2026届江苏省苏州外国语学校高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2026届江苏省苏州外国语学校高二数学第一学期期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A. B.2
C.或2 D.或
2．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（nào）．如图所示的三棱锥为一鳖臑，且平面，平面，若，，，则（）

A. B.
C. D.
4．方程有两个不同的解，则实数k的取值范围为（）
A. B.
C. D.
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为10，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）
A. B.
C. D.
7．若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（ ）
A.1 B.3
C.6 D.1或3
8．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
A. B.
C. D.
9．是椭圆的焦点，点在椭圆上，点到的距离为1，则到的距离为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
10．已知，若是函数一个零点，则的值为( )
A.0 B.
C.1 D.
11． “，”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12．若数列{an}满足……，则称数列{an}为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn}的前n项和Sn满足，则实数t的取值范围是（　　）
A. B.（-∞，1）
C. D.（1， +∞）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线被圆所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是__________
14．若圆平分圆的周长,则直线被圆所截得的弦长为____________
15．如图，已知正方形边长为，长方形中，，平面与平面互相垂直，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______

16．中小学生的视力状况受到社会的关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示，从左至右五个小组的频率之比为，则抽取的这400名高一学生中视力在范围内的学生有______人.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知抛物线的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为1

（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|·|NF|的最小值
18．（12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）

（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；
（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
19．（12分）已知椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于，两点，与交于点，四边形和的面积分别为，，求的最大值.
20．（12分）已知是等差数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）设的前项和，求的值.
21．（12分）如图，分别是椭圆C：的左，右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.

（1）求椭圆C的方程；
（2）已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究点M，，N是否一定共线？说明理由.
22．（10分）公差不为0的等差数列中，，且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为．若，求的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据成等比数列求得，再根据离心率计算公式即可求得结果.
【详解】因为实数成等比数列，故可得，解得或；
当时，表示焦点在轴上的椭圆，此时；
当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时.
故选：C.
2、B
【解析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
3、A
【解析】根据平面，平面求解.
【详解】因为平面，平面，
所以，
又，，，
所以,
所以，
故选：A
4、C
【解析】转化为圆心在原点半径为1的上半圆和表示恒过定点的直线始终有两个公共点，结合图形可得答案.
【详解】令，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆，
表示恒过定点的直线，方程有两个不同的解即半圆和直线要始终有两个公共点，如图

圆心到直线的距离为，解得，
当直线经过时由得，当直线经过时由得，
所以实数k的取值范围为.
故选：C.
5、A
【解析】由同角公式求出，根据三角形面积公式求出，根据余弦定理求出，根据正弦定理求出.
【详解】因为，所以，
因为，的面积为10，所以，故，
从而，解得，
由正弦定理得：.
故选：A.
【点睛】本题考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，属于基础题.
6、A
【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求
【详解】，
即，

则
．即
，
则该双曲线的方程是：
故选：A
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.
7、B
【解析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.
【详解】若，则由得（舍去）；
若，则由得
故选：B.
8、D
【解析】解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D
9、C
【解析】利用椭圆的定义直接求解
【详解】由题意得，得，
因为，，
所以，
故选：C
10、A
【解析】首先根据题意求出，然后设函数，利用以及的单调性，并结合对数运算即可求解.
【详解】由题意可知，，所以，
不妨设，()，故，
从而，
易知在上单调递增，
故，即，
从而.
故选：A.
11、A
【解析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系.
【详解】当，，则，
当时，，.
∴“，”是“”的充分不必要条件.
故选：A
12、A
【解析】根据,利用递推公式求得数列的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】因为
所以当时,
两式相减可得,即,所以数列是以公比的等比数列
当时,
所以，
则

由“差半递增”数列的定义可知

化简可得
解不等式可得
即实数的取值范围为
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求出直线所过的定点，当该定点为弦的中点时弦长最短，利用点斜式求出直线方程，整理成一般式即可.
【详解】
即，
令，解得
即直线过定点
圆的圆心为，半径为，
最短弦所在直线的方程为
整理得最短弦所在直线的一般方程是
故答案为：.
14、6
【解析】根据两圆的公共弦过圆的圆心即可获解
【详解】两圆相减得公共弦所在的直线方程为
由题知两圆的公共弦过圆的圆心,所以
即,又,所以
到直线的距离
所以直线被圆所截得的弦长为
故答案为:6
15、
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出，后可求异面直线所成角的余弦值.
【详解】长方形可得，
因为平面与平面互相垂直，平面平面，
平面，故平面，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
故，，
故.
故答案为：
16、50
【解析】利用频率分布直方图的性质求解即可.
【详解】第五组的频率为，
第一组所占的频率为，
则随机抽取400名学生视力在范围内的学生约有人.
故答案为：50.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）8
【解析】（1）由抛物线C上的点到准线的最小距离为1，所以，即可求得抛物线的方程；
（2）设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，得到直线AB的方程为，联立方程，求得，进而求得的坐标，得到的表达式，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为抛物线C上的点到准线的最小距离为1，所以，解得，
所以抛物线C的方程为
【小问2详解】
解：由（1）可知焦点为F(1，0)，
由已知可得ABCD，所以直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，
设直线AB斜率为k，则直线CD的斜率为，
所以直线AB的方程为，
联立方程，消去x得，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
因为M(xM，yM)为弦AB的中点，所以，
由，得，所以点，
同理可得，
所以，
＝，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
18、（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】（1）取得中点，连接，可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又侧棱底面，可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）通过建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式即可得出；
（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，且，，
，，
又，
侧棱底面，，
，平面
（2）以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，

设与平面所成角为，则
，
解得，故所求
（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案
写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，利用向量求线面角、柱体的定义应用和表面积的求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力及化归与转化能力，属于中档题
19、（1）（2）
【解析】（1）因为在椭圆上，所以，
又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，所以，
解得，所以椭圆的方程为
（2） 由（1）可知，设，
则当时，，所以，
直线的方程为，即，
由得，
则，
，
，
又，所以，
由，得，所以，
所以，
当，直线，，，，，
所以当时，.
点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，利用题中等式建立、的方程组，求出、的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）利用等差数列前项和公式求出，然后由求出的值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，
数列的通项为；
（2）数列的前项和，
由，化简得，即，.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，考查等差数列的前项和公式，常用的方法就是利用首项和公差建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.
21、（1）
（2）不一定共线，理由见解析
【解析】（1）由椭圆定义可得a，利用∽△BOA可解；
（2）考察轴时的情况，分析可知M，，N不一定共线.
【小问1详解】
由题意得，，
设，，
代入椭圆C的方程得，
，可得.
可得.
由，，所以∽△BOA，
所以，即，可得.
又，，得.
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
当轴时，，设，，
则
由已知条件和方程，可得，
整理得，，
解得或.
由于，所以当时，点M，，N共线；
所以当时，点M，，N不共线.
所以点M，，N不一定共线.
22、（1）
（2）
【解析】（1）利用等比数列的定义以及等差数列的性质，列出方程即可得到答案；
（2）先求出的通项，再利用的单调性即可得到的最小值，从而求得的取值范围
【小问1详解】
依题意，，，所以，
设等差数列的公差为，则，
解得，
所以
【小问2详解】
，则数列是递增数列，
，
所以，
若，则.