上海市鲁迅中学2026届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

上海市鲁迅中学2026届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列满足：，数列的前n项和为，若恒成立，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（）
A.880 B.622
C.311 D.220
3．数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是（ ）
A.1024 B.256
C.2 D.512
4．设，则的一个必要不充分条件为（ ）
A. B.
C. D.
5．过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C.＋1 D.
6．已知数列为等差数列，若，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
7．若圆的半径为，则实数（）
A. B.-1
C.1 D.
8．某研究所计划建设n个实验室，从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（）
A.10 B.11
C.12 D.13
9．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（）

A.100 B.
C.300 D.400
10．若直线被圆截得的弦长为4，则的最大值是（）
A. B.
C.1 D.2
11．某机构通过抽样调查，利用列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得，经查对临界值表知，，现给出四个结论，其中正确的是（）
A.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关"
B.因为，故有95%把握认为“患肺病与吸烟有关”
C.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”
D.因为，故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”
12．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________.
14．过点作斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同点，若是的中点，则该椭圆的离心率___________.
15．点到抛物线上的点的距离的最小值为________.
16．若，且，则的最小值是____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知：方程表示焦点在轴上的椭圆，：方程表示焦点在轴上的双曲线，其中.
（1）若“”为真命题，求的取值范围：
（2）若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围.
18．（12分）分别求满足下列条件的曲线方程
（1）以椭圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；
（2）过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程
19．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程
20．（12分）已知抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4.
（1）求抛物线E的方程；
（2）点A、B为抛物线E上异于原点O的两不同的点，且满足.若直线AB与椭圆恒有公共点，求m的取值范围.
21．（12分）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的值域
22．（10分）若等比数列的各项为正，前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由于，所以利用裂项相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可
【详解】，
故
，
故恒成立等价于，
即恒成立，
化简得到，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以
故选：D
2、C
【解析】依题意，每一个单音的频率构成一个等比数列，由，算出公比，结合，即可求出.
【详解】设第一个单音的频率为，则最后一个单音的频率为，
由题意知，且每一个单音的频率构成一个等比数列，设公比为，
则，解得：
又，
则与第四个单音的频率最接近的是311,
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列通项公式的运算，解题的关键是分析题意将其转化为等比数列的知识，考查学生的计算能力，属于基础题.
3、D
【解析】设数列的公比为q，由已知建立方程求得q，再利用等比数列的通项公式可求得答案.
【详解】解：因为数列是等比数列，是其前n项之积， ，设数列的公比为q，
所以，解得，
所以，
故选：D.
4、C
【解析】利用必要条件和充分条件的定义判断.
【详解】A选项：，，，
所以是的充分不必要条件，A错误；
B选项：，，
所以是的非充分非必要条件，B错误；
C选项：，，，
所以是必要不充分条件，C正确；
D选项：，，，
所以是的非充分非必要条件，D错误.
故选：C.
5、A
【解析】设F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用双曲线的定义求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.
【详解】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:

因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，
又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，
又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，
根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，
所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，
在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，
即a2＋4a2＝c2，所以e＝，
故选A.
【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率问题的有效方法.
6、D
【解析】利用等差数列下标和的性质求值即可.
【详解】由等差数列下标和性质知：.
故选：D
7、B
【解析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出的值.
【详解】由题意，圆的方程可化为，
所以半径为，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
8、C
【解析】根据等差数列通项公式，列出方程组，求出的值，进而求出令根据题意令，即可求解.
【详解】设第n实验室的建设费用为万元，其中，则为等差数列，设公差为d，
则由题意可得，解得，则.
令，即，解得，又，所以，，
所以最多可以建设12个实验室.
故选：C.
9、B
【解析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出
【详解】设大圆锥的高为，所以，解得
故
故选：B
【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题
10、A
【解析】根据弦长求得的关系式，结合基本不等式求得的最大值.
【详解】圆的圆心为，半径为，
所以直线过圆心，
即，
由于为正数，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A
11、A
【解析】根据给定条件利用独立性检验的知识直接判断作答.
【详解】因，且，由临界值表知，，，
所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；.
因临界值3.841>3.305，则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，
也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”，即B，D都不正确.
故选：A
12、A
【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.
【详解】 与x，y轴的交点，分别为 ，，点 在圆 ，即上，
所以 ，圆心到直线的距离为 ，
所以 面积的最小值为 ，
最大值为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、33
【解析】根据分层抽样的性质进行求解即可.
【详解】因为抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，
所以有，
故答案为：33
14、
【解析】利用点差法可求得的值，利用离心率公式的值.
【详解】设点、，则，由已知可得，
由题意可得，将两个等式相减得，
所以，，
因此，.
故答案为：.
15、
【解析】设出抛物线上点的坐标，利用两点间距离公式，配方求出最小值.
【详解】设抛物线上的点坐标，则，当时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：
16、
【解析】应用基本不等式“1”的代换求a+4b的最小值即可.
【详解】由，有，
则，
当且仅当，且，即时等号成立，
∴最小值为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或
（2）
【解析】（1）先假设命题为真命题，求出的取值范围，为真命题，取补集即可
（2）假设命题为真命题，求出的取值范围，根据题意，则命题假设和命题一真一假，分类讨论求的取值范围
【小问1详解】
解：若为真命题，则，
解得，
若“”为真命题，则为假命题，或；
【小问2详解】
若为真命题，则
解得，
若“”为假命题，则“”为真命题，
则与一真一假，
①若真假，则
解得，
②若真假，则
解得，
综上所述，，即的取值范围为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）由题意得出的值后写椭圆方程
（2）待定系数法设方程，由题意列方程求解
【小问1详解】
的短轴顶点为(0，－3)，(0，3)，
∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3
又，∴a＝6．∴
∴所求椭圆方程为
【小问2详解】
根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程，
把代入得m＝1．所以双曲线的方程为
19、（1）；（2）或
【解析】（1）根据椭圆的焦距为2，离心率为，求出，，即可求椭圆的方程；（2）设直线方程为，代入椭圆方程，由得，利用韦达定理，化简可得，求出，即可求直线的方程.
试题解析：（1）设椭圆方程为，因为 ，所以 ，所求椭圆方程为.
（2）由题得直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+1，则由得，且．设，则由得，又，所以消去得，解得，，所以直线的方程为，即或.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由焦半径公式可得，求解即可得答案；
（2）由题意，直线AB斜率不为0，设，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理及可得，从而可得直线AB恒过定点，进而可得定点在椭圆内部或椭圆上即可求解.
【小问1详解】
解：因为抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4，
所以，解得，
所以抛物线E的方程为；
【小问2详解】
解：由题意，直线AB斜率不为0，设，，
由，可得，
所以，
因为，即，所以，
所以，即，所以，
所以直线，
所以直线AB恒过定点，
因为直线AB与椭圆恒有公共点，
所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，
所以.
21、（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）
【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可
【详解】解：（1）由题意得，，令，得，
令，得或，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）易知，
因为
,
所以
（或由，可得）,
又当时，，
所以函数在区间上的值域为
【点睛】确定函数单调区间的步骤：
第一步，确定函数的定义域；
第二步，求；
第三步，解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间
22、（1）
（2）
【解析】（1）设公比为，则由已知可得，求出公比，再求出首项，从而可求出数列的通项公式；
（2）由已知可得，而，所以，然后利用错位相减法可求得结果
【小问1详解】
设各项为正的等比数列的公比为，，，
则，，，
即，
解得或（舍去），
所以，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
因为是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.
由（1）知，所以.
所以①
在①的等式两边同乘以，得
②
由①②等式两边相减，得，

所以数列的前项和.