陕西韩城2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

陕西韩城2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆和椭圆．直线与圆交于、两点，与椭圆交于、两点．若时，的取值范围是，则椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
2．已知向量，若，则（）
A. B.5
C.4 D.
3．设等差数列的公差为d，且，则（ ）
A.12 B.4
C.6 D.8
4．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为 （　　）
A. B.
C. D.
5．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（）

A. B.
C. D.
6．给出下列判断，其中正确的是（ ）
A.三点唯一确定一个平面
B.一条直线和一个点唯一确定一个平面
C.两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D.空间两两相交的三条直线在同一平面内
7．倾斜角为45°，在轴上的截距是的直线方程为（）
A. B.
C. D.
8．已知抛物线上一点M与焦点间的距离是3，则点M的纵坐标为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
9．已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（）
A.相交 B.内切
C.外切 D.外离
10．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量，，，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
11．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12．早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现:光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段.若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子(即便镜面是曲面)反射到另一点，仍然选择最短路径.已知曲线，且将假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点射出，经由上一点反射到点，则（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为__________.
14．若函数在[1，3]单调递增，则a的取值范围___
15．已知数列满足0，，则数列的通项公式为____，则数列的前项和______
16．函数在区间上的最小值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.
（1）求抛物线E的方程；
（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.
18．（12分）如图，在四棱锥中中，平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
19．（12分）已知圆：与x轴负半轴交于点A，过A的直线交抛物线于B，C两点，且.
（1）证明：点C的横坐标为定值；
（2）若点C在圆内，且过点C与垂直的直线与圆交于D，E两点，求四边形ADBE的面积的最大值.
20．（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生，其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4人参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）
（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？
（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？
（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？
21．（12分）如图，在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点

（1）证明：
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值
22．（10分）已知直线和的交点为P，求：
（1）过点P且与直线垂直的直线l的方程；
（2）以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程；
（3）从下面①②两个问题中选一个作答，
①若直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程
②求圆心在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长的圆的方程
注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由题设，根据圆与椭圆的对称性，假设在第一象限可得，结合已知有，进而求椭圆的离心率.
【详解】由题设，圆与椭圆的如下图示：

又时，的取值范围是，结合圆与椭圆的对称性，不妨假设在第一象限，
∴从0逐渐增大至无穷大时，，故，
∴
故选：C.
2、B
【解析】根据向量垂直列方程，化简求得.
【详解】由于，所以.
故选：B
3、B
【解析】利用等差数列的通项公式的基本量计算求出公差.
【详解】，所以.
故选：B
4、C
【解析】抛物线焦点为，准线方程为，
由得或
所以，故答案为C
考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系
5、A
【解析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可.
【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.
故选：A.
6、C
【解析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.
【详解】对A，如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；
对B，如果这个点在这条直线上，就不能确定一个平面，故B错误；
对C，两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，C正确；
对D，空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.
故选：C
7、B
【解析】先由倾斜角为45°，可得其斜率为1，再由轴上的截距是，可求出直线方程
【详解】解：因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为，
因为直线在轴上的截距是，
所以所求的直线方程为，即，
故选：B
8、B
【解析】利用抛物线的定义求解即可
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
因为抛物线上一点M与焦点间的距离是3，
所以，得，即点M的纵坐标为2，
故选：B
9、B
【解析】求出两圆的圆心与半径，根据两圆的位置关系的判定即可求解.
【详解】已知圆的圆心到直线的距离，即，
解得或,因为,所以,
圆的圆心的坐标为，半径，
将圆化为标准方程为，其圆心的坐标为，半径，
圆心距，
两圆内切，
故选：B
10、C
【解析】由，得到，根据正弦、余弦定理定理化简得到，化简得到，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，向量，，
因为，所以，可得，
由正弦定理得，整理得，
又由余弦定理，可得，
因为，所以，
由，
所以，
因为是锐角三角形，且，可得，解得，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故选：C
11、D
【解析】根据复数的几何意义即可确定复数所在象限
【详解】复数在复平面内对应的点为
则复数在复平面内对应的点位于第四象限
故选：D
12、B
【解析】记椭圆的右焦点为，根据椭圆定义，得到，由题中条件，确定本题的本质即是求的最小值，结合题中数据，即可求出结果.
【详解】记椭圆的右焦点为，
根据椭圆的定义可得，，
所以，
因为，当且仅当三点共线时，，即；
由题意可得，求的值，即是求最短路径，即求的最小值，
所以的最小值为，
因此.

故选：B.
【点睛】思路点睛：
求解椭圆上动点到一焦点和一定点距离和的最小值或差的最大值时，一般需要利用椭圆的定义，将问题转化为动点与另一焦点以及该定点距离和的最值问题来求解即可.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由中点坐标公式和斜率公式可得的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可
【详解】由中点坐标公式可得，的中点为，
可得直线的斜率为，
由垂直关系可得其垂直平分线的斜率为，
故可得所求直线的方程为：，
化为一般式可得
故答案为：
14、
【解析】由在区间上恒成立来求得的取值范围.
【详解】依题意在区间上恒成立，
在上恒成立，所以.
故答案为：
15、 ①. ②.
【解析】第一空：先构造等比数列求出，即可求出的通项公式；第二空：先求出，令，通过错位相减求出的前项和为，再结合等差数列的求和公式及分组求和即可求解.
【详解】第一空：由可得，又，则是以1为首项，2为公比的等比数列，
则，则；
第二空：，设，前项和为，则，
，两式相减得，
则，又，则.
故答案为：；.
16、
【解析】先对函数求导判断其单调性，然后利用单调性求函数的最小值
【详解】解：由，
得，当且仅当时取等号，即取等号，
因为，所以函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值0，
故答案为：0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析，的最小值为.
【解析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，由此求得的值，进而求得抛物线的方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程与抛物线的方程，写出韦达定理，设出直线的方程，联立直线的方程求得的坐标，由此判断出动点在定直线上.求得的表达式，利用基本不等式求得其最小值.
【详解】（1）将点坐标代入抛物线方程得，所以.
（2）由（1）知抛物线的方程为，所以，设直线的方程为，设，由消去得，所以.由于为三角形的垂心，所以，所以直线的方程为，即.同理可求得直线的方程为.由，结合，解得，所以在定直线上.
直线的方程为，到直线的距离为，到直线的距离为.所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为.
【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中三角形面积的有关计算，属于中档题.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据平面得到，结合得到证明。
（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面的法向量，根据向量的夹角公式得到答案。
【小问1详解】
由于平面，平面，所以，
由于，又，所以平面
【小问2详解】
两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，

，，，，，
设平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为，
由，得，故可取
所以
所以二面角的平面角的余弦值
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）设直线方程，与抛物线方程联立，设，，
结合，得到，结合根与系数的关系，即可解得答案；
（2）根据（1）所设，表示出弦长，再求出，进而表示出四边形ADBE的面积，据此求其最大值,
【小问1详解】
由题意知点的坐标为，易知直线的斜率存在且不为零，

设直线：，，，
联立，得，则，
即，
由韦达定理得，
由，即 ，得，
即，
代入，得或，
又抛物线开口向右，，所以点的横坐标为定值.
【小问2详解】
由（1）知点的坐标为，
故，
由（1）知点的坐标为，
由点在圆内，得，解得，
又，得的斜率，故的方程为，
即，
故圆心到直线的距离为，
由垂径定理得，
故，（），
当且仅当时，有最大值，
所以四边形的面积的最大值为.
20、（1）105种（2）105种（3）87种
【解析】（1）至多有1名主任参加，包括两种情况：一种是无主任参加，另一种是只有1名主任参加，利用分类计数原理可得结果；
（2）呼吸内科至少2名医生参加，分三种情况：第一种是呼吸内科2名医生参加，第二种呼吸内科3名医生参加，第三种呼吸内科4名医生参加，然后利用分类计数原理可得结果；
（3）由于张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，分有张雅和无张雅两种情况求解即可.
【详解】（1）直接法：若无主任，若只有1名主任，共105种，
间接法：
（2）直接法：，
间接法：
（3）张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，所以以是否有张雅来分类
第一类：若有张雅，
第二类：若无张雅，则李亮必定去，共87种
【点睛】此题考查了分步和分类计数原理，正确分步和分类是解决此题的关键，属于中档题.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由已知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别表示出B、D、E、F点的坐标，然后通过计算向量数量积来进行证明；
（2）由第（1）建立的空间直角坐标系，分别表示出对应点的坐标，然后计算平面与平面的法向量，然后通过法向量去计算两平面所成的锐二面角即可.
【小问1详解】

如图，以为坐标原点，以，的方向分别为，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，，分别为，，的中点，
则，，
证明：因为，，
所以，
所以
【小问2详解】
设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，得
设平面的法向量为，则
令，得
因为
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为
22、（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）联立方程组求得交点的坐标，结合直线与直线垂直，求得直线的斜率为，利用直线的点斜式，即可求解；
（2）先求得点到直线的距离为，由圆的的垂径定理列出方程求得圆的半径，即可求解；
（3）若选①：设直线l的的斜率为，得到，结合题意列出方程，求得的值，即可求解；
若选②，设所求圆的圆心为，半径为，得到，利用圆的垂径定理列出方程求得的值，即可求解.
【小问1详解】
解：由直线和的交点为P，
联立方程组，解得，即，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线方程为，即.
【小问2详解】
解：因为点到直线的距离为，
设所求圆的半径为，
由圆的的垂径定理得，弦长，解得，
所以所求圆的方程为.
【小问3详解】
解：若选①：直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，
设直线l的的斜率为，
可得直线的方程为，即，
则直线与坐标轴的交点分别为，
由，解得或，
所以所求直线的方程为或.
若选②，设所求圆的圆心为，半径为，
因为圆与x轴相切，可得，
又由圆心到直线的距离为，
利用圆的垂径定理可得，即，
解得，即圆心坐标为或，
所以所求圆的方程为或.