湖南省武冈市2026届高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

湖南省武冈市2026届高二数学第一学期期末综合测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是等差数列，是其公差，是其前n项的和．若，，则下列结论不正确的是（）
A. B.
C. D.与均为的最大值
2．函数f（x）＝的图象大致形状是（　　）
A. B.
C. D.
3．已知等差数列的公差，若，，则该数列的前项和的最大值为（ ）
A.30 B.35
C.40 D.45
4．设变量，满足约束条件，则的最大值为（）
A.1 B.6
C.10 D.13
5．椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为则椭圆C的长轴长为（　　）
A.2 B.
C.4 D.8
6．已知A，B，C是椭圆M：上三点，且A（A在第一象限，B关于原点对称，，过A作x轴的垂线交椭圆M于点D，交BC于点E，若直线AC与BC的斜率之积为，则（）
A.椭圆M的离心率为 B.椭圆M的离心率为
C. D.
7．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
8．已知函数，则（）
A. B.
C. D.
9．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为，若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（　　）
A.或 B.或
C.或 D.或
10．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为（）
A. B.
C. D.
11．过点，的直线的斜率等于2，则的值为（ ）
A.0 B.1
C.3 D.4
12．我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，分别为左、右、上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是（）

A. B.
C.轴，且 D.四边形的一个内角为
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线：的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为__________.
14．椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________
15．若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是____________
16．已知空间向量，且，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，，，

（1）求证：平面ADE；
（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值
18．（12分）已知p：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：当时，函数恒成立.
（1）若p为真，求实数t的取值范围；
（2）若为假命题，且为真命题，求实数t的取值范围
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，直线垂直于平面分别为的中点，直线与相交于点.

（1）证明：与不垂直；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且过点，
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于A，B两点，______，求m的值
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：圆上一点P到直线的最大距离为；条件③：
21．（12分）已知函数，其中
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数k的最大值
22．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点.

（1）证明：直线PF//平面ACG；
（2）求直线PD与平面ACG所成角的正弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由已知条件可以得出，，，即可得公差，再利用等差数列的性质以及前n项的和的性质可判断每个选项的正误，进而可得正确选项.
【详解】由可得，
由可得，故选项B 正确；
由可得，
因为公差，故选项A正确，
，
所以，故选项C不正确；
由于是等差数列，公差，，，，
所以都是的最大值，故选项D正确；
所以选项C不正确，
故选：C
2、B
【解析】利用函数的奇偶性排除选项A,C，然后利用特殊值判断即可
【详解】解：由题得函数的定义域为，关于原点对称.
所以函数是奇函数，排除选项A,C.
当时，，排除选项D，
故选：B
3、D
【解析】利用等差数列的性质求出公差以及首项，再由等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】等差数列，由，有，
又，公差，所以，，得，
，，
∴当或10时，最大，，
故选：D
4、C
【解析】画出约束条件表示的平面区域，将变形为，可得需要截距最小，观察图象，可得过点时截距最小，求出点A坐标，代入目标式即可.
【详解】解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分：

又，即，
要取最大值，则在轴上截距要最小，观察图象可得过点时截距最小，
由，得，
则.
故选：C.
5、C
【解析】根据椭圆的离心率，即可求出，进而求出长轴长.
【详解】由椭圆的性质可知，
椭圆的离心率为，则，即
所以椭圆C的长轴长为
故选：C.
【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，属于基础题.
6、C
【解析】设出点，,的坐标，将点，分别代入椭圆方程两式作差，构造直线和的斜率之积，得到，即可求椭圆的离心率，利用，求出，可知点在轴上，且为的中点,则.
【详解】设，，，则，
，，两式相减并化简得，
即，则,则AB错误；
∵，，∴，
又∵，∴，即，
解得，则点在轴上，且为的中点即，则正确.
故选：C.
7、A
【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.
【详解】 与x，y轴的交点，分别为 ，，点 在圆 ，即上，
所以 ，圆心到直线的距离为 ，
所以 面积的最小值为 ，
最大值为.
故选：A

8、B
【解析】求出，代值计算可得的值.
【详解】因为，则，故.
故选：B.
9、B
【解析】根据题意列出的关系式，即可求得，再分焦点在轴与轴两种情况写出标准方程.
【详解】根据题意，可得，
所以椭圆的标准方程为或.
故选：B
10、B
【解析】基本事件总数，再利用列举法求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件的个数，由此能求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率
【详解】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数之和，
基本事件总数，
点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件有：
，，，，，，，，共8个，
则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为
故选：B
11、A
【解析】利用斜率公式即求.
【详解】由题可得，
∴.
故选：A
12、B
【解析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B；根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的一个内角为,即即三角形是等边三角形，得到，结合离心率公式判断D.
【详解】∵椭圆
∴
对于A，若，则，∴，∴，不满足条件，故A不符合条件；
对于B，，∴
∴，∴
∴，解得或（舍去），故B符合条件；
对于C，轴，且，∴
∵
∴，解得
∵，∴
∴，不满足题意，故C不符合条件；
对于D，四边形的一个内角为,即
即三角形是等边三角形，∴
∴，解得∴，故D不符合条件
故选：B
【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的应用，充分利用建立的等式是解题关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、3
【解析】由题意求得抛物线的准线方程为，进而得到准线与双曲线C的渐近线围成的三角形面积，求得，再结合和离心率的定义，即可求解.
【详解】由题意，抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，
根据抛物线定义，可得，即，
所以抛物线的准线方程为，
又由双曲线C的两条渐近线方程为，
则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为，
解得，
又由，可得，
所以双曲线C离心率.
故答案为：3.
14、2x＋4y－3＝0
【解析】设弦端点为 ，又A，B在椭圆上 ，
、即直线AB的斜率为直线AB的方程为，.
15、；
【解析】可化简曲线的方程为，作出其图形，数形结合求临界值即可求解.
【详解】由可得，
所以曲线为以为圆心，的下半圆，
作出图形如图：

当直线过点时，，可得，
当直线与半圆相切时，则圆心到直线的距离，
可得：或（舍），
若直线与曲线没有公共点，
由图知：或，
所以实数的取值范围是：，
故答案为：
16、
【解析】根据空间向量共线的坐标表示可得出关于的等式，求出的值即可.
【详解】由已知可得，解得.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】（1）根据，，从而证明平面平面ADE，从而平面ADE。（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。
【详解】（1）∵四边形ABEF为矩形

又平面ADE，AE平面ADE
平面ADE
又，
同理可得：平面ADE
又，BF，BC 平面BCF
∴平面平面ADE
又CF平面BCF
平面ADE
（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则
，，
,,
设是平面CDF的一个法向量，则
即
令，解得

又是平面AEFB的一个法向量，

∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.

【点睛】此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。
18、（1）
（2）
【解析】(1)由给定条件结合椭圆标准方程的特征列不等式求解作答.
(2)求命题q真时的t值范围，再借助“或”联结的命题为真命题求解作答.
【小问1详解】
因方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，
则有，解得，
所以实数t的取值范围是.
【小问2详解】
，则有，当且仅当，即时取“=”，即，
因当时，函数恒成立，则，解得，命题q为真命题有，
因为假命题，且为真命题，则与一真一假，
当p真q假时，，当p假q真时，，
所以实数t的取值范围是.
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，计算得出，即可证得结论成立；或利用反证法；
（2）利用空间向量法即求.
【小问1详解】
方法一：如图以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、
设，因为，，
因为，所以，得，即点，
因为，，
所以，
故与不垂直
方法二：假设与垂直，又直线平面平面，
所以.而与相交，
所以平面
又平面，
从而
又已知是正方形，
所以与不垂直，这产生矛盾，所以假设不成立，
即与不垂直得证.
【小问2详解】
设平面的法向量为，又，
因为，
所以，令，得.
设平面的法向量为，
因为，所以，
令，得.
因为.
显然二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值是.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据圆心在过点，的线段的中垂线上，同时圆心圆心在直线上，可求出圆心的坐标，进而求得半径，最后求出其标准方程；
（2）选①利用用垂径定理可求得答案，选②根据圆上一点P到直线的最大距离为可求得答案，选③先利用向量的数量积可求得，解法就和选①时相同.
【小问1详解】
由题意可知，圆心在点的中垂线上，
该中垂线的方程为，于是，由，
解得圆心，圆C的半径
所以，圆C的方程为；
【小问2详解】
①，因为，，
所以圆心C到直线l的距离，则，解得，
②，圆上一点P到直线的最大距离为，可知圆心C到直线l的距离
则，解得，
③，因为，所以，
得，又，所以圆心C到直线l的距离，
则，解得
21、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）先对函数求导，然后分和讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，
（2）由题意得恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可
【小问1详解】
由，得
当时，恒成立，∴在上单调递增
当时，令，得，得，
∴在上单调递增，在上单调递减
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
【小问2详解】
依题意得对一切恒成立，即
令，则
令，则在上单调递增，而
当时，，即；当时，，即
∴在上单调递减，在上单调递增
∴
∴，即k的最大值为
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）连接EC，设EB与AC相交于点O，结合已知条件利用线面平行的判定定理可证得OG//平面PEF，再由三角形中位线定理结合线面垂直的判定定理可得AC//平面PEF，从而由面面垂直的判定可得平面PEF//平面GAC，进而可证得结论，
（2）由已知可证得PA、AB、AD两两互相垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
【小问1详解】
证明：连接EC，设EB与AC相交于点O，如图，

因为BC//AD，且，AB⊥AD，
所以四边形ABCE为矩形，
所以O为EB的中点，又因为G为PB的中点，
所以OG为△PBE的中位线，即OG∥PE，
因为OG 平面PEF，PE⊂平面PEF，
所以OG//平面PEF，
因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以EF//AC，
因为AC 平面PEF，EF⊂平面PEF，
所以AC//平面PEF，
因为OG⊂平面GAC，AC⊂平面GAC，AC∩OG＝O，
所以平面PEF//平面GAC，
因为PF⊂平面PEF，所以PF//平面GAC.
【小问2详解】
因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
因为AB⊥AD，
所以PA、AB、AD两两互相垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
所以，
设平面ACG的法向量为，则，所以，
令x＝1，可得y＝﹣1，z＝﹣1，所以，
设直线PD与平面ACG所成角为θ，则
，
所以直线PD与平面ACG所成角的正弦值为.