海南省农垦实验中学2025年高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

海南省农垦实验中学2025年高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A.2 B.3
C.6 D.9
3． “赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有（）

A.24种 B.48种
C.72种 D.96种
4．已知直线与直线垂直，则实数（）
A.10 B.
C.5 D.
5．已知命题，，若是一个充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知长方体中，，，则直线与所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
7．已知直线的方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
8．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，，，，，，，，…，在实际生活中很多花朵的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则等于（）
A. B.
C. D.
9．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，如.如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于（）

A.7 B.10
C.13 D.16
10．过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
11．当圆的圆心到直线的距离最大时，（）
A B.
C. D.
12．下列四个命题中，为真命题的是（　　）
A.若a＞b，则ac2＞bc2
B.若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C.若a＞|b|，则a2＞b2
D.若a＞b，则
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与直线平行，且原点到直线的距离为，则直线的方程为____________.
14．抛物线（）上的一点到其焦点F的距离______.
15．抛物线的准线方程为_______.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，垂直于轴，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某市为加强市民对新冠肺炎的知识了解，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），共5人，第2组[25，30），共35人，第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求a的值；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动，且该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有-名志愿者被抽中的概率.
18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，且过点
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过的直线l交椭圆C于A、B两点，试探究在平面内是否存在定点Q，使得是一个确定的常数？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由
19．（12分）某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排.中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，，，，，，，共个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩.该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示：

（1）求图中的值；
（2）估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？
（3）由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩及方差.已知某校初三共有名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到等级及以上（含等级）的人数，将该校学生的化学原始成绩看作服从正态分布，并用这名学生的化学平均成绩作为的估计值，用这名学生化学成绩的方差作为的估计值，计算人数（结果保留整数）
附：，，.
20．（12分）已知两动圆：和：，把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，取曲线上的相异两点、满足：且点与点均不重合.
（1）求曲线的方程；
（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；
21．（12分）已知，：，：.
（1）若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围
22．（10分）著名的“康托尔三分集”是由德国数学家康托尔构造的，是人类理性思维的产物，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩下的两个闭区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷.每次操作后剩下的闭区间构成的集合即是“康托尔三分集”.例如第一次操作后的“康托尔三分集”为.
（1）求第二次操作后的“康托尔三分集”；
（2）定义的区间长度为，记第n次操作后剩余的各区间长度和为，求；
（3）记n次操作后“康托尔三分集”的区间长度总和为，若使不大于原来的，求n的最小值.
（参考数据：，）
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】设，则函数有零点转化为函数的图象与直线有交点，利用导数判断函数的单调性，即可求出
【详解】设，定义域为，则，易知为单调递增函数，且 所以当时，，递减； 当时， ， 递增，所以 所以，即
故选：A
【点睛】本题主要考查根据函数有零点求参数的取值范围，意在考查学生的转化能力，属于基础题
2、C
【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
3、B
【解析】根据题意，分2步进行分析区域①、②、⑤和区域③、④的涂色方法，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有种涂色的方法；
当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、④有2种涂色方法，故共有种涂色的方法.
故选：B
4、B
【解析】根据两直线垂直，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，直线与直线垂直，
可得，解得.
故选：B.
5、A
【解析】先化简命题p，q，再根据是的一个充分不必要条件，由Üq求解.
【详解】因为命题，或，
又是的一个充分不必要条件，
所以，
解得，
所以的取值范围是，
故选：A
6、C
【解析】建立空间直角坐标系，设直线与所成角为，由求解.
【详解】∵长方体中，，，
∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
则，，，，
所以，，
设直线与所成角为，
则，
∴直线和夹角余弦值是.
故选：C.
7、B
【解析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.
【详解】因直线的方向向量为，则直线l的斜率，直线l的倾斜角，
于是得，解得，
所以直线l的倾斜角为.
故选：B
8、A
【解析】利用可化简得，由此可得.
【详解】由得：
，
，即.
故选：A.
9、C
【解析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.
【详解】由题意，第一步：，余数不为1；第二步：，余数不为1；
第三步：，余数为1，执行第二个判断框，余数不为2；
第四步：，执行第一个判断框，余数为1，执行第二个判断框，余数为2.
输出的i值为13.
故选：C.
10、A
【解析】过点且与原点O距离最远的直线垂直于直线，再由点斜式求解即可
【详解】过点且与原点O距离最远的直垂直于直线，
，
∴过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，
∴过点且与原点O距离最远的直线方程为：
，即.
故选：A
11、C
【解析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.
【详解】解：因为圆的圆心为,半径，
又因为直线过定点A(-1,1),
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，即，解得.
故选：C.
12、C
【解析】利用不等式的性质结合特殊值法依次判断即可
【详解】当c＝0时，A不成立；
2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；
a＝2，b＝1时，，D不成立；
由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正确
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】可设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求得，即可得解.
【详解】可设直线的方程为，即，
则原点到直线的距离为，解得，
所以直线的方程为.
故答案为：.
14、【解析】将点坐标代入方程中可求得抛物线的方程，从而可得到焦点坐标，进而可求出
【详解】解：为抛物线上 一点，
即有，，
抛物线的方程为，
焦点为，
即有.
故答案为：5.
15、
【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2p=1，
∴其准线方程是y=，
故答案为
16、.
【解析】通过垂直于轴,可以求出，由已知为等腰三角形，可以得到，结合关系，可以得到一个关于离心率的一元二次方程，解方程求出离心率.
【详解】∵垂直于，∴可得，又∵为等腰三角形，
∴，即，整理得，解得.
【点睛】本题考查了求椭圆离心率问题，关键是通过已知条件构造出关于离心率的方程.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）0.04；
（2）.
【解析】（1）根据频率的计算公式，结合概率之和为1，即可求得参数；
（2）根据题意求得抽样比以及第三组和第四组各抽取的人数，再列举所有可能抽取的情况，找出满足题意的情况，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.
【小问1详解】
第一组频率为，第二组的频率为，
则第一组与第二组的频率之和为，
又，故.
【小问2详解】
第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为，
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志题者中抽收6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：.
记第3组的3名志愿者为，第4组的2名志愿者为，
则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：
，
，
共有10种
其中第3组的3名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有：
，
共9种.
所以第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为.
18、（1）
（2）存在，定点
【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合是常数列方程，从而求得定点的坐标.
小问1详解】
，，
由题可得：.
【小问2详解】
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，设，，
联立方程组，整理得，
可得，
所以

则恒成立，
则，解得，，，
此时，即存在定点满足条件
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝－2，可得，，
设要使得是一个常数，即，
显然，也使得成立；
综上所述：存在定点满足条件.
19、（1）
（2）85（3）23
【解析】（1）根据所有矩形面积之和等于1可得；
（2）先根据矩形面积之和判断达到等级的最低分数为x所在区间，然后根据矩形面积之和等于0.9可得；
（3）由题知，所以由可得.
【小问1详解】
由
得
【小问2详解】
由题意可知，要使等级达到等级及以上，则成绩需超过的学生.
因为，

记达到等级的最低分数为x，则，
则由，解得
所以该市学生中考化学原始成绩不少于85分才能达到等级及以上.
【小问3详解】
由题知，
因为
所以
故该校学生的化学原始成绩达到等级及以上的人数大约为人.
20、（1）；
（2）证明见解析，.
【解析】（1）设两动圆的公共点为，则有，运用椭圆的定义，即可得到，，，进而得到的轨迹方程；
（2），设，，，，设出直线方程，联立方程组，利用韦达定理法及向量的数量积的坐标表示，即可得到定点.
【小问1详解】
设两动圆的公共点为，则有
由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，设方程为，则
，，
所以曲线的方程是：
【小问2详解】
由题意可知：，且直线斜率存在，设，，
设直线：，联立方程组，
可得，
，，
因为，
所以有，
把代入整理化简得，或舍，
因为点与点均不重合，
所以直线恒过定点
21、（1）
（2）
【解析】(1)化简命题p，将m=3代入求出命题q，再根据或、且连接的命题真假确定p，q真假即可得解；
(2)由给定条件可得p是q的必要不充分条件，再列式计算作答.
【小问1详解】
依题意，：，
：，得：.
当时，：，
因为真命题，为假命题，则与一真一假，
当真假时，即或，无解，
当假真时，即或，解得或，
综上得：或，
所以实数x的取值范围是；
【小问2详解】
因是的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件，
于是得，解得，
所以实数m的取值范围是
22、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据“康托尔三分集”的定义，即可求得第二次操作后的“康托尔三分集”；
（2）根据“康托尔三分集”的定义，分别求得前几次的剩余区间长度的和，求得其通项公式，即可求解；
（3）由（2）可得第次操作剩余区间的长度和为，结合题意，得到，利用对数的运算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：根据“康托尔三分集”的定义可得：
第一次操作后的“康托尔三分集”为，
第二次操作后的“康托尔三分集”为；
【小问2详解】
解：将定义的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得：
每次去掉的区间长后组成的数为以为首项，为公比的等比数列，
第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为，
第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第4次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为，

第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为，
所以第次操作后剩余的各区间长度和为；
【小问3详解】
解：设定义区间，则区间长度为1，
由（2）可得第次操作剩余区间的长度和为，
要使得“康托三分集”的各区间的长度之和不大于，
则满足，即，即，
因为为整数，所以的最小值为.