江苏省盐城市盐城中学2025-2026学年高二数学第一学期期末调研试题含解析.doc

江苏省盐城市盐城中学2025-2026学年高二数学第一学期期末调研试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.

A.90 B.75
C.60 D.45
2．焦点为的抛物线标准方程是（）
A. B.
C. D.
3．若，则下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知函数是定义在上奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
5．在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于（）
A.0 B.3
C. D.0或3
6．直线被椭圆截得的弦长是
A. B.
C. D.
7．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为
A.1 B.-1
C. D.
8．椭圆C：的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的面积为（）
A.48 B.40
C.28 D.24
9．以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，，若，，则直线的斜率为( )
A. B.
C. D.
10．已知数列中，，则（ ）
A. B.
C. D.
11．下列说法错误的是（ ）
A.“若，则”的逆否命题是“若，则”
B.“”的否定是”
C.“是"”的必要不充分条件
D.“或是"”的充要条件
12．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面和两条不同的直线，则下列判断中正确的序号是___________.
① 若，则；
② 若，则；
③ 若，则；
④ 若，则；
14．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数______
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线左支上点满足，则的面积为_________
16．数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知的顶点、，其欧拉线的方程为，则的外接圆方程为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等比数列{}的各项均为正数，，，成等差数列，，数列{}的前n项和，且.
（1）求{}和{}的通项公式；
（2）设，记数列{}的前n项和为.求证：.
18．（12分）已知直线，圆.
（1）证明：直线l与圆C相交；
（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA+（2c+a）cosB=0
（1）求角B的大小；
（2）若b=4，△ABC的面积为 ， 求a+c的值
20．（12分）已知：，，：，，且为真命题，求实数的取值范围.
21．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
22．（10分）抚州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按80：1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图如图所示，现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的3倍

（1）若次数在以上含次为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？
（2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图；
（3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，
∴样本总数为.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.
考点：频率分布直方图.
2、D
【解析】设抛物线的方程为，根据题意，得到，即可求解.
【详解】由题意，设抛物线的方程为，
因为抛物线的焦点为，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：D.
3、D
【解析】利用复数除法运算和复数相等可用表示出，进而得到之间关系.
【详解】，
，，则.
故选：D.
4、A
【解析】构造函数，分析该函数的定义域与奇偶性，利用导数分析出函数在上为增函数，从而可知该函数在上为减函数，综合可得出原不等式的解集.
【详解】令，则函数的定义域为，
且，则函数为偶函数，
所以，，
当时，，所以，函数在上为增函数，
故函数在上为减函数，
由等价于或：
当时，由可得；
当时，由可得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：A.
5、D
【解析】根据，且构成等比数列，利用“”求解.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，且构成等比数列，
所以，
解得，
故选：D
6、A
【解析】直线y＝x+1代入，得出关于x的二次方程，求出交点坐标，即可求出弦长
【详解】将直线y＝x+1代入，可得，
即5x2+8x﹣4＝0，
∴x1＝﹣2，x2，
∴y1＝﹣1，y2，
∴直线y＝x+1被椭圆x2+4y2＝8截得的弦长为
故选A
【点睛】本题查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题
7、C
【解析】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径．圆的圆心坐标，设圆半径为，圆心到直线的距离为，则
由条件得，整理得
所以，解得．选C
8、D
【解析】根据给定条件结合椭圆定义求出，再判断形状计算作答.
【详解】椭圆C：的半焦距，长半轴长，由椭圆定义得，
而，且，则有是直角三角形，，
所以的面积为24.
故选：D
9、A
【解析】分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，联立直线与曲线方程，再根据，求解.
【详解】设椭圆的方程分别为，，由可知，
直线的斜率一定存在，故设直线的方程为.
联立得，
故，；
联立得，
则，.
因为，所以，
所以.
又，所以，
所以，所以，.
故选：A.
【点睛】此题利用设而不求的方法，找出、、、之间的关系，化简即可得到的值.此题的难点在于计算量较大，且容易计算出错.
10、D
【解析】由数列的递推公式依次去求，直到求出即可.
【详解】由，
可得，，
，
故选： D.
11、C
【解析】利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；
对于B，“”的否定是”，正确；
对于C，“”等价于“或，
∴ “是"”的充分不必要条件，错误；
对于D，“或是"”的充要条件，正确.
故选：C
12、C
【解析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.
【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，
因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
所以由弦长公式有，
所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，
所以，
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、② ④
【解析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.
详解】若，则或，异面，或，相交，① 错误；
若，则，② 正确；
若，则或或与相交，③ 错误；
若 ，则，④ 正确；
故答案为：② ④.
14、
【解析】由题设可得，结合向量共线的坐标表示求参数即可.
【详解】由题设，平面与平面的法向量共线，
∴，则，即，解得.
故答案为：.
15、3
【解析】由双曲线方程可得，利用双曲线定义，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.
【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，双曲线左支上点满足，
可得: ，
则 ，且 ，
故，
所以，
故 ，
故答案为：3
16、
【解析】求出线段的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径，由此可得出的外接圆方程.
【详解】直线的斜率为，线段的中点为，
所以，线段的垂直平分线的斜率为，
则线段垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即的外心为，
所以，的外接圆的半径为，
因此，的外接圆方程为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理
如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）证明见解析
【解析】设等比数列的公比为，由，，成等差数列，解得．由，利用通项公式解得，可得．由数列的前项和，且，时，，化简整理即可得出；
（2），利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明结论
【小问1详解】
设等比数列的公比为，，，成等差数列，
，即，化为：，解得
，，即，解得，

数列的前项和，且，
时，，化为：，
，数列是每项都为1的常数列，
，化为
【小问2详解】
证明：，
数列的前项和为，

18、（1）证明见解析；
（2）；
（3）点Q恒在直线上，理由见解析.
【解析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程，根据直线过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线上.
【小问1详解】
证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交；
【小问2详解】
圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为：
【小问3详解】
设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上.
【点睛】本题的第三问是稍有难度的，处理方法是根据四点共圆，直径的端点坐标，求出此圆的方程，与曲线联立后得到相交弦的方程，是处理此类问题的关键.
19、（1）（2）
【解析】（1）利用正弦定理化简，通过两角和与差的三角函数求出，即可得到结果
（2）利用三角形的面积求出，通过由余弦定理求解即可
【详解】解：（1）因为bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），
所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB
所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB
∴cosB=﹣
∴B=
（2）由=得ac=4
由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2+ac=16
∴a+c=2
【点睛】本题主要考查了利用正、余弦定理及三角形的面积公式解三角形问题，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到
20、
【解析】由，为真，可得对任意的恒成立，从而分和求出实数的取值范围，再由，，可得关于的方程有实根，则有，从而可求出实数的取值范围，然后求交集可得结果
【详解】解：可化为.
若：，为真，
则对任意的恒成立.
当时，不等式可化为，显然不恒成立，
当时，有且，
所以.①
若：，为真，
则关于的方程有实根，
所以，即，
所以或.②
又为真命题，故，均为真命题.
所以由①②可得的取值范围为.
21、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.
试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.
延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.

理由如下：
由已知，BC∥ED，且BC=ED.
所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.
又EB平面PBE，CM 平面PBE，
所以CM∥平面PBE.
（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）
（Ⅱ）方法一：
由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，
所以CD⊥平面PAD.
从而CD⊥PD.
所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.
过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.
易知PA⊥平面ABCD，
从而PA⊥CE.
于是CE⊥平面PAH.
所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.
所以APH是PA与平面PCE所成的角.
在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，
所以AH=.
在Rt△PAH中，PH== ，
所以sinAPH= =.

方法二：
由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，
所以CD⊥平面PAD.
于是CD⊥PD.
从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.
设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.
作Ay⊥AD，以A为原点，以 ,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，
所以=（1,0,-2）， =（1,1,0），=（0,0,2）
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，
由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).
设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα= = .
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 .

考点：线线平行、线面平行、向量法.
22、（1）8640；（2）第一组频率为，第二组频率为．频率分布直方图见解析；（3）中位数为，均值为121.9
【解析】（1）求出优秀的频率，计算出抽取的人员中优秀学生数后可得全体优秀学生数；
（2）由频率和为1求得第一组、第二组频率，然后可补齐频率分布直方图；
（3）在频率分布直方图中计算出频率对应的值即为中位数，用各组数据中点值乘以频率后相加得均值
【详解】（1）由频率分布直方图，分数在120分以上的频率为，
因此优秀学生有（人）；
（2）设第一组频率为，则第二组频率为，
所以，，
第一组频率为，第二组频率为
频率分布直方图如下：

（3）前3组数据的频率和为，中位数在第四组，
设中位数为，则，
均值为