湖南衡阳常宁市第五中学2025年高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

湖南衡阳常宁市第五中学2025年高二数学第一学期期末经典模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，D是正方体的一个“直角尖”O-ABC（OA，OB，OC两两垂直且相等）棱OB的中点，P是BC中点，Q是AD上的一个动点，连PQ，则当AC与PQ所成角为最小时，（）

A. B.
C. D.2
2．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
3．是首项和公差均为3的等差数列，如果，则n等于（）
A.671 B.672
C.673 D.674
4．圆心为的圆，在直线x﹣y﹣1＝0上截得的弦长为，那么，这个圆的方程为（）
A. B.
C. D.
5．已知数列满足，其前项和为，，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为（）
A.10 B.11
C.12 D.13
6．年月日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“，所遇皆为对，所做皆称心””．形如“”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则位的回文数共有（ ）
A. B.
C. D.
7．小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（）
A. B.
C. D.
8．函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知为等差数列，为公差，若成等比数列，且，则数列的前项和为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知数列中，，()，则（）
A. B.
C. D.2
12．执行如图所示的程序框图，则输出的

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过点，且垂直于的直线方程为_______________.
14．点到抛物线上的点的距离的最小值为________.
15．设命题：，，则为______ .
16．已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆C：过两点
（1）求C的方程；
（2）定点M坐标为，过C右焦点的直线与C交于P，Q两点，判断是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由
18．（12分）已知数列是等差数列，其前n项和为，，，数列满足(且)，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直图

（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
20．（12分）等差数列的前n项和为，已知
（1）求的通项公式；
（2）若，求n的最小值
21．（12分）如图，扇形AOB的半径为2，圆心角，点C为弧AB上一点，平面AOB且，点且，面MOC

（1）求证：平面平面POB；
（2）求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值的大小
22．（10分）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为
（1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程；
（2）若O是坐标原点，直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，求得AC与PQ夹角的余弦值关于点坐标的函数关系，求得角度最小时点的坐标，即可代值计算求解结果.
【详解】根据题意，两两垂直，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：

设，则，
不妨设点的坐标为，
则，，
则，
又，设直线所成角为，则，
则，
令，令，则，
令，则，此时.
故当时，取得最大值，此时最小，点，
则，故，则
故选：C.
2、A
【解析】利用函数的导数，求解函数的极值，推出最大值，然后转化列出不等式组求解的范围即可
【详解】，
或，
∴在单调递减，在单调递增，在单调递减，
∴f(x)有极大值，
要使f(x)在上有最大值，则极大值3即为该最大值，
则，
又或，
∴，
综上，.
故选：A.
3、D
【解析】根据题意，求得数列的通项公式，代入数据，即可得答案.
【详解】因为数列为等差数列，
所以，
令，解得.
故选：D
4、A
【解析】由垂径定理，根据弦长的一半及圆心到直线的距离求出圆半径，即可写出圆的标准方程.
【详解】圆心到直线x﹣y﹣1＝0的距离
弦长，设圆半径为r，
则故r=2
则圆的标准方程为
故选：A
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和圆的标准方程，属于基础题.
5、A
【解析】根据题意和对数的运算公式可证得为以2为首项，2为公比的等比数列，
求出，进而得到，利用裂项相消法求得，再解不等式即可.
【详解】由，
又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故，则，
所以，
由，得，即，
有，又，所以，
即n的最小值为10.
故选：A
6、C
【解析】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，确定这四位数的选数的种数，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，
首位数不能放零，首位数共有种选择，第二位、第三位、第四位数均有种选择，
因此，位的回文数共有个.
故选：C.
7、A
【解析】先弄清连续投篮2次，恰有1次命中的情况有两种，它们是互斥关系，因此根据相互独立事件以及互斥事件的概率计算公式进行求解.
【详解】由题意知，他连续投篮2次，有两种互斥的情况，
即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中，
因此恰有1次命中的概率为，
故选：A.
8、A
【解析】先求定义域，再由导数小于零即可求得函数的单调递减区间.
【详解】由得，所以函数的定义域为，
又 ，
因为，
所以由得，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
9、C
【解析】采用叠加法求出，由可得，结合对勾函数性质分析在或6取到最小值，代值运算即可求解.
【详解】因为，所以，，，，式相加可得，
所以，，当且仅当取到，但，，所以时，当时，，，所以的最小值为.
故选：C
10、C
【解析】先利用已知条件得到，解出公差，得到通项公式，再代入数列，利用裂项相消法求和即可.
【详解】因为成等比数列，，故，即，
故，解得或（舍去），
故，
即，故的前项和为：.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数列求和的方法：
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
11、A
【解析】由已知条件求出，可得数是以3为周期的周期数列，从而可得，进而可求得答案
【详解】因为，()，
所以，
所以数列的周期为3，
，
故选：A
12、B
【解析】根据输入的条件执行循环，并且每一次都要判断结论是或否，直至退出循环.
【详解】，，，；，
【点睛】本题考查程序框图，执行循环，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求出，可得垂直于的直线的斜率为，再利用点斜式可得结果.
【详解】因为，所以，
所以垂直于的直线的斜率为，
垂直于的直线方程为，
化为，故答案为.
【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
14、
【解析】设出抛物线上点的坐标，利用两点间距离公式，配方求出最小值.
【详解】设抛物线上的点坐标，则，当时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：
15、，
【解析】由全称命题的否定即可得到答案
【详解】根据全称命题的否定，可得
为，
【点睛】本题考查了含有量词的命题否定，属于基础题
16、
【解析】利用椭圆的定义可得轨迹方程.
【详解】连接，由题意，，则，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故轨迹方程为：.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）为定值.
【解析】（1）根据题意，列出的方程组，求解即可；
（2）对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，转化，求解即可.
【小问1详解】
因为椭圆过两点，
故可得，解得，
故椭圆方程为：.
【小问2详解】
由（1）可得：，故椭圆的右焦点的坐标为；
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为：，代入椭圆方程，可得，
不妨取，又，故.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立椭圆方程，
可得：，设坐标为，
故可得，
则

.
综上所述，为定值.
【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中的定值问题；处理问题的关键是合理的利用韦达定理，将目标式进行转化，属中档题.
18、（1），；
（2）.
【解析】(1)根据，列方程组即可求解数列的通项公式，根据可求数列的通项公式；
(2)化简，利用裂项相消法求该数列前n项和.
【小问1详解】
设等差数列公差为d，
∵，∴，
∵公差，∴.
由得，即，
∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴；
【小问2详解】
∵，∴，
.
19、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.
【解析】（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1求解.
 （2）根据频率分布直方图，得到成绩不低于60分的频率，再根据该校高一年级共有学生640人求解.
 （3）由频率分布直方图得到成绩在[40，50)和[90，100]分数段内的人数，先列举出从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生的基本事件总数，再得到两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”的基本事件数，代入古典概型概率求解.
【详解】（1）∵图中所有小矩形的面积之和等于1，
∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，
解得a=0.03.
 （2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85，
 ∵该校高一年级共有学生640人，
 ∴由样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人.
 （3）成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B，
 成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F.
 若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，
 则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，
 (C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种.
 如果两名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，
 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.
 如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，
 那么这两名学生数学成绩之差的绝对值一定大于10.
 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
 则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共7种.
 ∴所求概率为P(M)=.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20、（1）
（2）12
【解析】（1）设的公差为d，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）利用等差数的求和公式，得到，结合的单调性，即可求解.
【小问1详解】
解：设的公差为d，
因为，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为
【小问2详解】
解：由，可得，
根据二次函数的性质且，可得单调递增，
因为，所以当时，，
故n的最小值为12
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）连接，设与相交于点，连接MN，利用余弦定理可求得，，的长度，进而得到，又，由此可得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立恰当空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的余弦值，从而即可得答案
【小问1详解】
证明：连接，设与相交于点，连接MN，
平面，在平面内，平面平面，
，
，
，
在中，由余弦定理可得，，
，
又在中，，由余弦定理可得，，
，故，
又平面，在平面内，
，
又，
平面，
又平面，
平面平面；
【小问2详解】
解：由（1）可知直线，，两两互相垂直，所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，，
设平面的一个法向量为，则，可取；
设平面的一个法向量为，则，可取，
，
平面与平面所成二面角的正弦值为
22、（1）；
（2）
【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，继而得到双曲线的右焦点为，即为抛物线的焦点坐标，可得，即得解；
（2）联立直线与抛物线，可得，再由直线过抛物线的焦点，故，三角形的高为O到直线的距离，利用点到直线公式，求解即可
【小问1详解】
由题意，双曲线渐近线方程为：，
所以，
所以双曲线E的标准方程为：
故双曲线
故双曲线的右焦点为，
所以，，
所以
【小问2详解】
由题意联立，
得，
又
所以
因为直线过抛物线的焦点，所以
O到直线的距离，