上海市南汇中学2026届高二数学第一学期期末调研试题含解析.doc

上海市南汇中学2026届高二数学第一学期期末调研试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线与圆交于A，B两点，O为原点，且，则实数m等于（ ）
A. B.
C. D.
2．已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，设以为对角线的椭圆内接平行四边形的一组邻边斜率分别为，则（）
A.1 B.
C. D.
3．圆关于直线l：对称的圆的方程为（）
A. B.
C. D.
4．已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
5．若直线与曲线只有一个公共点，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C.或 D.或
6．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（）

A. B.
C. D.
7．已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若，则当最大时，（）
A. B.1
C. D.2
8．的展开式中的系数为，则（）
A. B.
C. D.
9．若数列满足，，则该数列的前2021项的乘积是（）
A. B.
C.2 D.1
10．已知一个乒乓球从米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的倍，则当它第8次着地时，经过的总路程是（ ）
A. B.
C. D.
11．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为（ ）
A. B.3
C. D.6
12．函数的最小值是（）
A.2 B.4
C.5 D.6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．经过点，圆心在x轴正半轴上，半径为5的圆的方程为________
14．已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.
15．已知直线与直线平行，则实数______
16．已知等差数列，的前n项和分别为，若，则=______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大
18．（12分）已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且D的离心率为.
（1）求C与D的方程；
（2）若，直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在.
①求m的取值范围.
②试问这直线PA，PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．（12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥AB，PA⊥AD，且E、F分别是AC、PB的中点

（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC
20．（12分）已知数列满足，，.
（1）证明：数列是等比数列，并求其通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21．（12分）已知椭圆，离心率为，短半轴长为1
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线，问：在椭圆C上是否存在点T，使得点T到直线l的距离最大？若存在，请求出这个最大距离；若不存在，请说明理由
22．（10分）在中，
（1）求的大小；
（2）若，．求的面积
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据给定条件求出，再求出圆O到直线l的距离即可计算作答.
【详解】圆的圆心O，半径，因，则，
而，则，即是正三角形，点O到直线l的距离，
因此，，解得，
所以实数m等于.
故选：A
2、C
【解析】根据椭圆的对称性和平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】是椭圆上关于原点对称两点，所以不妨设，即，
因为平行四边形也是中心对称图形，
所以也是椭圆上关于原点对称的两点，
所以不妨设，即，
，
得：，
即，
故选：C
3、A
【解析】首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【详解】解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，
所以对称圆的方程为；
故选：A
4、C
【解析】根据条件可得与，进而可得，，的关系，可得解.
【详解】由已知得，
设点，由轴，
则，代入双曲线方程可得，
即，
又，所以，
即，
整理可得，
故，
解得或（舍），
故选：C.
5、D
【解析】根据曲线方程的特征，发现曲线表示在轴上方的图象，画出图形，根据图形上直线的三个特殊位置，当已知直线位于直线位置时，把已知直线的解析式代入椭圆方程中，消去得到关于的一元二次方程，由题意可知根的判别式等于0即可求出此时对应的的值；当已知直线位于直线及直线的位置时，分别求出对应的的值，写出满足题意得的范围，综上，得到所有满足题意得的取值范围
【详解】根据曲线，得到，解得：；，
画出曲线的图象，为椭圆在轴上边的一部分，如图所示：

当直线在直线的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，
把直线代入椭圆方程得：，得到，
即，化简得：，解得或(舍去)，
则时，直线与曲线只有一个公共点；
当直线在直线位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时，
当直线在直线位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时，
则当时，直线与曲线只有一个公共点，
综上，满足题意得的范围是或
故选：D
6、D
【解析】取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.
【详解】由题意知，，
取AC的中点O，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点C到直线距离为：.
故选：D

7、B
【解析】根据抛物线的定义，结合换元法、配方法进行求解即可.
【详解】因为点P为该抛物线上的动点，所以点P的坐标设为，抛物线的焦点为F，所以，抛物线的准线方程为：，因此，
令，
，
当时，即当时，有最大值，最大值为1，此时.
故选：B
8、B
【解析】根据二项式展开式的通项，先求得x的指数为1时r的值，再求得a的值.
【详解】由题意得：
二项式展开式的通项为：，
令，则，
故选：B
9、C
【解析】先由数列满足，，计算出前5项，可得，且，再利用周期性即可得到答案.
【详解】因为数列满足，，
所以，同理可得，…
所以数列每四项重复出现，即，且，
而，
所以该数列的前2021项的乘积是.
故选：C.
10、C
【解析】根据等比数列的求和公式求解即可.
【详解】从第1次着地到第2次着地经过的路程为 ，第2次着地到第3次着地经过的路程为，组成以为首项，公比为的等比数列，所以第1次着地到第8次着地经过的路程为，所以经过的总路程是.
故答案为：C.
11、C
【解析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为是方公差为4的等方差数列，所以，，
∴，∴，
∴

，
故选：C
12、C
【解析】结合基本不等式求得所求的最小值.
【详解】，
，
当且仅当时等号成立.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设圆方程为，代入原点计算得到答案.
【详解】设圆方程为
经过点，代入圆方程
则圆方程为
故答案为
【点睛】本题考查了圆方程的计算，设出圆方程是解题的关键.
14、
【解析】由题可设，则，然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得.
【详解】由题可得，，
设，因为点P在线段AB上，
所以，
∴，
∴当时，的最小值为.
故答案为：.
15、
【解析】分类讨论，两种情况，结合直线平行的知识得出实数.
【详解】当时，直线与直线垂直；
当时，，则且，解得.
故答案为：
16、
【解析】利用等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得，再令即可求解.
【详解】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得：
因为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等差数列的性质可得，再转化为前项和公式的形式，代入的值即可.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5）
（2）见解析
【解析】（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.
（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元
∴蓄水池的总建造成本为元
所以即
∴
∴
又由可得
故函数的定义域为
（2）由（1）中，
可得（）
令，则
∴当时，，函数为增函数
当，函数为减函数
所以当时该蓄水池的体积最大
考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.
18、（1）C：；D：；（2）①且；
②见解析.
【解析】（1）根据D的离心率为，求出从而求出双曲线的焦点，再由椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，即可求出，即可求出C与D的方程；
（2）①根据题意容易得出，然后联立方程，消元，利用即可求出m的取值范围；
②设，由①得：，计算出，判断其是否为定值即可.
【详解】解：（1）因为D的离心率为，即，
解得：，
所以D的方程为：；焦点坐标为，
又因椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，
所以，所以，
所以C的方程为：；
（2）①如图：

因为直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在，
所以，
联立，消化简得：，
所以，解得，
所以且；
②设，
由①得：，
，
所以，
故直线PA，PB的斜率之积不是是定值.
【点睛】本题考查了求椭圆与双曲线的方程、直线与椭圆的位置关系及椭圆中跟定直有关的问题，难度较大.
19、（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】(1)连结，证明EF∥PD即可；(2)证明BD⊥平面PAC即可
【小问1详解】
连结，则是的中点，
又是的中点，，
又平面，面，
平面
【小问2详解】
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB、AD平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD平面ABCD，∴PA⊥BD，
是菱形，，
又，平面，
又平面，
∴平面平面﹒

20、（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】（1）由已知条件，可得为常数，从而得证数列是等比数列，进而可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，又，所以，所以，利用错位相减法即可求解数列的前项和.
【小问1详解】
证明：由题意，因为，，，
所以，，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以；
【小问2详解】
解：由（1）可得，又，所以，
所以，所以，
所以，
，
所以，
所以.
21、（1）；
（2）存在，最大距离为.，理由见解析
【解析】（1）根据离心率及短轴长求椭圆参数，即可得椭圆方程.
（2）根据直线与椭圆的位置关系，将问题转为平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离，设直线方程联立椭圆方程根据求参数，进而判断点T的存在性，即可求最大距离.
【小问1详解】
由题设知：且，又，
∴，故椭圆C的方程为.
小问2详解】
联立直线与椭圆，可得：，
∴，即直线与椭圆相离，
∴只需求平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离即为所求，
令平行于直线且与椭圆相切的直线为，联立椭圆，整理可得：，
∴，可得，
当，切线为，其与直线距离为；
当，切线为，其与直线距离为；
综上，时，与椭圆切点与直线距离最大为.
22、（1）
（2）
【解析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；
（2）首先由余弦定理求出，即可得到，再根据面积公式计算可得；
【小问1详解】
解：因为，由正弦定理可得，
即，
又在中，，所以，，所以；
【小问2详解】
解：由余弦定理得，即，
解得，所以，又，
所以；.