2026届名校学术联盟高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2026届名校学术联盟高二数学第一学期期末考试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（）
A. B.
C. D.
2．定义运算：．已知，都是锐角，且，，则（）
A. B.
C. D.
3．一个袋中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个红色球，3个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的是（ ）
A.第一次摸到绿球的概率是 B.第二次摸到绿球的概率是
C.两次都摸到绿球的概率是 D.两次都摸到红球的概率是
4．过抛物线C：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点为，若在轴上存在定点，使得恒成立，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
5．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（）
A. B.
C. D.
6．已知，，点为圆上任意一点，设，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
7．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（）
A. B.
C. D.
8．已知抛物线=的焦点为F， M、N是抛物线上两个不同的点，若，则线段MN的中点到y轴的距离为（ ）
A.8 B.4
C. D.9
9．在中国共产党建党100周年之际,广安市某中学组织了“党史知识竞赛”活动,已知该校共有高中学生1000人,用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为25的样本参加活动,其中高二年级抽取了8人,则该校高二年级学生人数为()
A.960 B.720
C.640 D.320
10．设异面直线、的方向向量分别为，，则异面直线与所成角的大小为（）
A. B.
C. D.
11．在正三棱锥S−ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S−ABC外接球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
12．设数列、都是等差数列，若，则等于（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知P是椭圆的上顶点，过原点的直线l交C于A，B两点，若的面积为，则l的斜率为____________
14．已知函数，则的值是______.
15．若正实数满足，则的最大值是________
16．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为 __.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面ABCD，，.

（1）求点B到平面PCD的距离；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相切于点
（1）求椭圆C方程；
（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线交于点Q（P，Q，M，N均不重合），记的斜率分别为，若
①求△面积的范围，
②证明：为定值
19．（12分）已知数列，，其中，是各项均为正数的等比数列，满足，，且
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
20．（12分）已知抛物线的准线方程是，直线与抛物线相交于M、N两点
（1）求抛物线的方程；
（2）求弦长；
（3）设O为坐标原点，证明：
21．（12分）已知，p：，q：
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围
22．（10分）已知等比数列的公比，且，的等差中项为5，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据条件，求出，的值，结合双曲线的方程进行求解即可
【详解】解：设双曲线的方程为
由已知得：，，
再由，，
双曲线的方程为：
故选：D
2、B
【解析】，只需求出与的正、余弦值即可，用平方关系时注意角的范围.
【详解】解：因为，都是锐角，所以，，
因为，所以，
即，，所以，，
因为，所有，

故选：B.
【点睛】信息给予题，已知三角函数值求三角函数值，考查根据三角函数的恒等变换求值，基础题.
3、C
【解析】对选项A，直接求出第一次摸球且摸到绿球的概率；对选项B，第二次摸到绿球分两种情况，第一次摸到绿球且第二也摸到绿球和第一次摸到红球且第二次摸到绿球；对选项C，直接求出第一次摸到绿球且第二也摸到绿球的概率；对选项D，直接求出第一次摸到红球且第二也摸到红球的概率
【详解】对选项A，第一次摸到绿球的概率为：，故错误；
对选项B，第二次摸到绿球的概率为：，故错误；
对选项C，两次都摸到绿球的概率为：，故正确；
对选项D，两次都摸到红球的概率为：，故错误
故选：C
4、D
【解析】设切点，点，联立直线的方程和抛物线C的准线方程可得，将问题转化为对任意点恒成立，可得，解出，从而求出答案
【详解】设切点，点
由题意，抛物线C的准线，且由，得，
则直线的方程为，即，
联立令，得
由题意知，对任意点恒成立，也就是对任意点恒成立
因为，，
则，即对任意实数恒成立，
所以，即，所以，
故选：D
【点睛】一般表示抛物线的切线方程时可将抛物线方程转化为函数解析式，可利用导数的几何意义求解切线斜率，再代入计算.
5、D
【解析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示，以及直线的方向向量的定义可得选项.
【详解】解：因为两点，则，
又因为与向量平行，所以直线的方向向量是，
故选：D.
6、C
【解析】根据题意可设，再根据，求出，再利用三角函数的性质即可得出答案.
【详解】解：由点为圆上任意一点，
可设，
则，
由，得，
所以，则，
则，其中，
所以当时，取得最大值为22.
故选：C.
7、B
【解析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的a，b，c，再求双曲线的标准方程.
【详解】∵椭圆的方程为＋＝1，
∴椭圆的长轴端点坐标为，，焦点坐标为，，
∴双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，
∴b2＝3，
∴双曲线方程为，
故选：B.
8、B
【解析】过分别作垂直于准线，垂足为，则由抛物线的定义可得，再过MN的中点作垂直于准线，垂足为，然后利用梯形的中位线定理可求得结果
【详解】抛物线=的焦点，准线方程为直线
如图，过分别作垂直于准线，垂足为，过MN的中点作垂直于准线，垂足为，
则由抛物线的定义可得，
因为，所以，
因为是梯形的中位线，
所以，
所以线段MN的中点到y轴的距离为4，
故选：B

9、D
【解析】由分层抽样各层成比例计算即可
【详解】设高二年级学生人数为,则,解得
故选:D
10、C
【解析】利用空间向量夹角的公式直接求解.
【详解】，，，.
由异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成的角为.
故选：C
11、A
【解析】由题意推出平面，即平面，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积
【详解】∵，分别为棱，的中点，∴，∵三棱锥为正棱锥，
作平面，所以是底面正三角的中心，连接并延长交与点，
∵底面是正三角形，，平面
∴，，∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，∴，
又∵，而，且，平面，∴平面，
∴平面，∴，
因为S−ABC是正三棱锥。所以，
以，，为从同一定点出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，
则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，，
所以.
故选：A.

12、A
【解析】设等差数列的公差为，根据数列是等差数列可求得，由此可得出，进而可求得所求代数式的值.
【详解】设等差数列的公差为，即，
由于数列也为等差数列，则，
可得，即，
可得，即，解得，
所以，数列为常数列，对任意的，，
因此，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的求解，通过等差数列定义列等式求解公差是解题的关键，另外，在求解有关等差数列基本问题时，可充分利用等差数列的定义以及等差中项法来求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设出直线AB的方程，联立椭圆方程得到A点横坐标满足，再利用，解方程即可得到答案.
【详解】设直线AB的方程为：，，
由，得，
所以，又
所以，解得.
故答案为：
14、
【解析】求出，代值计算可得的值.
【详解】因为，则，
因此，.
故答案为：.
15、4
【解析】由基本不等式及正实数、满足，可得的最大值.
【详解】由基本不等式，可得正实数、满足，
，可得，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故答案为：4.
16、5
【解析】明确程序运行的顺序，写出每次循环的m,n的值，直到判断符合条件时结束，即可得到结果.
【详解】第一次循环，m＝3，n＝2；
第二次循环，m＝6，n＝3；
第三次循环，m＝9，n＝4；
第四次循环，m＝12，n＝5，此时m+n＞15，跳出循环，
故答案为：5.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案；
（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.
【小问1详解】
∵平面平面
∴
又两两互相垂直 ,
所以，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

D ( 3 , 6 , 0 ) , A ( 0 , 6 , 0 )

设平面的一个法向量
所以即
令，可得

记点到平面的距离为，
则
【小问2详解】
由 ( 1 ) 可知平面的一个法向量为
平面的一个法向量为
设二面角的平面角为
由图可知，

18、（1）；
（2）①；②证明见解析.
【解析】（1）根据椭圆离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解方程组可得椭圆的方程；
（2）先根据相切求出直线的斜率，结合可得，进而应用弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式求△面积的范围，再逐个求解，，然后可证结论.
【小问1详解】
由题意，解得，故椭圆C的方程为.
【小问2详解】
设直线为，联立得：，
因为直线与椭圆C相切，则判别式，即，整理得，
∴，故直线为，又，可得，
设直线为，
联立方程组，解得，故Q为，
联立方程组，化简得
设，由得：，且，
①，到直线的距离为，
∴，令，
∴.
②由上，
故，
于是为定值.
【点睛】直线与椭圆的相切问题一般是联立方程，结合判别式为零求解；定值问题的求解一般结合目标式中的项，逐个求解，代入验证即可.
19、（1），
（2）
【解析】（1）利用公式法，基本量代换求出数列，的通项公式；
（2）利用错位相减法求和.
【小问1详解】
设等比数列的公比为q，因为，
所以，所以．所以，所以，
所以．所以，
所以，
【小问2详解】
，
所以，
，
所以

.
所以
20、（1）；
（2）；
（3）详见解析.
【解析】（1）根据抛物线的准线方程求解；
（2）由直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求解；
（3）结合韦达定理，利用数量积运算证明；
【小问1详解】
解：因为抛物线的准线方程是，
所以，解得，
所以抛物线的方程是；
【小问2详解】
由，得，
设，
则，
所以；
【小问3详解】
因为，
，
，
所以，
即.
21、（1）（2）或
【解析】（1）根据命题对应的集合是命题对应的集合的真子集列式解得结果即可得解；
（2）“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，等价于 与一真一假，分两种情况列式可得结果.
【详解】（1）因为p：对应的集合为，q：对应的集合为，且p是q的充分不必要条件，
所以，所以，解得.
（2），当时，，
因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以与一真一假，
当真时，假，所以，此不等式组无解；
当真时，假，所以，解得或.
综上所述：实数x的取值范围是或.
【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数取值范围，一般可根据如下规则转化：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含
22、（1）；（2）.
【解析】（1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】解析：（1）由题意可得：，
∴
∵，∴，∴数列的通项公式为.
（2）∴

上述两式相减可得
∴
【点睛】本题考查等比数列通项公式、错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.