短轴长为，故 ，
所以 ，
故椭圆的方程为 ；
【小问2详解】
联立 ，整理得： ，
其 ，
设 ，则 ，
所以
= ，
点到直线PQ的距离为 ，
所以
= ，
又的面积为，则=，
解得或k=1.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）直线方程变形后令的系数等于0消去参数即可求得定点坐标.
（2）先求出圆心C到直线l距离，然后用勾股定理即可求得弦长.
【小问1详解】
，
联立得：
即直线l过定点（.
【小问2详解】
由题意直线l的斜率，即，
∴，
圆，圆心，半径，
圆心C到直线l的距离，
所以直线l被圆C所截得的弦长为.
19、（1）
（2）或
【解析】(1)由两条直线垂直可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可；
(2)当直线过原点时，根据直线的点斜式方程即可得出结果；当直线不过原点时可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可.
【小问1详解】
解：因为直线与直线垂直
所以，设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线的方程为
【小问2详解】
解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，
所以直线的方程是
综上，所求直线的方程为或
20、
【解析】甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付费用相同的概率；
【详解】两人所付费用相同，相同费用可能为0，40，80元，
两人都付0元的概率为，
两人都付40元的概率为，
两人都付80元的概率为，
故两人所付费用相同的概率为.
21、（1）极小值为：，无极大值
（2），，
【解析】（1）先求导求单调性，再判断极值点求极值即可；
（2）易知，只需要为函数和的公切线即可，
求出公切线，代入后分别证明和成立即可.
【小问1详解】
由题意知：，令，解得，令，
解得，所以函数在单调递增，在单调递减，
所以为函数的极小值点，即极小值为：，无极大值.
【小问2详解】
设，易知，
所以点是和的公共点，
要使成立，
只需要为函数和的公切线即可，
由（1）知，，所以在点处的切线为：，
同理可得在点处的切线为：，
由题意知为同一条直线，所以解得，
即等价于；
下面证明这个式子成立：首先证明等价于，
设，所以，
恒成立，所以单调递增，易知，
所以当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，故不等式成立，
即成立；
再证明：等价于，设，
所以，所以当时，，
当时，，所以在单调递增，在单调递减，
所以，故不等式成立，即成立；
综上所述，存在，，使得成立.
故：，，.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.
某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，
抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.
因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，
这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，
是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，
有着非凡的功效.
22、（1）
（2）
【解析】(1)根据抛物线方程求出交点坐标和准线方程，求出p即可；
(2)设，利用两点坐标求距离公式求出，根据四边形PAMB的面积得到关于的二次函数，结合二次函数的性质即可得出结果.
【小问1详解】
因为C的焦点为，准线为，
由题意得，即，因此.
【小问2详解】
圆M的圆心为，半径为1.
由条件可知，，且，
于是.
设，则.
当时等号成立，所以四边形PAMB面积的最小值为.